标签: 2018-2019学年高中数学第三讲圆锥曲线性质的探讨学案新人教A版选修4-1  
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doc 第三讲 圆锥曲线性质的探讨 一、选择题 1.如图所示,在半径为2 cm的⊙O内有长为2 cm的弦AB.则此弦所对的圆心角∠AOB为(  ) A.60° B.90° C.120° D.150° 解析 作OC⊥AB于C,则BC=,在Rt△BOC中cos∠B==,∴∠B=30°,∴∠BOC=60°.∴∠AOB=120°. 答案 C 2.如图所示,在⊙O中,弦AB的长等于半径,E为BA的延长线上一点,∠DAE=80°,则∠ACD的度数是(  ) A.60° B.50° C.45° D.30° 解析 连接OB,则∠AOB=60°,∴∠ACB=∠AOB=30°,又∵∠BCD=∠DAE=80°, ∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=80°-30°=50°. 答案 B 3.如图,⊙O的直径为CD,与弦AB交于点P,若AP=4,BP=6,CP=3,则该圆的半径为(  ) A.5.5 B.5 C.6 D.6.5 解析 根据相交弦定理,可得AP·BP=CP·DP,即4×6=3×DP,∴DP=8,∴2r=DP+CP=8+3,∴r=5.5. 答案 A 4.已知⊙O的半径为5,两弦AB,CD相交于AB的中点E,且AB=8,CE∶ED=4∶9,则圆心到弦CD的距离为(  ) A. B. C. D. 解析 如图所示,过O作OH⊥CD,连接OD,则DH=CD,由相交弦定理知AE·BE=CE·DE,而AE=EB=4,可设CE=4x,则DE=9x,所以4×4=4x×9x,解得x=,即OH== =. 答案 A 5.如图,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于点C,BE∥MN交AC于点E,若AB=6,BC=4,则AE=(  ) A. B. C.1 D. 解析 ∵MN为⊙O的切线, ∴∠BCM=∠A.∵MN∥BE,∴∠BCM=EBC, ∴∠A=∠EBC.又∠ACB=∠BCE,∴△ABC∽△BEC,∴=.∵AB=AC,∴BE=BC.∴=.∴EC=,∴AE=6-=. 答案 A 6.如图,PA是圆O的切线,切点为A,PO交圆O于B,C两点,PA=,PB=1,则∠PAB的大小为(  ) A.90° B.60° C.45° D.30° 解析 连接AO,PA是圆O切线,A为切点,∴∠PAO=90°,∴AP2+AO2=PO2,即3+r2=(1+r)2⇒r=1. 由AP=,PO=2,AO=1及∠PAO=90°,可得∠POA=60°, ∴AB=1,cos∠PAB==.∴∠PAB=30°. 答案 D 7.点A,B,C都在⊙O上,过点C的切线交AB的延长线于点D,若AB=5,BC=3,CD=6,则线段AC的长为(  ) A. B. C. D. 解析 由切割线定理,得CD2=BD·AD. 因为CD=6,AB=5, 则36=BD·(BD+5), 即BD2+5BD-36=0, 即(BD+9)·(BD-4)=0,所以BD=4. 因为∠A=∠BCD,∠D=∠D, 所以△ADC∽△CDB. 于是=, 所以AC=·BC=×3=. 答案 B 8.如图,AB和BC分别与圆O相切于点D,C,AC经过圆心O,且BC=2OC=4,则AD的长为(  ) A.8 B. C. D. 解析 由题意可知BD与BC相等,BD=BC=4, OB==2,∴sin∠B=,cos∠B=, ∴sin∠B=2sin∠B·cos∠B=, ∵AC⊥BC,∴sin∠A=cos∠B=, 又∵AB==,∴AD=AB-BD=-4=. 答案 C 9.如图,PT切⊙O于T,CT是⊙O的直径,PBA是割线,与⊙O的交点是A,B,与直线CT的交点是D,已知CD=2,AD=3,BD=4,那么PB=(  ) A.10 B.20 C.5 D.8 解析 根据相交弦定理可得 AD·DB=CD·DT,∴3×4=2DT,解得DT=6, ∴圆的半径r=4,AB=7,不妨设PB=x,则PA=x+7, 根据切割线定理,可得PT2=PB·PA, ∴PT2=x·(x+7),在Rt△PTD中,DT2+PT2=PD2,∴36+PT2=(x+4)2,∴36+x(x+7)=(x+4)2,解得x=20. 答案 B 10.如图,△ABC内接于⊙O,过BC中点D作平行于AC的直线l,l交AB于E,交⊙O于G,F,交⊙O在A点处的切线于P,若PE=3,ED=2,EF=3,则PA的长为(  ) A. B. C. D.2 解析 依题意知,ED=2,DF=1.AE=BE.设GE=t,则PG=3-t.由相交弦定理得GE·EF=AE·BE,故AE=BE=,又由PA是切线知∠PAB=∠C(弦切角等于弦所对的圆周角)=∠BDE,所以△PAE∽△BDE.所以=,即=,解得t=2.即GE=2,PG=1,再由切割线定理知PA2=PG·PF=6,所以PA=. 答案 B 二、填空题 11.