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doc 第二章 圆锥曲线与方程 (时间:100分钟,满分:120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知椭圆+=1上的一点P到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点的距离为(  ) A.2 B.3 C.5 D.7 解析:选D.设另一个焦点为F,由椭圆定义知3+|PF|=10,∴|PF|=7. 2.抛物线y=-x2的焦点坐标为(  ) A.(0,-) B.(-,0) C.(0,-) D.(0,-) 解析:选C.方程化为标准形式为x2=-y,故其焦点坐标为(0,-). 3.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于(  ) A. B. C.1 D. 解析:选B.双曲线x2-y2=1的顶点坐标为(±1,0),渐近线为y=±x,∴x±y=0,∴顶点到渐近线的距离为d==. 4.已知抛物线y=2px2(p>0)的准线与圆x2+y2-4y-5=0相切,则p的值为(  ) A.10 B.6 C. D. 解析:选C.抛物线方程可化为x2=y(p>0),由于圆x2+(y-2)2=9与抛物线的准线y=-相切,∴3-2=,∴p=. 5.已知中心在原点,焦点在y轴上的双曲线的离心率为,则它的渐近线方程为(  ) A.y=±2x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 解析:选C.由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x, e2==1+()2=5,∴=2,故渐近线方程为y=±x. 6.若直线l过点(3,0)与双曲线4x2-9y2=36只有一个公共点,则这样的直线有(  ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 解析:选C.双曲线方程可化为-=1,知(3,0)为双曲线的右顶点,故符合要求的直线l有3条,其中一条是切线,另两条是交线(分别与两渐近线平行). 7.已知定直线l与平面α成60°角,点P是平面α内的一动点,且点P到直线l的距离为3,则动点P的轨迹是(  ) A.圆 B.椭圆的一部分 C.抛物线的一部分 D.椭圆 解析:选D.以l为轴底面半径为3的圆柱被与l成60°的平面α所截,截线为椭圆. 8.设P为双曲线x2-=1上一点,F1,F2是双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=5∶3,则△PF1F2的面积是(  ) A.4 B.6 C.7 D.8 解析:选B.a=1,c=2,|PF1|-|PF2|=2①,=,② 由①②得|PF1|=5,|PF2|=3,又|F1F2|=4, ∴∠PF2F1=90°, 故S△PF1F2=|PF2||F1F2|=×3×4=6. 9.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为(  ) A. B.3 C. D. 解析:选A.如图所示,由抛物线的定义知,点P到准线x=-的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点M(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点M(0,2)的距离与点P到点F的距离之和,其最小值为点M(0,2)到点F的距离,则距离之和的最小值为 =. 10.椭圆+=1(a>b>0)的内接矩形的最大面积的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率e的取值范围是(  ) A.[,] B.[,] C.[,] D.[,] 解析:选B.由对称性知矩形中心在原点,且两组对边平行x轴,y轴,设矩形在第一象限的顶点坐标为(x,y)(x>0,y>0), S矩形=4xy=2ab(2·)≤2ab(+)=2ab∈[3b2,4b2], ∴3b2≤2ab≤4b2,即≤≤,e2==1-()2∈[,],故e∈[,]. 二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上) 11.椭圆+=1的一个焦点为(0,1),则m=________. 解析:由题意a2=3-m,b2=m2,又c=1,∴12=a2-b2=3-m-m2,即m2+m-2=0, ∴m=-2或m=1,均满足3-m>m2. 答案:-2或1 12.如图,共顶点的椭圆①,②与双曲线③,④的离心率分别为e1,e2,e3,e4,其大小关系为________. 解析:对椭圆,离心率越小,椭圆越圆,∴0<e1<e2<1; 对双曲线,离心率越大,张口越大,∴1<e4<e3,故e1<e2<e4<e3. 答案:e1<e2<e4<e3 13.