标签: 2018-2019学年高中数学第二章几个重要的不等式1.1简单形式的柯西不等式学案北师大版选修4-5  
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doc 1.1 简单形式的柯西不等式 学习目标 1.认识简单形式的柯西不等式的代数形式和向量形式,理解它们的几何意义.2.会用柯西不等式证明一些简单的不等式,会求某些特定形式的函数的最值. 知识点 简单形式的柯西不等式 思考1 (a2+b2)(c2+d2)与4abcd的大小关系如何?那么(a2+b2)(c2+d2)与(ac+bd)2的大小关系又如何? 答案 (a2+b2)(c2+d2)≥4abcd,(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 思考2 当且仅当a=b且c=d时,(a2+b2)(c2+d2)=4abcd,那么在什么条件下(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2? 答案 当且仅当ad=bc时,(a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd)2. 思考3 若向量α=(a,b),向量β=(c,d),你能从向量的数量积与向量模的积之间的关系发现怎样的不等式? 答案 ·≥|ac+bd|. 梳理 (1)简单形式的柯西不等式 ①定理1:对任意实数a,b,c,d,有(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2. 当向量(a,b)与向量(c,d)共线时,等号成立. ②简单形式的柯西不等式的推论 (a+b)(c+d)≥(+)2(a,b,c,d为非负实数); ·≥|ac+bd|(a,b,c,d∈R); ·≥|ac|+|bd|(a,b,c,d∈R). 以上不等式,当向量(a,b)与向量(c,d)共线时,等号成立. (2)柯西不等式的向量形式 设α,β是任意两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当向量α,β共线时,等号成立. 类型一 利用柯西不等式证明不等式 例1 (1)已知a2+b2=1,x2+y2=1,求证:|ax+by|≤1; (2)设a,b,c为正数,求证:++≥(a+b+c). 证明 (1)|ax+by|=≤=1,当且仅当ay=bx时,等号成立. (2)由柯西不等式,得·≥a+b, 即·≥a+b. 同理,·≥b+c,·≥a+c. 将上面三个同向不等式相加,得 (++)≥2(a+b+c). ∴当且仅当a=b=c时,等号成立. ++≥(a+b+c). 反思与感悟 利用柯西不等式的代数形式证明某些不等式时,要抓住不等式的基本特征:(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,其中a,b,c,d∈R或(a+b)(c+d)≥(+)2,其中a,b,c,d∈R+.找出待证不等式中相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析,增补(特别是对数字的增补:如a=1×a),变形等. 跟踪训练1 已知a1,a2,b1,b2∈R+,求证:(a1b1+a2b2)·≥(a1+a2)2. 证明 ∵a1,a2,b1,b2∈R+, ∴(a1b1+a2b2)=· ≥2=(a1+a2)2. 当且仅当·=·,即b1=b2时,等号成立. ∴(a1b1+a2b2)≥(a1+a2)2. 例2 若实数x,y,z满足x2+4y2+z2=3,求证:|x+2y+z|≤3. 证明 因为x2+4y2+z2=3, 所以由柯西不等式得[x2+(2y)2+z2](12+12+12)≥(x+2y+z)2 . 整理得(x+2y+z)2≤9,即|x+2y+z|≤3. 反思与感悟 (1)抓住柯西不等式的特征“方、和、积”,构造使用柯西不等式的条件. (2)此类题也可以用三角不等式,把△ABO的三个顶点分别设为O(0,0),A(x1,x2),B(-y1,-y2)即可. 跟踪训练2 若a>b>c,求证:+≥. 证明 ∵a-c=(a-b)+(b-c), 又a>b>c, ∴a-c>0,a-b>0,b-c>0. ∴(a-c)=[(a-b)+(b-c)] ≥(1+1)2=4,当且仅当a-b=b-c时,等号成立. ∴+≥. 类型二 利用柯西不等式求最值 例3 若3x+4y=2,试求x2+y2的最小值及最小值点. 解 由柯西不等式,得(x2+y2)(32+42)≥(3x+4y)2, 即25(x2+y2)≥4,所以x2+y2≥, 当且仅当=时等号成立,点(x,y)为所求最小值点. 解方程组得 因此,当x=,y=时,x2+y2取得最小值,最小值为,最小值点为. 反思与感悟 利用柯西不等式求最值 (1)先变形凑成柯西不等式的结构特征,是利用柯西不等式求解的先决条件. (2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式,但只要适当添加上常数项或和为常数的各项,就可以应用柯西不等式来解,这也是运用柯西不等式解题的技巧. (3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的,但在运用过程中,每运用一次前后等号成立的条件必须一致,不能自相矛盾,否则就会出现错误.多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 跟踪训练3 已知a,b∈R,且9a2+4b2=18,求3a+2b的最值. 解 由柯西不等式,得(9a2+4b2)(12+12)≥(3a+2b)2, ∵9a2+4b2=18, ∴36≥(3a+2b)2. ∴|3a+2b|≤6. 由 即或时等号成立. ∴当a=1,b=时,3a+2b有最大值6; 当a=-1,b=-时,3a+2b有最小值-6. 1.已知a,b∈R,a2+b2=4,则3a+2b的最大值为(  ) A.4 B.2 C.8 D.9 答案 B 解析 (a2+b2)(32+22)≥(3a+2b)2,当且仅当3b=2a时取等号,所以(3a+2b)2≤4×13.所以3a+2b的最大值为2. 2.