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doc 2.3.1 双曲线的标准方程 [基础达标] 1.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),那么k的值是________. 解析:焦点在y轴上,所以双曲线的标准方程是-=1,k<0,则 =3,解得k=-1. 答案:-1 2.过双曲线-=1左焦点F1的弦AB长为6,则△ABF2(F2为右焦点)的周长是________. 解析:据题意AF2-AF1=2a,BF2-BF1=2a, 故AF2+BF2-(AF1+BF1)=(AF2+BF2)-AB=4a, 因此AF2+BF2=AB+4a=6+16=22,故三角形周长为22+6=28. 答案:28 3. 如图,已知双曲线以长方形ABCD的顶点A,B为左,右焦点,且过C,D两顶点.若AB=4,BC=3,则此双曲线的标准方程为________. 解析:设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0). 由题意,得B(2,0),C(2,3). ∴,解得, ∴双曲线的标准方程为x2-=1. 答案:x2-=1 4.设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若PF1∶PF2=3∶2,则△PF1F2的面积为________. 解析:双曲线的a=1,b=2,c=. 设PF1=3r,PF2=2r.∵PF1-PF2=2a=2,∴r=2. 于是PF1=6,PF2=4.∵PF+PF=52=F1F,故知△PF1F2是直角三角形,∠F1PF2=90°. ∴S△PF1F2=PF1·PF2=×6×4=12. 答案:12 5.已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则PF1+PF2的值为________. 解析:不妨设点P在双曲线的右支上,因为PF1⊥PF2,所以(2)2=PF+PF,又因为PF1-PF2=2,所以(PF1-PF2)2=4,可得2PF1·PF2=4,则(PF1+PF2)2=PF+PF +2PF1·PF2=12,所以PF1+PF2=2. 答案:2 6.已知F是双曲线-=1的左焦点,A(1,4),P是双曲线右支上的动点,则PF+PA的最小值为________. 解析:设双曲线的右焦点为F1, 则由双曲线的定义可知PF=2a+PF1=4+PF1, ∴PF+PA=4+PF1+PA. ∴当PF+PA最小时需满足PF1+PA最小.由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时,满足PF1+PA最小,易求得最小值为AF1=5,故所求最小值为9. 答案:9 7.在△ABC中,已知AB=4,且2sin A+sin C=2sin B,求顶点C的轨迹方程. 解:如图,以AB所在的直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0), 由正弦定理得sin A=,sin B=,sin C=(a′,b′,c′分别为A,B,C所对的边), ∵2sin A+sin C=2sin B,∴2a′+c′=2b′, 即b′-a′=,从而有CA-CB=AB=2<AB. 由双曲线的定义知,顶点C的轨迹是双曲线的右支, a=,c=2,∴b2=c2-a2=6. ∴顶点C的轨迹方程为-=1(x>). 8.已知P为椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 解:在△PF1F2中,F1F=PF+PF-2PF1·PF2cos 60°, 即25=PF+PF-PF1·PF2, 由椭圆的定义得10=PF1+PF2, 即100=PF+PF+2PF1·PF2, 所以PF1·PF2=25, 所以S△F1PF2=PF1·PF2·sin 60°=. [能力提升] 1.若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线-=1(a>0,b>0)有相同的焦点F1,F2,P是两条曲线的一个交点,则PF1·PF2的值是________. 解析:PF1+PF2=2,|PF1-PF2|=2a, 所以PF+PF+2PF1·PF2=4m,PF-2PF1·PF2+PF=4a2,两式相减得: 4PF1·PF2=4m-4a2,∴PF1·PF2=m-a2. 答案:m-a2 2.已知双曲线的方程是-=1,点P在双曲线上,且到其中一个焦点F1的距离为10,另一个焦点为F2,点N是PF1的中点,则ON的大小(O为坐标原点)为________. 解析:连结ON(图略),ON是三角形PF1F2的中位线,所以ON=PF2,因为|PF1-PF2|=8,PF1=10,所以PF2=2或18,所以ON=PF2=1或9. 答案:1或9 3.已知在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan ∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的标准方程. 解:由Rt△MPN的周长为48,且tan ∠PMN=,设PN=3k,PM=4k,则MN=5k,3k+4k+5k=48,得k=4,则PN=12,PM=16,MN=20.以MN所在直线为x轴,以线段MN的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系, 由PM-PN=4=2a,得a=2,a2=4, 由MN=20得2c=20,c=10,则b2=c2-a2=96, 所以所求双曲线方程为-=1. 4.在抗震救灾行动中,某部队在如图所示的P处空降了一批救灾药品,急需把这批药品沿道路PA,PB送到矩形灾民区ABCD中去,已知PA=100 km,PB=150 km,BC=60 km,∠APB=60°,试在灾民区确定一条界线,使位于界线一侧的点沿道路PA送药较近,而另一侧的点 沿道路PB送药较近,请说明这一界线是一条什么曲线?并求出其方程. 解:灾民区ABCD中的点可分为三类,第一类沿道路PA送药较近,第二类沿道路PB送药较近,第三类沿道路PA,PB送药一样远近,由题意可知,界线应该是第三类点的轨迹.设M为界线上的任意一点,则有PA+MA=PB+MB,即MA-MB=PB-PA=50(定值).界线为以A,B为焦点的双曲线的右支的一部分.如图所示. 以AB所在直线为x轴,线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系, 设所求双曲线的标准方程为 -=1(a>0,b>0), ∵a=25, 2c=AB==50, ∴c=25,b2=c2-a2=3 750, ∴双曲线方程为-=1,因为C的坐标为(25,60),所以y的最大值为60,此时x=35.因此界线的曲线方程为-=1(25≤x≤35,y>0).

2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程作业 苏教版选修1 -1.doc

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