如图, 一圆内切四边形ABCD,且AB=16,CD=10,则四边形ABCD的周长为________. 解析 由切线长定理知CD+AB=AD+BC,∵AB+CD=26,∴AB+BC+CD+AD=52. 答案 52 12.如图所示,分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边相交于E,F两点.若∠E=30°,∠F=50°,则∠A=________. 解析 ∵∠A+∠ADC+∠F=180°,∠A+∠ABC+∠E=180°,∠ADC+∠ABC=180°,∴∠A=(180°-∠E-∠F)=50°. 答案 50° 13.如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,PQ切⊙O于P,交⊙O′于Q,M,交AB的延长线于N点,若MN=1,MQ=3,则PN的长为________. 解析 依题意得,NP2=NB·NA=NM·NQ,则NP2=MN·NQ,所以NP2=1×(1+3)=4,所以NP=2. 答案 2 14.如图,圆O上一点C在直径AB上的射影为点D,点D在半径OC上的射影为点E.若AB=3AD,则的值为________. 解析 连接AC,BC,则AC⊥BC.∵AB=3AD, ∴AD=AB,BD=AB,OD=AB. 又AB是圆O的直径,OC是圆O的半径, ∴OC=AB. 在△ABC中,根据射影定理有:CD2=AD·BD=AB2. 在△OCD中,根据射影定理有:OD2=OE·OC,CD2=CE·OC,可得OE=AB,CE=AB,∴=8. 答案 8 三、解答题 15.求证:若圆内接五边形的每个角都相等,则它为正五边形. 证明 如图,连接BD,依题意得∠A=∠ABC=∠C=∠CDE=∠E=108°. 因为A,B,D,E四点共圆,且∠A=108°,所以∠BDE=72°,而∠CDE=108°,故∠CDB=36°.从而∠CBD=36°. 所以CD=CB.同理,其他各边也都相等, 从而ABCDE是正五边形. 16.如图,AB是圆O的直径,D,E为圆O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使BD=DC,连接AC,AE,DE. 求证:∠E=∠C. 证明 如图,连接OD,因为BD=DC,O为AB的中点, 所以OD∥AC,于是∠ODB=∠C. 因为OB=OD,所以∠ODB=∠B.于是∠B=∠C. 因为点A,E,B,D都在圆O上,且D,E为圆O上位于AB异侧的两点,所以∠E和∠B为同弧所对的圆周角,故∠E=∠B.所以∠E=∠C. 17.如图,⊙O1,⊙O2相交于A,B两点,过A作⊙O2的切线交⊙O1于C,直线CB交⊙O2于D,直线DA交⊙O1于E. (1)求证:CE=CA; (2)求证:CE2+DA·DE=CD2. 证明 (1)如图,连接AB. ∵AC切⊙O2于点A,∴∠3=∠2. 又∵∠2=∠E,∴∠3=∠E. ∵∠3=∠1,∴∠1=∠E,∴CE=CA. (2)由切割线定理,得CA2=CD·CB, ∴CE2=CD·CB. 由割线定理,得DA·DE=DB·CD, ∴CE2+DA·DE=CD·CB+CD·DB=CD·(CB+DB)=CD2. 18.如图,半径为2.5的⊙O中,直径AB的不同侧有定点C和动点P,已知BC∶CA=4∶3,点P在AB下侧半圆上运动,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q. (1)当点P运动到与点C关于直径AB对称时,求CQ的长. (2)当点P运动到什么位置时,CQ取到最大值?并求出此时CQ的长. 解 (1)当点P运动到与点C关于直径AB对称时,CP⊥AB于D. ∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.又AB=5,BC∶CA=4∶3, ∴BC=4,AC=3.又∵AC·BC=CD·AB, ∴CD=,∴PC=. ∵在Rt△ACB和Rt△PCQ中,∠ACB=∠PCQ=90°,∠CAB=∠CPQ, ∴Rt△ACB∽Rt△PCQ. ∴=.∵CQ===. (2)∵点P在AB下侧半圆上运动的过程中, CQ==PC. 可知当PC取到最大值时CQ取最大值. 显然当PC为⊙O直径时取最大,即PC=5时,CQ取最大值,为×5=. [学习目标] 1.了解平行投影的含义,通过圆柱与平面的位置关系,了解平行投影. 2.会证平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情形是圆). 3.能够用运动变化的观点理解柱面、旋转面的概念,进而掌握圆柱面的性质. 4.在一般截面的几何性质的探究中,体验使用焦球的意义,逐步培养对几何图形中不变量的研究意识. 5.用平面截圆锥面研究所得曲线的基本特征并加以证明,从新的角度认识椭圆、双曲线和抛物线. [知识链接] 1.一个圆所在的平面α与平面β平行时,该圆在平面β上的正射影是什么图形? 提示 圆. 2.一个圆所在的平面α与平面β不平行时,该圆在平面β上的正射影是什么图形? 提示 椭圆. 3.回想一下,椭圆是如何定义的? 