在平面直角坐标系xOy中,焦点为F(5,0)的抛物线的标准方程是________. 解析:由题意=5,p=10,故焦点为(5,0)的抛物线的标准方程为y2=20x. 答案:y2=20x 14.若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程为________. 解析:y2=8x的焦点为(2,0),∴a=2.又双曲线的焦点为(±,0), ∴c=,∴b2=a2-c2=4-2=2,椭圆方程为+=1. 答案:+=1 15.抛物线y2=2x上距点M(m,0)(m>0)最近的点恰好是抛物线的顶点,则m的取值范围是________. 解析:设P(x,y)为抛物线上任一点,则|PM|2=(x-m)2+y2=x2-2(m-1)x+m2 =[x-(m-1)]2+2m-1. ∵m>0,∴m-1>-1. 由于x≥0,且由题意知当x=0时,|PM|最小. 则对称轴x=m-1应满足-1<m-1≤0,∴0<m≤1. 答案:(0,1] 三、解答题(本大题共5小题,共55分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分10分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长为18,且两个焦点恰好将长轴三等分.求椭圆的标准方程及其离心率. 解:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由题意知:2a=18,2a=6c,所以解得a=9,c=3,故b2=a2-c2=72,所以椭圆C的方程是+=1,离心率e===. 17.(本小题满分10分)k代表实数,讨论方程kx2+2y2-8=0所表示的曲线. 解:当k<0时,曲线-=1为焦点在y轴上的双曲线; 当k=0时,曲线2y2-8=0为两条平行于x轴的直线y=2或y=-2; 当0<k<2时,曲线+=1为焦点在x轴上的椭圆; 当k=2时,曲线x2+y2=4为一个圆; 当k>2时,曲线+=1为焦点在y轴上的椭圆. 18.(本小题满分10分)已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB的面积等于时,求k的值. 解: (1)证明:如图所示,由方程组消去x后,整理,得ky2+y-k=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系,得y1·y2=-1. ∵A,B在抛物线y2=-x上, ∴y=-x1,y=-x2.∴y·y=x1x2. ∴kOA·kOB=·===-1, ∴OA⊥OB. (2)设直线AB与x轴交于点N,显然k≠0. 令y=0,则x=-1,即N(-1,0). ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN =|ON||y1|+|ON||y2| =|ON|·|y1-y2|, ∴S△OAB=·1· = . ∵S△OAB=, ∴= , 解得k=±. 19.(本小题满分12分)已知:双曲线x2-2y2=2的左、右焦点分别为F1、F2,动点P满足|PF1|+|PF2|=4. (1)求:动点P的轨迹E的方程; (2)若M是曲线E上的一个动点,求|MF2|的最小值.并说明理由. 解:(1)F1(-,0),F2(,0), 且|PF1|+|PF2|=4>2, ∴P点的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆, 且a=2,c=,从而b=1.∴动点P的轨迹方程为+y2=1. (2)设M(x,y),则|MF2|=, ∵+y2=1,∴y2=1-,∴|MF2|===. ∵M∈E,∴x∈[-2,2], ∴|MF2|=2-x,x∈[-2,2]. 显然|MF2|在[-2,2]上为减函数, ∴|MF2|有最小值2-. 20.(本小题满分13分)如图,F1、F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2=60°. (1)求椭圆C的离心率; (2)已知△AF1B的面积为40,求a,b的值. 解:(1)由题意可知,△AF1F2为等边三角形,a=2c,所以e=. (2)法一:a2=4c2,b2=3c2, 直线AB的方程为y=-(x-c), 将其代入椭圆方程3x2+4y2=12c2,得B, 所以|AB|=·=c. 由S△AF1B=|AF1|·|AB|·sin∠F1AB=a·c·=a2=40, 解得a=10,b=5. 法二:设|AB|=t.因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a.由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t, 再由余弦定理(3a-t)2=a2+t2-2atcos 60°可得,t=a. 由S△AF1B=a·a·=a2=40知,a=10,b=5.

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