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doc 2.2.2 抛物线的简单性质(二) [A.基础达标] 1.抛物线y=ax2+1与直线y=x相切,则a等于(  ) A.            B. C. D.1 解析:选B.由消去y整理得ax2-x+1=0,由题意a≠0,Δ=(-1)2-4a=0.所以a=. 2.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C交于A,B两点,则cos∠AFB=(  ) A. B. C.- D.- 解析:选D.由得或 令B(1,-2),A(4,4),又F(1,0), 所以由两点间距离公式,得 |BF|=2,|AF|=5,|AB|=3, 所以cos∠AFB= ==-. 3.A,B是抛物线x2=y上任意两点(非原点),当·最小时,,所在两条直线的斜率之积kOA·kOB=(  ) A. B.- C. D.- 解析:选B.由题意可设A(x1,x),B(x2,x), =(x1,x),=(x2,x), ·=x1x2+(x1x2)2 =(x1x2+)2-≥-, 当且仅当x1x2=-时·取得最小值. 此时kOA·kOB=·=x1x2=-. 4.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0,2),则C的方程为(  ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 解析:选C.设M(x0,y0),A(0,2),MF的中点为N. 由y2=2px,F(,0), 所以N点的坐标为(,). 由抛物线的定义知,x0+=5, 所以x0=5-. 所以y0= . 所以|AN|==,所以|AN|2=. 所以()2+(-2)2=. 即+=. 所以 -2=0. 整理得p2-10p+16=0. 解得p=2或p=8. 所以抛物线方程为y2=4x或y2=16x. 5.已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是(  ) A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-∞,-)∪(,+∞) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-)∪(,+∞) 解析:选D.当AB的斜率不存在时,x=0,其与x2=y有公共点,不满足要求;当AB的斜率存在时,可设AB所在直线的方程为y=kx-1,代入x2=y,整理得2x2-kx+1=0,Δ=(-k)2-4×2<0,得k2<8,B(t,3)在y=kx-1上即3=kt-1,()2=k2<8,即t2>2得t∈(-∞,-)∪(,+∞). 6.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在准线上的射影为A1、B1,则∠A1FB1等于________. 解析:如图,由抛物线定义知|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,所以∠AA1F=∠AFA1,又∠AA1F=∠A1FO, 所以∠AFA1=∠A1FO, 同理∠BFB1=∠B1FO, 于是∠AFA1+∠BFB1=∠A1FO+∠B1FO=∠A1FB1. 故∠A1FB1=90°. 答案:90° 7.已知抛物线x2=4y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于A,B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是________. 解析:由题意知满足题意的AB所在直线的斜率存在, 故AB所在的直线方程可写为y=kx+1,代入x2=4y, 整理得x2-4kx-4=0, x1+x2=4k,由y=kx+1可得y1+y2=kx1+1+kx2+1=4k2+2,|AB|=y1+y2+p=4k2+4, 故所截弦长=2=2≥2,当k=0时弦长取最小值. 答案:2 8.已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2=2x上移动,M为AB的中点,则M点到y轴的最短距离为________. 解析:如图所示,抛物线y2=2x的准线为l:x=-,过点A、B、M分别作AA′、BB′、MM′垂直于l,垂足分别为A′、B′、M′.由抛物线定义知|AA′|=|FA|,|BB′|=|FB|.又M为AB中点,由梯形中位线定理得|MM′|=(|AA′|+|BB′|)=(|FA|+|FB|)≥|AB|=×3=,则M到y轴的距离d≥-=1(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“=”),所以dmin=1,即M点到y轴的最短距离为1. 答案:1 9.已知抛物线y2=12x和点P(5,2),直线l经过点P且与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点. (1)当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程; (2)当直线l的斜率为1时,求△OAB的面积. 解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为A、B在抛物线上, 所以y=12x1,y=12x2, 两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=12(x1-x2). 因为P为线段AB的中点, 所以x1≠x2,又y1+y2=4, 所以k===3, 所以直线l的方程为y-2=3(x-5),即3x-y-13=0. 经验证适合题意. (2)由题意知l的方程为y-2=1·(x-5)即y=x-3. 由得x2-18x+9=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=18,x1x2=9. 所以|AB|= =·=24. 又点O到直线x-y-3=0的距离d=, 所以S△OAB=|AB|·d=×24×=18. 10.