标签: 2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆2.1.1椭圆及其标准方程讲义(含解析)新人教A版选修1-1  
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doc 2.1.1 椭圆及其标准方程     预习课本P32~36,思考并完成以下问题 1.平面内满足什么条件的点的轨迹为椭圆?椭圆的焦点、焦距分别是什么?       2.椭圆的标准方程是什么?     1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距. [点睛] 定义中的条件2a>|F1F2|>0不能少,这是根据三角形中的两边之和大于第三边得出来的.否则: ①当2a=|F1F2|时,其轨迹为线段F1F2; ②当2a<|F1F2|时,其轨迹不存在. 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图 形 焦点坐标 (-c,0),(c,0) (0,-c),(0,c) a,b,c的关系 c2=a2-b2 [点睛] 椭圆的标准方程的特征 (1)几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴或y轴上. (2)代数特征:方程右边为1,左边是关于与的平方和,并且分母为不相等的正值. 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到两定点距离之和等于定长的点的轨迹为椭圆(  ) (2)已知椭圆的焦点是F1,F2,P是椭圆上的一动点,如果延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,则动点Q的轨迹为圆(  ) (3)方程+=1(a>0,b>0)表示的曲线是椭圆(  ) 答案:(1)× (2)√ (3)× 2.若椭圆+=1的一个焦点坐标为(1,0),则实数m的值为(  ) A.1    B.2   C.4   D.6 答案:C 3.设P是椭圆+=1上的点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(  ) A.4 B.5 C.8 D.10 答案:D 4.若椭圆的焦距为6,a-b=1,则椭圆的标准方程为________________. 答案:+=1或+=1 求椭圆的标准方程 [典例] 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10; (2)椭圆的两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点; (3)椭圆的焦点在x轴上,a∶b=2∶1,c=. [解] (1)椭圆的焦点在x轴上,故设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). ∵2a=10,c=4,∴b2=a2-c2=9. ∴椭圆的标准方程为+=1. (2)椭圆的焦点在y轴上,故设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由椭圆的定义,知2a=+ =+=2, ∴a=. 又∵c=2,∴b2=a2-c2=10-4=6. ∴椭圆的标准方程为+=1. (3)∵c=,∴a2-b2=c2=6.① 又由a∶b=2∶1,得a=2b,代入①得4b2-b2=6, ∴b2=2,∴a2=8. 又∵椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为+=1. 确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面 (1)“定位”是指确定与坐标系的相对位置,在中心为原点的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以判断方程的形式; (2)“定量”是指确定a2,b2的具体数值,常根据条件列方程求解.       [活学活用] 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)经过两点(2,-),; (2)过点(,-),且与椭圆+=1有相同的焦点. 解:(1)法一:(分类讨论法)若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).由已知条件得解得 则a2<b2,与题设中a>b>0矛盾,舍去. 综上,所求椭圆的标准方程为+=1. 法二:(待定系数法)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B).将两点(2,-),代入,得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)因为所求椭圆与椭圆+=1的焦点相同,所以其焦点在y轴上,且c2=25-9=16.设它的标准方程为 +=1(a>b>0). 因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16.① 又点(,-)在椭圆上,所以+=1, 即+=1.② 由①②得b2=4,a2=20,所以所求椭圆的标准方程为 +=1. 椭圆的定义及其应用 [典例] (1)已知椭圆的方程为+=1(a>5),它的两个焦点分别为F1,F2,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则△ABF2的周长为(  ) A.10          B.20 C.2 D.4 (2)如图所示,已知椭圆的方程为+=1,若点P在第二象限,且∠PF1F2=120°,则△PF1F2的面积为________. [解析] (1)∵a>5,∴椭圆的焦点在x轴上.又c=4, ∴a2-25=42,∴a=.由椭圆的定义知△ABF2的周长=|BA|+|F2B|+|F2A|=|BF1|+|BF2|+|AF1|+|AF2|=4a=4. (2)由已知得a=2,b=, 所以c===1,|F1F2|=2c=2. 在△PF1F2中,由余弦定理,得 |PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos 120°, 即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|.① 由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=4, 即|PF2|=4-|PF1|.② 将②代入①解得|PF1|=. 所以S△PF1F2=|PF1|·|F1F2|·sin 120° =××2×=, 即△PF1F2的面积是. [答案] (1)D (2) 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆的定义具有双向作用,即若|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|),则点M的轨迹是椭圆;反之,椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a. (2)涉及焦点三角形面积时,可把|PF1|,|PF2|看作一个整体,运用|PF1|2+|PF2|2=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|,而无需单独求解.     [活学活用] 1.如图所示,已知椭圆的两焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,则椭圆的标准方程为____________. 解析:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),焦距为2c,则由已知得c=1,|F1F2|=2,所以4=|PF1|+|PF2|=2a,所以a=2,所以b2=a2-c2=4-1=3,所以椭圆的标准方程为+=1. 答案:+=1 2.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,若|PF1|=4,则∠F1PF2=________. 