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doc 2.4.1 抛物线的标准方程 [基础达标] 1.已知抛物线的准线方程是x=-7,则抛物线的标准方程是________. 解析:由题意,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),准线方程是x=-,则-=-7,解得p=14,故所求抛物线的标准方程为y2=28x. 答案:y2=28x 2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2-6x-7=0相切,则p的值为________. 解析:抛物线的准线为x=-, 将圆的方程化简得到(x-3)2+y2=16,准线与圆相切,则-=-1⇒p=2. 答案:2 3.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为________. 解析:∵双曲线的方程为-=1, ∴右顶点为(4,0). 设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0), 则=4,即p=8, ∴抛物线的标准方程为y2=16x.故填y2=16x. 答案:y2=16x 4.抛物线x2=4ay(a≠0)的准线方程为________. 解析:∵抛物线的焦点在y轴上, ∴准线方程为y=-,即y=-a. 答案:y=-a 5.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点.若AF=3,则BF=________. 解析:抛物线y2=4x的准线为x=-1,焦点为F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线的定义可知AF=x1+1=3,所以x1=2,所以y1=±2,由抛物线关于x轴对称,假设A(2,2).由A,F,B三点共线可知直线AB的方程为y-0=2(x-1),代入抛物线方程消去y得2x2-5x+2=0,求得x=2或,所以x2=,故BF=. 答案: 6.已知F是拋物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,AF+BF=3,则线段AB的中点到y轴的距离为________. 解析:过A,B分别作准线l的垂线AD,BC,垂足分别为D,C,M是线段AB的中点,MN垂直准线l于N,由于MN是梯形ABCD的中位线. 所以MN=. 由抛物线的定义知AD+BC=AF+BF=3,所以MN=,又由于准线l的方程为x=-,所以线段AB中点到y轴的距离为-=,故填. 答案: 7.平面上动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 解:设P(x,y),则有=|x|+1,两边平方并化简得y2=2x+2|x|. ∴y2= 故点P的轨迹方程为y2=4x(x≥0)或y=0(x<0). 8.(1)抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,又知抛物线经过点P(4,2),求抛物线的方程; (2)已知抛物线C:x2=2py(p>0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为,求p与m的值. 解:(1)∵抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴, ∴抛物线的方程为标准方程. 又∵点P(4,2)在第一象限, ∴抛物线的方程设为y2=2px,x2=2py(p>0). 当抛物线为y2=2px时,则有22=2p×4,故2p=1,y2=x; 当抛物线为x2=2py时,则有42=2p×2,故2p=8,x2=8y. 综上,所求的抛物线的方程为y2=x或x2=8y. (2)由抛物线方程得其准线方程y=-,根据抛物线定义,点A(m,4)到焦点的距离等于它到准线的距离,即4+=,解得p=;∴抛物线方程为:x2=y,将A(m,4)代入抛物线方程,解得m=±2. [能力提升] 1.在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点.其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为________. 解析:直线l的方程为y=(x-1),即x=y+1,代入抛物线方程得y2-y-4=0,解得yA==2(yB<0,舍去),故△OAF的面积为×1×2=. 答案: 2.若双曲线-=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上,则p的值为________. 解析:把双曲线-=1化为标准形式-=1,故c2=3+,c= =,左焦点,由题意知,抛物线的准线方程为x=-,又抛物线y2=2px的准线方程为x=-,所以-=-,解得,p=4或p=-4(舍去).故p=4. 答案:4 3.抛物线顶点在原点,它的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,并与双曲线实轴垂直,已知抛物线与双曲线的一个交点为,求抛物线与双曲线的方程. 解:由题设知,抛物线以双曲线的右焦点为焦点,准线过双曲线的左焦点,∴p=2c.设抛物线方程为y2=4cx, ∵抛物线过点,∴6=4c·.∴c=1, 故抛物线方程为y2=4x. 又双曲线-=1过点, ∴-=1.又a2+b2=c2=1,∴-=1. ∴a2=或a2=9(舍去). ∴b2=,故双曲线方程为:4x2-=1. 4.设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l,A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点. (1)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程; (2)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值. 解:(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形,BD=2p,圆F的半径FA=p. 由抛物线定义可知A到l的距离d=FA=p. 因为△ABD的面积为4,所以BD·d=4, 即·2p·p=4,解得p=-2(舍去)或p=2. 所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8. (2)因为A、B、F三点在同一直线m上,所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°. 由抛物线定义知AD=FA=AB, 所以∠ABD=30°,m的斜率为或-. 当m的斜率为时,由已知可设n:y=x+b,代入x2= 2py得x2-px-2pb=0. 由于n与C只有一个公共点,故Δ=p2+8pb=0, 解得b=-. 因为m的截距b1=,=3, 所以坐标原点到m,n距离的比值为3. 当m的斜率为-时,由图形对称性可知,坐标原点到m、n距离的比值为3. 综上,坐标原点到m,n距离的比值为3.

2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程作业 苏教版选修1 -1.doc

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