标签: 2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2双曲线2.2.1双曲线及其标准方程讲义(含解析)新人教A版选修1-1  
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doc 2.2.1 双曲线及其标准方程     预习课本P45~48,思考并完成以下问题 1.平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线?双曲线的焦点、焦距分别是什么?       2.什么是双曲线的标准方程?     1.双曲线的定义 把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. [点睛] 平面内到两定点F1,F2的距离的差的绝对值为非零常数,即||MF1|-|MF2||=2a,关键词“平面内”. 当2a<|F1F2|时,轨迹是双曲线; 当2a=|F1F2|时,轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线; 当2a>|F1F2|时,轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系 c2=a2+b2 [点睛] (1)标准方程的代数特征:方程右边是1,左边是关于x,y的平方差,并且分母大小关系不确定. (2)a,b,c三个量的关系: 标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,这里b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别,且椭圆中a>b>0,而双曲线中,a,b大小不确定. 1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线(  ) (2)在双曲线标准方程-=1中,a>0,b>0且a≠b(  ) (3)双曲线标准方程中,a,b的大小关系是a>b(  ) 答案:(1)× (2)× (3)× 2.已知双曲线-=1,则双曲线的焦点坐标为(  ) A.(-,0),(,0)     B.(-5,0),(5,0) C.(0,-5),(0,5) D.(0,-),(0,) 答案:B 3.平面内有两个定点F1(-5,0)和F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=6,则动点P的轨迹方程是(  ) A.-=1(x≤-4) B.-=1(x≤-3) C.-=1(x≥4) D.-=1(x≥3) 答案:D 4.双曲线的两焦点坐标是F1(0,3),F2(0,-3),b=2,则双曲线的标准方程是________. 答案:-=1 双曲线标准方程的认识 [典例] 已知方程-=1对应的图形是双曲线,那么k的取值范围是(  ) A.k>5        B.k>5或-2<k<2 C.k>2或k<-2 D.-2<k<2 [解析] ∵方程对应的图形是双曲线, ∴(k-5)(|k|-2)>0. 即或 解得k>5或-2<k<2. [答案] B 双曲线方程的辨识方法 将双曲线的方程化为标准方程的形式,假如双曲线的方程为+=1,则当mn<0时,方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线.       [活学活用] 1.已知双曲线+=1,焦点在y轴上,若焦距为4,则a等于(  ) A.           B.5 C.7 D. 解析:选D 根据题意可知,双曲线的标准方程为-=1.由其焦距为4,得c=2,则有c2=2-a+3-a=4,解得a=. 2.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程所表示的曲线是(  ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在x轴上的双曲线 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在y轴上的椭圆 解析:选C 方程mx2-my2=n可化为-=1.由mn<0知<0,故方程所表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线. 求双曲线的标准方程 [典例] 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a=3,c=4,焦点在x轴上; (2)焦点为(0,-6),(0,6),经过点A(-5,6); (3)以椭圆+=1长轴的端点为焦点,且经过点(3,). [解] (1)由题设知,a=3,c=4,由c2=a2+b2, 得b2=c2-a2=42-32=7. 因为双曲线的焦点在x轴上, 所以所求双曲线的标准方程为-=1. (2)由已知得c=6,且焦点在y轴上. 因为点A(-5,6)在双曲线上,所以 2a=|-| =|13-5|=8, 则a=4,b2=c2-a2=62-42=20. 所以所求双曲线的标准方程是-=1. (3)由题意得,双曲线的焦点在x轴上,且c=2. 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则有a2+b2=c2=8,-=1,解得a2=3,b2=5. 故所求双曲线的标准方程为-=1. 1.求双曲线标准方程的步骤 (1)定位:是指确定与坐标系的相对位置,在标准方程的前提下,确定焦点位于哪条坐标轴上,以确定方程的形式. (2)定量:是指确定a2,b2的数值,常由条件列方程组求解. 2.双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a,b,c,再写出双曲线的标准方程. (2)待定系数法:先设出双曲线的标准方程-=1或-=1(a,b均为正数),然后根据条件求出待定的系数代入方程即可. [注意] 若焦点的位置不明确,应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx2+ny2=1的形式,注意标明条件mn<0.     [活学活用] 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2); (2)双曲线过两点P,Q. 解:(1)设双曲线的标准方程为 -=1(-4<k<16). 将点(3,2)代入,解得k=4或k=-14(舍去), ∴双曲线的标准方程为-=1. (2)设所求双曲线方程为Ax2+By2=1(AB<0). ∵点,在双曲线上, ∴解得 ∴双曲线的标准方程为-=1. 双曲线定义的应用 [典例] 已知F1,F2分别是双曲线-=1的左、右焦点,若P是双曲线左支上的点,且|PF1|·|PF2|=32.试求△F1PF2的面积. [解] 因为P是双曲线左支上的点,所以|PF2|-|PF1|=6,两边平方得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=36,所以|PF1|2+|PF2|2=36+2|PF1|·|PF2|=36+2×32=100. 在△F1PF2中,由余弦定理, 得cos∠F1PF2= ==0,所以∠F1PF2=90°, 所以S△F1PF2=|PF1|·|PF2|=×32=16. [一题多变] 1.[变条件,变设问] 若本例中双曲线的标准方程不变,且其上一点P到焦点F1的距离为10.求点P到F2的距离. 解:由双曲线的标准方程-=1, 得a=3,b=4,c=5. 由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a=6, ∴|10-|PF2||=6, 解得|PF2|=4或|PF2|=16. 2.[变条件] 若本例条件“|PF1|·|PF2|=32”改成“|PF1|∶|PF2|=2∶5”其它条件不变,求△F1PF2的面积. 解:由|PF1|∶|PF2|=2∶5, |PF2|-|PF1|=6, 可知|PF2|=10,|PF1|=4, ∴S△F1PF2=×4×4=8. 