解析:由题意,得a2=9,∴a=3,c2=a2-b2=9-2=7,∴c=,∴|F1F2|=2. ∵|PF1|=4,∴|PF2|=2a-|PF1|=2. ∴cos∠F1PF2= ==-, ∴∠F1PF2=120°. 答案:120° 与椭圆有关的轨迹问题 [典例] (1)已知P是椭圆+=1上一动点,O为坐标原点,则线段OP中点Q的轨迹方程为________. (2)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C,求C的方程. [解析] (1)设P(xP,yP),Q(x,y), 由中点坐标公式得所以 又点P在椭圆+=1上,所以+=1, 即x2+=1. 答案:x2+=1 (2)解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.动圆P与圆M外切并且与圆N内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2). 解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法 (1)定义法: 用定义法求椭圆方程的思路是:先观察、分析已知条件,看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义.若符合椭圆的定义,则用待定系数法求解即可. (2)相关点法: 有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的,只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去,即可解决问题,这种方法称为相关点法.       [活学活用] 求过点P(3,0)且与圆x2+6x+y2-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程. 解:圆方程配方整理得(x+3)2+y2=102,圆心为C1(-3,0),半径为R=10.设所求动圆圆心为C(x,y),半径为r,依题意有消去r得R-|PC|=|CC1|⇒|PC|+|CC1|=R,即|PC|+|CC1|=10. 又P(3,0),C1(-3,0),且|PC1|=6<10.可见C点是以P,C1为两焦点的椭圆,且c=3,2a=10, 所以a=5,从而b=4, 故所求的动圆圆心的轨迹方程为+=1. 层级一 学业水平达标 1.若椭圆+=1上一点P到焦点F1的距离为3,则点P到另一焦点F2的距离为(  ) A.6           B.7 C.8 D.9 解析:选B 根据椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=2a=2×5=10,因为|PF1|=3,所以|PF2|=7. 2.若椭圆+=1的焦距为2,则m的值为(  ) A.5 B.3 C.5或3 D.8 解析:选C 由题意得c=1,a2=b2+c2.当m>4时,m=4+1=5;当m<4时,4=m+1,∴m=3. 3.命题甲:动点P到两定点A,B的距离之和|PA|+|PB|=2a(a>0,常数);命题乙:P点轨迹是椭圆.则命题甲是命题乙的(  ) A.充分不必要条件     B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B 利用椭圆定义.若P点轨迹是椭圆,则|PA|+|PB|=2a(a>0,常数),∴甲是乙的必要条件. 反过来,若|PA|+|PB|=2a(a>0,常数)是不能推出P点轨迹是椭圆的. 这是因为:仅当2a>|AB|时,P点轨迹才是椭圆;而当2a=|AB|时,P点轨迹是线段AB;当2a<|AB|时,P点无轨迹,∴甲不是乙的充分条件. 综上,甲是乙的必要不充分条件. 4.如果方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则实数a的取值范围是(  ) A.a>3 B.a<-2 C.a>3或a<-2 D.a>3或-6<a<-2 解析:选D 由a2>a+6>0得所以所以a>3或-6<a<-2. 5.已知P为椭圆C上一点,F1,F2为椭圆的焦点,且|F1F2|=2,若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|,则椭圆C的标准方程为(  ) A.+=1 B.+=1或+=1 C.+=1 D.+=1或+=1 解析:选B 由已知2c=|F1F2|=2,∴c=. ∵2a=|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4, ∴a=2.∴b2=a2-c2=9. 故椭圆C的标准方程是+=1或+=1. 6.已知F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,则|AB|=________. 解析:由直线AB过椭圆的一个焦点F1,知|AB|=|F1A|+|F1B|,∴在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,又|F2A|+|F2B|=12,∴|AB|=8. 答案:8 7.已知椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点,则椭圆C的标准方程为________________. 解析:法一:依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F′(-2,0). 从而有解得 又a2=b2+c2,所以b2=12, 故椭圆C的标准方程为+=1. 法二:依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则解得b2=12或b2=-3(舍去),从而a2=16.所以椭圆C的标准方程为+=1. 答案:+=1 8.椭圆的两焦点为F1(-4,0),F2(4,0),点P在椭圆上,若△PF1F2的面积最大为12,则椭圆方程为__________. 解析:如图,当P在y轴上时 △PF1F2的面积最大, ∴×8b=12,∴b=3. 又∵c=4,∴a2=b2+c2=25. ∴椭圆的标准方程为+=1. 答案:+=1 9.求符合下列条件的椭圆的标准方程. (1)过点和; (2)过点(-3,2)且与椭圆+=1有相同的焦点. 解:(1)设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).∵椭圆过点和, ∴解得 ∴所求椭圆的标准方程为x2+=1. (2)由题意得已知椭圆+=1中a=3,b=2, 且焦点在x轴上,∴c2=9-4=5. ∴设所求椭圆方程为+=1. ∵点(-3,2)在所求椭圆上, ∴+=1.∴a′2=15或a′2=3(舍去). ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 10.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别是F1(0,-1),F2(0,1),且3a2=4b2. (1)求椭圆的标准方程; (2)设点P在这个椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求∠F1PF2的余弦值. 解:(1)依题意,知c2=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2, 所以a2-a2=1,即a2=1,所以a2=4,b2=3, 故椭圆的标准方程为+=1. (2)由于点P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2a=2×2=4.又|PF1|-|PF2|=1,所以|PF1|=,|PF2|=.又|F1F2|=2c=2,所以由余弦定理得cos ∠F1PF2==. 故∠F1PF2的余弦值等于. 层级二 应试能力达标 1.下列说法中正确的是(  ) A.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 B.已知F1(-4,0),F2(4,0),平面内到F1,F2两点

2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1 椭圆 2.1.1 椭圆及其标准方程讲义(含解析)新人教A版选修1 -1.doc

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