标签: 2018-2019学年高中数学第二章几个重要的不等式章末检测试卷北师大版选修4-5  
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文档内容摘要
doc 第二章 几个重要的不等式 章末检测试卷(二) (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.已知m2+n2=2,t2+s2=8,则|mt+ns|的最大值为(  ) A.2B.4C.8D.16 答案 B 解析 ∵(m2+n2)(t2+s2)≥(mt+ns)2, ∴(mt+ns)2≤2×8=16,∴|mt+ns|≤4. 当且仅当ms=nt时,等号成立. 2.用数学归纳法证明不等式1+++…+<2-(n≥2,n∈N+)时,第一步应验证不等式(  ) A.1+<2- B.1++<2- C.1+<2- D.1++<2- 答案 A 解析 第一步验证n=2时不等式成立,即1+<2-. 3.已知a,b,c为正数,则(a+b+c)的最小值为(  ) A.1B.C.3D.4 答案 D 解析 (a+b+c)=[()2+()2] ≥2=22=4, 当且仅当a+b=c时取等号. 4.设a,b,c为正数,a+b+4c=1,则++2的最大值是(  ) A.B.C.2D. 答案 B 解析 1=a+b+4c=()2+()2+(2)2 =[()2+()2+(2)2]·(12+12+12)≥(++2)2·, ∴(++2)2≤3,即++2≤,当且仅当a=b=4c时等号成立. 5.已知数列{an}中,a1=1,a2=2,an+1=2an+an-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明(  ) A.a4k+1能被4整除 B.a4k+2能被4整除 C.a4k+3能被4整除 D.a4k+4能被4整除 答案 D 解析 假设当n=k时,即a4k能被4整除,然后应证明当n=k+1时,即a4(k+1)=a4k+4能被4整除. 6.设a,b,c均为实数,则的最大值为(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由(a2+2b2+3c2)≥2, 即(a2+2b2+3c2)·≥(a+b+c)2, ∴≤.∴≤. 7.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·(2n-1)(n∈N+)”时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增加的式子是(  ) A.2k+1B.2k+3C.2(2k+1) D.2(2k+3) 答案 C 解析 当n=k+1时,(k+2)(k+3)…(k+k)·(2k+1)·(2k+2)=(k+1)(k+2)…(k+k)·2(2k+1), ∴2(2k+1)是从n=k到n=k+1时,左边应增加的式子. 8.若x,y,z是非负实数,且9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值为(  ) A.9B.10C.14D.15 答案 A 解析 u2=(3x+6y+5z)2=[1×(3x)+·(2y)+·(z)]2 ≤[12+()2+()2]·(9x2+12y2+5z2)=9×9=81. ∴u≤9.当且仅当==时,取等号. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 9.用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+),在验证当n=1时,等式右边的式子是________. 答案 cosα 解析 当n=1时,右边===cosα. 10.仔细观察下列不等式: >, >, >, >, 则第n个不等式为______________________________. 答案 …>(n∈N+) 11.观察下列不等式:1>,1++>1,1+++…+>,1+++…+>2,1+++…+>,…,由此猜测第n个不等式为____________________________. 答案 1+++…+>(n∈N+) 解析 1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,归纳第n个式子为1+++…+>(n∈N+). 12.设n∈N+,f(n)=5n+2·3n-1+1,通过计算n=1,2,3,4时f(n)的值,可以猜想f(n)能被数值________整除. 答案 8 三、解答题(本大题共6小题,每小题10分,共60分) 13.求三个实数x,y,z,使得它们同时满足下列方程:2x+3y+z=13,4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82. 解 将两个方程相加,得 (2x)2+(3y+3)2+(z+2)2=108,① 又第一个方程可变形为2x+(3y+3)+(z+2)=18,② 由①②及柯西不等式,得(2x)2+(3y+3)2+(z+2)2≥[2x+(3y+3)+(z+2)]2, 即108≥×182=108,即柯西不等式中的等号成立. 所以2x=3y+3=z+2=6,故x=3,y=1,z=4. 14.(2017·江苏)已知a,b,c,d为实数,且a2+b2=4,c2+d2=16,证明:ac+bd≤8. 证明 由柯西不等式,得(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2), 因为a2+b2=4,c2+d2=16,所以(ac+bd)2≤64, 因此ac+bd≤8. 15.a,b,c都是正数,求证:an(a2-bc)+bn(b2-ac)+cn(c2-ab)≥0(n是任意正数). 证明 设a≥b≥c>0,只需证an+2+bn+2+cn+2≥anbc+bnca+cnab.(*) 由不等式的性质知,an+1≥bn+1≥cn+1,又a≥b≥c, 由排序原理,得 an+2+bn+2+cn+2≥an+1b+bn+1c+cn+1a.① 又由不等式单调性知,ab≥ac≥bc,an≥bn≥cn. ∴an+1b+bn+1c+cn+1a≥anbc+bnca+cnab.② 由①②可得不等式(*)成立.∴原不等式成立. 16.用数学归纳法证明:f(n)=3·52n+1+23n+1(n∈N+)能被17整除. 证明 (1)当n=1时,f(1)=3×53+24=391=17×23, 故f(1)能被17整除. (2)假设当n=k(k∈N+)时,命题成立. 即f(k)=3·52k+1+23k+1能被17整除, 则当n=k+1时,f(k+1)=3·52k+3+23k+4=52·3·52k+1+52·23k+1-52·23k+1+23k+4 =25f(k)-17·23k+1. 由归纳假设可知,f(k)能被17整除,又17·23k+1显然可被17整除,故f(k+1)能被17整除. 综合(1)(2)可知,对任意正整数n,f(n)能被17整除. 17.已知a,b∈R+,n∈N+.求证:≥n. 证明 (1)当n=1时,≥,显然成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,不等式成立, 即≥k. 要证n=k+1时,不等式成立,即证≥k+1. 在≥k的两边同时乘以,得≥k+1. 要证≥k+1, 只需证≥, 因为≥ ⇔2(ak+1+bk+1)≥(a+b)(ak+bk) ⇔2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+akb+bk+1)≥0 ⇔ak+1-abk-akb+bk+1≥0⇔(a-b)(ak-bk)≥0. 又a-b与(ak-bk)同正负(或同时为0), 所以不等式(a-b)(ak-bk)≥0显然成立. 所以当n=k+1时,不等式成立. 综合(1)(2)可知,对任何n∈N+,不等式恒成立. 18.是否存在常数a,b,c,使得等式1×22+2×32+3×42+…+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数成立?并证明你的结论. 解 假设存在a,b,c,使题中等式对一切正整数成立, 则当n=1,2,3时,上式显然成立, 可得 解得a=3,b=11,c=10. 下面用数学归纳法证明等式1×22+2×32+3×42+…+n(n+1)2=(3n2+11n+10)对一切正整数均成立. (1)当n=1时,命题显然成立. (2)假设当n=k(k≥1,k∈N+)时,命题成立, 即1×22+2×32+3×42+…+k(k+1)2 =(3k2+11k+10),则当n=k+1时,有 1×22+2×32+…+k(k+1)2+(k+1)·(k+2)2 =(3k2+11k+10)+(k+1)(k+2)2 =(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2 =(3k2+5k+12k+24) =[3(k+1)2+11(k+1)+10]. 即当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,对任何正整数n,等式都成立.

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