标签: 2018-2019学年高中数学第二章几个重要的不等式滚动训练四(1-3)北师大版选修4-5  
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doc 第二章 几个重要的不等式 滚动训练四 一、选择题 1.设a,b∈R+且a+b=16,则+的最小值是(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 (a+b)≥2=4, ∴+≥. 当且仅当·=·, 即a=b=8时取等号. 2.若A=x+x+…+x,B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,其中x1,x2,…,xn都是正数,则A与B的大小关系为(  ) A.A>B B.A<B C.A≥B D.A≤B 答案 C 解析 依数列{xn}的各项都是正数,不妨设0<x1≤x2≤…≤xn,则x2,x3,…,xn,x1为数列{xn}的一个排列.依排序原理,得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1,即x+x+…+x≥x1x2+x2x3+…+xnx1. 3.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n+1=2n+2-1(n∈N+)的过程中,在验证n=1时,左端计算所得的项为(  ) A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23 答案 C 解析 当n=1时,左端=1+2+22,故选C. 4.已知x,y,z,a,b,c,k均为正数,且x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30,a+b+c=k(x+y+z),则k等于(  ) A.B.C.9D.3 答案 D 解析 因为x2+y2+z2=10,a2+b2+c2=90,ax+by+cz=30, 所以(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=(ax+by+cz)2, 又(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2, 当且仅当===k时,等号成立, 则a=kx,b=ky,c=kz,代入a2+b2+c2=90, 得k2(x2+y2+z2)=90, 于是k=3,故选D. 5.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N+)的过程中,由n=k递推到n=k+1不等式左边(  ) A.增加了一项 B.增加了两项, C.增加了B中两项但减少了一项 D.以上各种情况均不对 答案 C 解析 ∵n=k时,左边=++…+, n=k+1时,左边=++…+++, ∴增加了两项,,少了一项. 6.函数y=5+的最大值是(  ) A.6 B.2 C.5 D.2 答案 D 解析 函数的定义域为[1,3],且y>0.由柯西不等式可得y=5+=5+×≤=2,当且仅当=,即x=时,函数取得最大值2,故选D. 7.若2x+3y+5z=29,则函数μ=++的最大值为(  ) A. B.2 C.2 D. 答案 C 解析 由柯西不等式可得(·1+·1+·1)2≤(2x+1+3y+4+5z+6)(12+12+12), ∵2x+3y+5z=29, ∴(·1+·1+·1)2≤120, ∴μ=++≤2, ∴μ=++的最大值为2.故选C. 二、填空题 8.已知a,b,c都是正数,且2a+b+c=6,则a2+ab+ac+bc的最大值为________. 答案 9 解析 ∵a,b,c都是正数,∴a2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)≤2. ∵2a+b+c=6,∴a2+ab+ac+bc≤9, ∴a2+ab+ac+bc的最大值为9. 9.已知两组数1,2,3和45,25,30,若c1,c2,c3是45,25,30的一个排列,则c1+2c2+3c3的最大值是________,最小值是________. 答案 220 180 解析 由排序不等式知顺序和最大,逆序和最小,故所求最大值为1×25+2×30+3×45=220,最小值为1×45+2×30+3×25=180. 10.已知实数x,y,z满足2x+y+3z=32,则的最小值为________. 答案  解析 ∵12+22+32=14,由柯西不等式可得(22+12+32)[(x-1)2+(y+2)2+z2]≥(2x-2+y+2+3z)2=322, ∴≥, 当且仅当==时,等号成立, 即的最小值是. 11.已知a,b,c都是正数,a+2b+3c=9,则++的最小值为________. 答案  解析 ∵(a+2b+3c) =[()2+()2+()2]·≥2=1, 当且仅当a=3b=9c时取等号, 又a+2b+3c=9,∴++≥,即最小值为. 三、解答题 12.设函数y=|x+1|+|x-2|的最小值为M. (1)求实数M的值; (2)若不等式+≤M(其中a>0)恒成立,求实数a的取值范围. 解 (1)因为|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3,所以M=3. (2)因为(+·)2≤[12+()2](a-x+2+x)=3(a+2),当且仅当=·时,等号成立,即当x=∈[-2,a]时,+取得最大值,所以≤3. 又a>0,所以0<a≤1. 13.已知函数f(x)=|x+1|-|2x-2|. (1)求不等式f(x)≥x-1的解集; (2)若f(x)的最大值是m,且a,b,c均为正数,a+b+c=m,求++的最小值. 解 (1)由已知可得或或 解得0≤x≤2. 故不等式的解集为[0,2]. (2)f(x)= 得最大值,∴m=f(1)=2, ∴a+b+c=2. 又(a+b+c)=[()2+()2+()2]·≥(a+b+c)2, ∴++≥a+b+c=2,当且仅当a=b=c时取等号,故++的最小值是2. 14.已知数列{an}和{bn},其中an=1+3+5+…+(2n+1),bn=1+2+…+2n-1,当n∈N+时,试比较an与bn的大小,并证明你的结论. 解 由已知得an=·(n+1)=(n+1)2,bn==2n-1. 当n=1时,a1=4,b1=1,则a1>b1, 当n=2时,a2=9,b2=3,则a2>b2, 当n=3时,a3=16,b3=7,则a3>b3, 当n=4时,a4=25,b4=15,则a4>b4, 当n=5时,a5=36,b5=31,则a5>b5 当n=6时,a6=49,b6=63,则a6<b6, 当n=7时,a7=64,b7=127,则a7<b7, …, 由此猜想,当n∈N+,n≤5时,an>bn. 当n∈N+,n≥6时,an<bn. 前一结论上面已用列举法证明, 后一结论用数学归纳法证明如下: ①当n=6时,上面已证a6<b6. ②假设当n=k(k∈N+,k≥6)时,上述结论成立, 即当k≥6时,(k+1)2<2k-1. 当n=k+1时,要证ak+1<bk+1, 即证(k+2)2<2k+1-1,只需证(k+2)2<2·2k-1, 根据归纳假设,2·2k-1>2[(k+1)2+1]-1, 所以只需证(k+2)2<2(k+1)2+1, 即证k2+4k+4<2k2+4k+3,即证k2>1. 因为k≥6,所以此式显然成立. 故当n=k+1时结论成立. 由①②可知,当n∈N+,n≤5时,an>bn,当n∈N+,n≥6时,an<bn.

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