提示 平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆. 4.用一个平面去截一个圆柱,截面将是怎样一个平面图形? 提示 用一个平面去截一个圆柱,当平面与圆柱的两底面平行时,截面是一个圆,当平面与圆柱的两底面不平行时,截面是一个椭圆,当平面与圆柱两底面垂直时,截面是一个矩形. [预习导引] 1.正射影 (1)定义:给定一个平面α,从一点A作平面α的垂线,垂足为点A′.称点A′为点A在平面α上的正射影.一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形,称为这个图形在平面α上的正射影. (2)圆面的正射影:一个圆所在的平面β与平面α平行,那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆,并且是和原来的圆相同的圆;如果圆所在的平面β与平面α不平行且不垂直时,从生活经验我们知道,正射影的形状发生了变化,就好像一个圆被压扁了,我们称之为椭圆;如果圆所在的平面β与平面α垂直时,那么该圆在平面α上的正射影是一条线段,其长度等于圆的直径. 2.平行射影 定义:设直线l与平面α相交(如图),称直线l的方向为投影方向.过点A作平行于l的直线(称为投影线),必交α于一点A′,称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影.一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形,叫作这个图形的平行射影.显然,正射影是平行射影的特例. 3.定理1 文字语言 圆柱形物体的斜截口是椭圆 符号语言 平面α与圆柱OO′的轴斜交,则截口是椭圆 图形语言 作用 判断截口形状是椭圆 4.椭圆 (1)定义:平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫作椭圆. (2)组成元素:如图所示,F1,F2是椭圆的焦点,B1B2是F1F2的中垂线. 我们把A1A2叫作椭圆的长轴,B1B2叫作椭圆的短轴,F1F2叫作椭圆的焦距,如果长轴为2a,短轴为2b,那么焦距2c=2. (3)Dandelin双球探究椭圆性质:如图所示,设球O1,O2与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α,γ,椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为l1,l2,α,γ与β所成的二面角为θ,母线与平面β的夹角为φ.由于α,β,γ都是确定的,因此交线l1,l2也是确定的,且φ,θ均为定值. ①当点P在椭圆的任意位置时,过P作l1的垂线,垂足为Q,过P作平面α的垂线,垂足为K1,连接K1Q,得Rt△PK1Q,则∠QPK1=φ.从而有==cos φ=定值. ②椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值cos φ.我们把直线l1叫作椭圆的一条准线. ③椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为定值cos φ,所以l2是椭圆的另一条准线. ④记e=cosφ,我们把e叫作椭圆的离心率. 5.定理2 文字语言 若用一个平面去截一个正圆锥(两边可以无限延伸),而且这个平面不通过圆锥的顶点,则会出现下列情况: (1)如果平面与一条母线平行,那么平面就只与正圆锥的一半相交,这时的交线是抛物线; (2)如果平面不与母线平行,当平面只与圆锥的一半相交,这时的交线为椭圆;当平面与圆锥的两个部分都相交,这时的交线是双曲线. 符号语言 在空间中,取直线l为轴,直线l′与l相交于O点,夹角为α,l′围绕l旋转得到以O为顶点,l′为母线的圆锥面.任取平面π,若它与轴l的交角为β(当π与l平行时,记β=0),则: (1)β>α,平面π与圆锥的交线为椭圆; (2)β=α,平面π与圆锥的交线为抛物线; (2)β<α,平面π与圆锥的交线为双曲线. 图形语言 作用 确定交线的形状 6.圆锥曲线的结构特点 (1)椭圆上的点到两个定点(焦点)的距离之和为常数(长轴长2a). (2)双曲线上的点到两个定点(焦点)的距离之差的绝对值为常数(实轴长2a). (3)抛物线上的点到一个定点(焦点)和一条定直线的距离相等. 7.圆锥曲线的几何性质 (1)焦点:Dandelin球与平面π的切点. (2)准线:截面与Dandelin球和圆锥交线所在平面的交线. (3)离心率:e=. (4)圆锥曲线的几何性质 项目 椭圆 双曲线 抛物线 焦点 2个 2个 1个 准线 2条 2条 1条 离心率 e=<1 e=>1 e=1 焦距 F1F2=2c c2=a2-b2 F1F2=2c c2=a2+b2 - 离心率 e= e= 准线间距

2018-2019学年高中数学 第三讲 圆锥曲线性质的探讨学案 新人教A版选修4-1.docx

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