如图,设抛物线C:x2=4y的焦点为F,P(x0,y0)为抛物线上的任一点(其中x0≠0),过P点的切线交y轴于Q点. (1)若P(2,1),求证:|FP|=|FQ|; (2)已知M(0,y0),过M点且斜率为的直线与抛物线C交于A、B两点,若=λ(λ>1),求λ的值. 解:(1)证明:由抛物线定义知|PF|=y0+1=2, 设过P点的切线方程为y-1=k(x-2), 由得x2-4kx+8k-4=0, 令Δ=16k2-4(8k-4)=0得k=1, 可得PQ所在直线方程为y=x-1, 所以得Q点坐标为(0,-1), 所以|QF|=2,即|PF|=|QF|. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),又M点坐标为(0,y0), 所以AB方程为y=x+y0, 由得x2-2x0x-4y0=0. 所以x1+x2=2x0,x1x2=-4y0=-x,① 由=λ得:(-x1,y0-y1)=λ·(x2,y2-y0), 所以x1=-λx2,② 由①②知得(1-λ)2x=4λx,由x0≠0可得x2≠0, 所以(1-λ)2=4λ,又λ>1,解得λ=3+2. [B.能力提升] 1.已知抛物线y2=2px(p>0)与圆(x-a)2+y2=r2(a>0)有且只有一个公共点,则(  ) A.r=a=p B.r=a≤p C.r<a≤p D.r<a=p 解析:选B.当r<a时,根据圆与抛物线的对称性可知,圆(x-a)2+y2=r2(a>0)与抛物线y2=2px(p>0)要么没有交点,要么交于两点或四点,与题意不符;当r>a时,易知圆与抛物线有两个交点,与题意不符;当r=a时,圆与抛物线交于原点,要使圆与抛物线有且只有一个公共点,必须使方程(x-a)2+2px=r2(x≥0)有且仅有一个解x=0,可得a≤p.故选B. 2.如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p>0),过点A(0,-1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP的延长线与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则∠MBN的大小等于(  ) A. B. C. D. 解析:选D.由题意设P(x1,),Q(x2,)(x1≠x2),设PQ所在直线方程为y=kx-1代入x2=2py,整理得:x2-2kpx+2p=0, 则kQB=,kPB=, 可得kQB+kPB=0,又因为kQB·kPB=-3, 所以kQB=-,kPB=,即∠BNM=,∠BMN=, 所以∠MBN=π-∠BNM-∠BMN=. 3.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(2,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线交于点C,|BF|=,则=________. 解析:因为|BF|=,所以B的横坐标为,不妨设B的坐标为(,-),所以AB的方程为y=(x-2), 代入y2=4x,得2x2-17x+8=0,解得x=或8,故点A的横坐标为8.故A到准线的距离为8+1=9. ====. 答案: 4.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为________. 解析:由余弦定理,得|AB|2=|AF|2+|BF|2-2|AF|·|BF|cos 120°=|AF|2+|BF|2+|AF|·|BF|, 过A,B作AA′,BB′垂直于准线,则|MN|=(|AA′|+|BB′|)=(|FA|+|FB|), 所以= = = = =≤=, 当且仅当|AF|=|BF|时,等号成立. 答案: 5.已知抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(2,4),直线l:y=x-2交C于A、B两点,与x轴相交于点F. (1)求抛物线方程及其准线方程; (2)已知点M(-2,5),直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k2、k3,求证:k1、k2、k3成等差数列. 解:(1)因为抛物线C:y2=2px(p>0)经过点P(2,4), 所以42=2p×2,所以p=4, 所以抛物线的方程是y2=8x, 所以抛物线准线方程是x=-2. (2)因为直线l:y=x-2与x轴相交于点F, 所以F(2,0). 因为M(-2,5),所以k2==-. 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由方程组得 3x2-20x+12=0. 法一:x1+x2=,x1x2=4. 所以k1==, k3==, 所以k1+k3= = = =-, 所以k1+k3=2k2, 所以k1、k2、k3成等差数列. 法二: 即A(6,4)、B(,-), 所以k1==,k3===-, 所以k1+k3=-, 所以k1+k3=2k2, 所以k1、k2、k3成等差数列. 6.(选做题)已知抛物线E的顶点在原点,焦点为F(2,0), (1)求抛物线方程; (2)过点T(t,0)作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A,B,C,D四点,且M,N分别为线段AB,CD的中点,求△TMN的面积最小值. 解:(1)由题意知,p=4,故所求抛物线方程为 y2=8x. (2)根据题意得AB,CD的斜率存在, 故设直线AB:x=my+t,直线CD:x=-y+t, A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4), 由得y2-8my-8t=0. 所以=4m⇒=4m2+t⇒M(4m2+t,4m), 同理可得N(+t,-), 所以|TN|==, |TM|==4|m|, 所以S△TMN=|TM||TN|=8(|m|+)≥16. 当且仅当|m|=1时,面积取到最小值16.

2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质(二)作业2 北师大版选修1 -1.doc

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