已知a≥0,b≥0,且a+b=2,则(  ) A.ab≤ B.ab≥ C.a2+b2≥2 D.a2+b2≤3 答案 C 解析 ∵(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2=4,当且仅当a=b=1时,等号成立,∴a2+b2≥2. 3.设xy>0,则的最小值为________. 答案 9 解析 ∵=≥(1+2)2=9, 当且仅当xy=,即xy=时取等号. ∴最小值为9. 4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为________. 答案  解析 ∵(a2+b2)(m2+n2)≥(ma+nb)2=25, ∴m2+n2≥5. ∴≥, 当且仅当an=bm时取等号. 5.已知a2+b2=1,求证:|acosθ+bsinθ|≤1. 证明 ∵1=a2+b2=(a2+b2)(cos2θ+sin2θ)≥(acosθ+bsinθ)2, ∴|acosθ+bsinθ|≤1. 1.利用柯西不等式的关键是找出相应的两组数,应用时要对照柯西不等式的原形,进行多角度的尝试. 2.柯西不等式取等号的条件的记忆方法 如(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2等号成立的条件是ad=bc,可以把a,b,c,d看成等比,则ad=bc来联想记忆. 一、选择题 1.已知a,b∈R+且a+b=1,则P=(ax+by)2与Q=ax2+by2的关系是(  ) A.P≤Q B.P<Q C.P≥Q D.P>Q 答案 A 解析 设m=(x,y),n=(,), 则|ax+by|=|m·n|≤|m||n|=· =·=, ∴(ax+by)2≤ax2+by2.即P≤Q. 2.若a,b∈R,且a2+b2=10,则a-b的取值范围是(  ) A.[-2,2] B.[-2,2] C.[-,] D.(-,) 答案 A 解析 (a2+b2)[12+(-1)2]≥(a-b)2,当且仅当a=-b 时,等号成立. ∵a2+b2=10,∴(a-b)2≤20. ∴-2≤a-b≤2. 3.函数y=+2的最大值是(  ) A. B. C.3 D.5 答案 B 解析 根据柯西不等式知, y=1×+2×≤×=(当且仅当x=时取等号). 4.若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是(  ) A.[0,] B.[-,0] C.[-,] D.[-5,5] 答案 C 解析 (3x+2y)2≤[()2+()2][(x)2+(y)2]=5×(3x2+2y2)≤5, ∴-≤3x+2y≤. 5.已知a,b,c,d,m,n∈R+,P=+,Q=·,则P与Q的大小关系为(  ) A.P≤Q B.P<Q C.P≥Q D.P=Q 答案 A 解析 ∵P=+≤ =·=Q, ∴P≤Q. 6.已知a,b>0,且a+b=1,则(+)2的最大值是(  ) A.2 B. C.6 D.12 答案 D 解析 (+)2=(1×+1×)2≤(12+12)(4a+1+4b+1) =2[4(a+b)+2]=2×(4×1+2)=12, 当且仅当=,即a=b=时等号成立. 二、填空题 7.设实数x,y满足3x2+2y2≤6,则P=2x+y的最大值为________. 答案  解析 由柯西不等式,得 (2x+y)2≤[(x)2+(y)2]· =(3x2+2y2)·≤6×=11 , 所以2x+y≤. 8.设x,y∈R+,则(x+y)的最小值是________. 答案 5+2 解析 (x+y)≥2=(+)2=5+2, 当且仅当·=·时,等号成立. 9.已知x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________. 答案 3+2 解析 2x+y=(2x+y)=[()2+()2] ≥2=3+2, 当且仅当·=·时,等号成立, 又+=1, 则此时 10.已知函数f(x)=3+4,则函数f(x)的最大值为________. 答案 5 解析 由柯西不等式知, (3+4)2≤(32+42)·[()2+()2]=25. 当且仅当3=4时,等号成立, 因此f(x)≤5. 三、解答题 11.设a,b∈R+,且a+b=2.求证:+≥2. 证明 根据柯西不等式,有 [(2-a)+(2-b)]=[()2+()2] ≥2=(a+b)2=4, ∴+≥=2. ∴原不等式成立. 12.试求函数f(x)=3cosx+4的最大值,并求出相应的sinx和cosx的值. 解 设m=(3,4),n=(cosx,), 则f(x)=3cosx+4=m·n≤|m||n| =·=5. 当且仅当m∥n时,上式取“=”. 此时3-4cosx=0, 解得sinx=±,cosx=. 故当sinx=±,cosx=时, f(x)=3cosx+4取得最大值5. 13.已知a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞).求证:(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 证明 由a,b∈(0,+∞),a+b=1,x1,x2∈(0,+∞), 及柯西不等式,可得 (ax1+bx2)(ax2+bx1)=[()2+()2]·[()2+()2]≥(·+·)2=(a+b)2=x1x2, 当且仅当=,即x1=x2时取得等号. 所以(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥x1x2. 四、探究与拓展 14.若a+b=1,则2+2的最小值为(  ) A.1 B.2 C. D. 答案 C 解析 2+2=a2+2++b2+2+. ∵a+b=1, ∴a2+b2=(a2+b2)·(1+1)≥(a+b)2=. 又∵+≥≥=8, 以上两个不等式都是当且仅当a=b=时,等号成立. ∴2+2≥+2+2+8=, 当且仅当a=b=时等号成立. 15.已知关于x的不等式|x+a|<b的解集为{x|2<x<4}. (1)求实数a,b的值; (2)求+的最大值. 解 (1)由|x+a|<b,得-b-a<x<b-a, 则解得a=-3,b=1. (2)+=+≤=2=4, 当且仅当=,即t=1时等号成立, 故(+)max=4.

2018-2019学年高中数学 第二章 几个重要的不等式 1.1 简单形式的柯西不等式学案 北师大版选修4-5.docx

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