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doc 2.2.1 椭圆的标准方程 [基础达标] 1.椭圆的两个焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P为椭圆上一点,且F1F2是PF1与PF2的等差中项,则该椭圆方程是________. 解析:椭圆的两个焦点是F1(-1,0),F2(1,0), ∵P为椭圆上一点,F1F2是PF1与PF2的等差中项, ∴2a=PF1+PF2=2F1F2=4,a=2,c=1. ∴b2=a2-c2=3,故所求椭圆的方程为+=1. 答案:+=1 2.设M(-5,0),N(5,0),△MNP的周长是36,则△MNP的顶点P的轨迹方程为________. 解析:由于点P满足PM+PN=36-10=26>10,知点P的轨迹是以M、N为焦点,且2a=26的椭圆(由于P与M、N不共线,故y≠0),故a=13,c=5,∴b2=144. ∴顶点P的轨迹方程为+=1(y≠0). 答案:+=1(y≠0) 3.若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________. 解析:由已知得, 解得3<k<5且k≠4. 答案:(3,4)∪(4,5) 4.已知椭圆的中点在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则椭圆的方程为________. 解析:设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n). ∵椭圆经过P1、P2点,∴P1、P2点的坐标符合椭圆方程, 则解得 ∴所求椭圆的方程为+=1. 答案:+=1 5.椭圆+=1的左,右焦点为F1,F2,一直线过F1交椭圆于A、B两点,则△ABF2的周长为________. 解析:由椭圆方程知2a=8,由椭圆的定义知AF1+AF2=2a=8,BF1+BF2=2a=8,所以△ABF2的周长为16. 答案:16 6.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且2b=4的椭圆的标准方程是________. 解析:椭圆9x2+4y2=36化为标准方程+=1,则焦点在y轴上,且c2=9-4=5, 又因为2b=4,则b2=20,a2=b2+c2=25, 故所求椭圆的标准方程为+=1. 答案:+=1 7.已知P是椭圆+=1上任意一点,F1,F2是两个焦点,且∠F1PF2=30°,求△PF1F2的面积. 解:由+=1得a=5,b=4, ∴c=3. ∴F1F2=2c=6,PF1+PF2=2a=10. ∵∠F1PF2=30°, ∴在△F1PF2中,由余弦定理得F1F=PF+PF-2PF1·PF2·cos 30°, 即62=PF+2PF1·PF2+PF-2PF1·PF2-·PF1·PF2, ∴(2+)PF1·PF2=(PF1+PF2)2-36=100-36=64, 即PF1·PF2==64×(2-), ∴S△PF1F2=PF1·PF2·sin 30°=×64×(2-)×=16(2-). 8.已知△ABC的三边a、b、c(a>b>c)成等差数列,A、C两点的坐标分别为(-1,0)、(1,0).求顶点B的轨迹方程. 解:设点B的坐标为(x,y),∵a、b、c成等差数列, ∴a+c=2b,即BC+BA=2AC=4. 由椭圆的定义知,点B的轨迹方程为+=1; 又∵a>b>c,∴a>c,∴BC>BA, ∴(x-1)2+y2>(x+1)2+y2,x<0; 又当x=-2时,点B、A、C在同一条直线上,不能构成△ABC,∴x≠-2. ∴顶点B的轨迹方程为+=1(-2<x<0),轨迹是两段椭圆弧. [能力提升] 1.已知椭圆mx2+3y2-6m=0的一个焦点为(0,2),则m的值是________. 解析:方程变形为+=1,∵焦点在y轴上, ∴a2=2m,b2=6,又c=2且a2-b2=c2, ∴2m-6=22,∴m=5. 答案:5 2.已知椭圆的方程为+y2=1(m>0,m≠1),则该椭圆的焦点坐标为________. 解析:当0<m<1时,此时焦点在y轴上,a2=1,b2=m, ∴c2=a2-b2=1-m, ∴c=,故所求方程的焦点坐标为(0,),(0,-); 当m>1时,此时焦点在x轴上,a2=m,b2=1,∴c2=a2-b2=m-1,∴c=,故所求方程的焦点坐标为(,0),(-,0). 答案:(0,),(0,-)或(,0),(-,0) 3.若B(-8,0),C(8,0)为△ABC的两个顶点,AC、AB两边上的中线和是30,求△ABC重心G的轨迹方程. 解:如图,设CD、BE分别是AB、AC边上的中线,则CD+BE=30,又G是△ABC的重心, ∴BG=BE,CG=CD, ∴BG+CG=(BE+CD)=×30=20. 又B(-8,0),C(8,0),∴BC=16<20=BG+CG, ∴G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆, ∴2a=20,2c=16,即a=10,c=8, ∴b2=a2-c2=102-82=36, ∴G点的轨迹方程是+=1. 4. (创新题)如图,在直角坐标系xOy中,设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点分别为F1、F2.过右焦点F2且与x轴垂直的直线l与椭圆C相交,其中一个交点为M(,1),求椭圆C的方程. 解:∵直线l⊥x轴,M(,1),∴F2的坐标为(,0),由题意知椭圆的焦点在x轴上,标准方程为:+=1(a>b>0)可知, ∴解得, ∴所求椭圆C的方程为+=1.

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