标签: 2018-2019学年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式讲义(含解析)新人教A版选修4-5  
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doc 三 排序不等式 1.顺序和、乱序和、反序和 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,称a1b1+a2b2+…+anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和),称a1bn+a2bn-1+…+anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和).称a1c1+a2c2+…+ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和). 2.排序不等式(排序原理) 定理:(排序原理,又称为排序不等式) 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn为b1,b2,…,bn的任一排列,则有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤a1c1+a2c2+…+ancn≤a1b1+a2b2+…+anbn,等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn. 排序原理可简记作:反序和≤乱序和≤顺序和. [点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时,所得两两乘积之和最大;反向单调(一增一减)时,所得两两乘积之和最小. [例1] 已知a,b,c为正数,且a≥b≥c,求证: ++≥++. [思路点拨] 分析题目中已明确a≥b≥c,所以解答本题时可直接构造两个数组,再用排序不等式证明即可. [证明] ∵a≥b>0,于是≤, 又c>0,从而≥, 同理≥,从而≥≥. 又由于顺序和不小于乱序和,故可得 ++≥++ =++ ≥++=++=++. ∴原不等式成立. 利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构,从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组. 1.已知0<α<β<γ<,求证:sin αcos β+sin βcos γ+sin γ·cos α>(sin 2α+sin 2β+sin 2γ). 证明:∵0<α<β<γ<,且y=sin x在为增函数,y=cos x在为减函数, ∴0<sin α<sin β<sin γ,cos α>cos β>cos γ>0. ∴sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α >sin αcos α+sin βcos β+sin γcos γ =(sin 2α+sin 2β+sin 2γ). 2.设x≥1,求证:1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn. 证明:∵x≥1,∴1≤x≤x2≤…≤xn. 由排序原理得12+x2+x4+…+x2n ≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1 即1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.① 又因为x,x2,…,xn,1为1,x,x2,…,xn的一个排列, 由排序原理得1·x+x·x2+…+xn-1·xn+xn·1 ≥1·xn+x·xn-1+…+xn-1·x+xn·1, 即x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.② 将①②相加得1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn. 用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)   [例2] 设a,b,c为正数,求证: ++≥a10+b10+c10. [思路点拨] 本题考查排序不等式的应用,解答本题需要搞清:题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序,且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的,故可以设a≥b≥c,再利用排序不等式加以证明. [证明] 由对称性,不妨设 a≥b≥c,于是a12≥b12≥c12,≥≥, 故由排序不等式:顺序和≥乱序和,得 ++≥++=++.① 又因为a11≥b11≥c11,≤≤. 再次由排序不等式:反序和≤乱序和,得 ++≤++.② 所以由①②得++≥a10+b10+c10. 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系,对于没有给出大小关系的情况,要根据各字母在不等式中地位的对称性,限定一种大小关系. 3.设a,b,c都是正数,求证:++≥a+b+c. 证明:由题意不妨设a≥b≥c>0, 由不等式的单调性,知ab≥ac≥bc,≥≥. 由排序不等式,知ab×+ac×+bc× ≥ab×+ac×+bc×=a+c+b, 即++≥a+b+c. 4.设a1,a2,a3为正数,求证:++≥a1+a2+a3. 证明:不妨设 a1≥a2≥a3>0,于是 ≤≤,a2a3≤a3a1≤a1a2, 由排序不等式:顺序和≥乱序和得 ++≥·a2a3+·a3a1+·a1a2 =a3+a1+a2. 即++≥a1+a2+a3. 1.有两组数:1,2,3与10,15,20,它们的顺序和、反序和分别是(  ) A.100,85         B.100,80 C.95,80 D.95,85 解析:选B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100,反序和为80. 2.若0<a1<a2,0<b1<b2,且a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值最大的是(  ) A.a1b1+a2b2 B.a1a2+b1b2 C.a1b2+a2b1 D. 解析:选A 因为0<a1<a2,0<b1<b2,所以由排序不等式可知a1b1+a2b2最大. 3.锐角三角形中,设P=,Q=acos C+bcos B+ccos A,则P,Q的大小关系为(  ) A.P≥Q        B.P=Q C.P≤Q D.不能确定 解析:选C 不妨设A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C,则由排序不等式有Q=acos C+bcos B+ccos A≥acos B+bcos C+ccos A =R(2sin Acos B+2sin Bcos C+2sin Ccos A) =R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)] =R(sin C+sin A+sin B)=P=. 4.儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件,现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品,至少要花(  ) A.76元 B.20元 C.84元 D.96元 解析:选A 设a1=1(件),a2=2(件),a3=3(件),b1=10(元),b2=13(元),b3=20(元),则由排序原理反序和最小知至少要花a1b3+a2b2+a3b1=1×20+2×13+3×10=76(元). 5.已知两组数1,2,3和4,5,6,若c1,c2,c3是4,5,6的一个排列,则1c1+2c2+3c3的最大值是________,最小值是________. 解析:由反序和≤乱序和≤顺序和知,顺序和最大,反序和最小,故最大值为32,最小值为28. 答案:32 28 6.设正实数a1,a2,…,an的任一排列为 a1′,a2′,…,an′,则++…+的最小值为________. 解析:不妨设0<a1≤a2≤a3…≤an, 则≥≥…≥. 其反序和为++…+=n, 则由乱序和不小于反序和知 ++…+≥++…+=n, ∴++…+ 的最小值为n. 答案:n 7.设a1,a2,a3,a4是1,2,3,4的一个排序,则a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是________. 解析:a1+2a2+3a3+4a4的最大值为12+22+32+42=30,最小值为1×4+2×3+3×2+4×1=20, ∴a1+2a2+3a3+4a4的取值范围是[20,30]. 答案:[20,30] 8.设a,b,c是正实数,用排序不等式证明aabbcc≥(abc). 证明:由所证不等式的对称性,不妨设a≥b≥c>0, 则lg a≥lg b≥lg c,据排序不等式有: alg a+blg b+clg c≥blg a+clg b+alg c, alg a+blg b+clg c≥clg a+alg b+blg c, 以上两式相加,再两边同加alg a+blg b+clg c,整理得 3(alg a+blg b+clg c)≥(a+b+c)(lg a+lg b+lg c), 即lg(aabbcc)≥·lg(abc), 故aabbcc≥(abc). 9.某学校举行投篮比赛,按规则每个班级派三人参赛,第一人投m分钟,第二人投n分钟,第三人投p分钟,某班级三名运动员A,B,C每分钟能投进的次数分别为a,b,c,已知m>n>p,a>b>c,如何派三人上场能取得最佳成绩? 解:∵m>n>p,a>b>c, 且由排序不等式知顺序和为最大值, ∴最大值为ma+nb+pc,此时分数最高, ∴三人上场顺序是A第一,B第二,C第三. 10.已知0<a≤b≤c,求证:++≥++. 证明:因为0<a≤b≤c,所以0<a+b≤c+a≤b+c, 所以≥≥>0, 又0<a2≤b2≤c2, 所以++是顺序和, ++是乱序和, 由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和, 即不等式++≥++成立.

2018-2019学年高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 三 排序不等式讲义(含解析)新人教A版选修4-5.doc

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