在解决双曲线中与焦点有关的问题时,要注意定义中的条件||PF1|-|PF2||=2a的应用;与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用.     层级一 学业水平达标 1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则P点的轨迹是(  ) A.双曲线         B.双曲线的一支 C.直线 D.一条射线 解析:选D F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线. 2.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是(  ) A. B.1或-2 C.1或 D.1 解析:选D 依题意知解得a=1. 3.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(  ) A.x2-=1 B.-y2=1 C.y2-=1 D.-=1 解析:选A 由双曲线定义知, 2a=-=5-3=2, ∴a=1. 又c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3, 因此所求双曲线的标准方程为x2-=1. 4.“0≤k<3”是“方程+=1表示双曲线”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A ∵0≤k<3,∴∴方程+=1表示双曲线;反之,∵方程+=1表示双曲线,∴(k+1)(k-5)<0,解得-1<k<5.故“0≤k<3”是“方程+=1表示双曲线”的充分不必要条件.故选A. 5.已知双曲线的中心在坐标原点,且一个焦点为F1(-,0),点P在该双曲线上,线段PF1的中点坐标为(0,2),则该双曲线的标准方程为(  ) A.-y2=1 B.x2-=1 C.-=1 D.-=1 解析:选B 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则c=,即a2+b2=5.① 设P(x,y),由线段PF1的中点坐标为(0,2), 可知得 即点P的坐标为(,4), 代入双曲线方程,得-=1.② 联立①②,得a2=1,b2=4, 即双曲线的标准方程为x2-=1.故选B. 6.设m是常数,若点F(0,5)是双曲线-=1的一个焦点,则m=________. 解析:由点F(0,5)可知该双曲线-=1的焦点落在y轴上,所以m>0,且m+9=52,解得m=16. 答案:16 7.设点P在双曲线-=1上,F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于________. 解析:由题意知|F1F2|=2=10,||PF2|-|PF1||=6,又|PF1|∶|PF2|=1∶3,∴|PF1|=3,|PF2|=9,∴△F1PF2的周长为3+9+10=22. 答案:22 8.已知定点A,B且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为________. 解析:如图所示,点P是以A,B为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|PA|最小,最小值为a+c=+2=. 答案: 9.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y轴上; (2)与椭圆+=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4. 解:(1)因为双曲线的焦点在y轴上, 所以可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0). 由题设知,a=2,且点A(2,-5)在双曲线上, 所以解得 故所求双曲线的标准方程为-=1. (2)椭圆+=1的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点为(,4)(或(-,4)). 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则解得 故所求双曲线的标准方程为-=1. 10.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点. (1)求双曲线的标准方程; (2)若点M在双曲线上,F1,F2是双曲线的左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判断△MF1F2的形状. 解:(1)椭圆的方程可化为+=1,焦点在x轴上,且c==.故可设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).依题意得解得a2=3,b2=2. 故双曲线的标准方程为-=1. (2)不妨设M在双曲线的右支上, 则有|MF1|-|MF2|=2. 又|MF1|+|MF2|=6, 解得|MF1|=4,|MF2|=2. 又|F1F2|=2c=2, 因此在△MF1F2中,|MF1|边最长, 由余弦定理可得cos∠MF2F1 = ==-<0. 所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2是钝角三角形. 层级二 应试能力达标 1.已知F1(-5,0),F2(5,0),动点P满足|PF1|-|PF2|=2a,当a分别为3和5时,点P的轨迹分别为(  ) A.双曲线和一条直线 B.双曲线和一条射线 C.双曲线的一支和一条射线 D.双曲线的一支和一条直线 解析:选C 依题意,得|F1F2|=10.当a=3时,|PF1|-|PF2|=2a=6<|F1F2|,可知点P的轨迹为双曲线的右支;当a=5时,|PF1|-|PF2|=2a=10=|F1F2|,可知点P的轨迹为以F2为端点的一条射线.故选C. 2.已知双曲线过点P1和P2,则双曲线的标准方程为(  ) A.-=1         B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:选B 因为双曲线的焦点位置不确定,所以设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0). 因为P1,P2两点在双曲线上, 所以解得 于是所求双曲线的标准方程为-=1. 3.设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析:选A 对于椭圆C1,∵长轴长2a1=26,∴a1=13,又离心率e1==,∴c1=5.由题意知曲线C2为双曲线,且与椭圆C1共焦点,∴c2=5,又2a2=8,∴a2=4,b2==3.又焦点在x轴上,故双曲线C2的标准方程为-=1.故选A. 4.设F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,当△F1PF2的面积为2时,·的值为(  ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析:选B 设点P(x0,y0),依题意得|F1F2|=2=4,S△PF1F2=|F1F2|·|y0|=2,∴|y0|=1.又-y=1,∴x=3(y+1)=6.∴·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=x+y-4=3. 5.已知双曲线-=1的两个焦点分别为F1,F2,双曲线上的点P到F1的距离为12,则点P到F2的距离为________. 解

2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 双曲线 2.2.1 双曲线及其标准方程讲义(含解析)新人教A版选修1 -1.doc

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