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doc 第二章 平面向量 章末检测(二) (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分) 1.设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x等于(  ) A.2 B.3 C.4 D.6 解析 ∵a∥b,∴2×6-4x=0,∴x=3. 答案 B 2.在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是(  ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 解析 设a=k1e1+k2e2, A选项,∵(3,2)=(k2,2k2),∴无解, B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2), ∴解之得 故B中的e1,e2可把a表示出来. 同理,C、D选项同A选项,无解. 答案 B 3.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是(  ) A.相等的向量 B.平行的向量 C.有相同起点的向量 D.模相等的向量 解析 这四个向量的模相等. 答案 D 4.已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量等于(  ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 解析 ∵=-=(-4,-3)-(3-0,2-1) =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4),故选A. 答案 A 5.已知向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a等于(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 ∵2a+b=(2,-2)+(-1,2)=(1,0), 从而(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1, 故选C. 答案 C 6.对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是(  ) A.|a·b|≤|a||b| B.|a-b|≤||a|-|b|| C.(a+b)2=|a+b|2 D.(a+b)·(a-b)=a2-b2 解析 当向量a和b方向不相同时, |a-b|>||a|-|b||,B选项不成立. 答案 B 7.已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则·等于(  ) A.-a2 B.-a2 C.a2 D.a2 解析 ·=·=a·acos 30°=a2,故选D. 答案 D 8.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是(  ) A.|b|=1 B.a⊥b C.a·b=1 D.(4a+b)⊥ 解析 在△ABC中,由=-=2a+b-2a=b,得|b|=2. 又|a|=1,所以a·b=|a||b|cos 120°=-1,所以(4a+b)·=(4a+b)·b=4a·b+|b|2=4×(-1)+4=0,所以(4a+b)⊥,故选D. 答案 D 9.已知||=1,||=,·=0,点C在∠AOB内,且与的夹角为30°,设=m+n(m,n∈R),则的值为(  ) A.2 B. C.3 D.4 解析 ∵·=0,∴⊥, 以OA为x轴,OB为y轴建立直角坐标系, =(1,0),=(0,),=m+n=(m,n). ∵tan 30°==, ∴m=3n,即=3,故选C. 答案 C 10.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC、DC上,BE=λBC,DF=μDC.若·=1,·=-,则λ+μ等于(  ) A. B. C. D. 解析 以,为基向量,则·=(+λ)·(+μ)=μ2+λ2+(1+λμ)· =4(μ+λ)-2(1+λμ)=1.① ·=(λ-1)·(μ-1)=-2(λ-1)(μ-1)=-,② 由①②可得λ+μ=. 答案 C 11.若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则|a+b-c|的最大值为(  ) A.-1 B.1 C. D.2 解析 (坐标运算):由已知可设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y). 由|c|=1,(a-c)·(b-c)≤0 得⇒x+y≥1. 从而|a+b-c|==≤1. 答案 B 12.已知向量a=,b=,若a∥b,则锐角α为(  ) A.30° B.60° C.45° D.75° 解析 ∵a∥b,∴sin2α=×=, ∴sin α=±. ∵α为锐角,∴α=30°. 答案 A 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分) 13.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ=________. 解析 因为a=(1,2),b=(2,3), 所以λa+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3). 因为向量λa+b与向量c=(-4,-7)共线, 所以-7(λ+2)+4(2λ+3)=0.所以λ=2. 答案 2 14.a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________. 解析 因为|5a-b|2=(5a-b)2=25a2+b2-10a·b =25×12+32-10×1×3×=49. 所以|5a-b|=7. 答案 7 15.已知向量a=(6,2),b=,直线l过点A(3,-1),且与向量a+2b垂直,则直线l的方程为________. 解析 设P(x,y)是直线l上任意一点,根据题意,有·(a+2b)=(x-3,y+1)· (-2,3)=0, 整理化简得2x-3y-9=0. 答案 2x-3y-9=0 16.已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________. 解析 ·=||·||·cos〈,〉=2||cos〈,〉,如图, ||cos〈,〉的最大值为AB=3,故·的最大值为6. 答案 6 三、解答题(本大题共6个小题,共70分) 17.(10分)已知|a|=4,|b|=3,〈a,b〉=,若=a,=b,求△ABC的面积. 解 ∵与的夹角θ=,∴∠ABC=π-=. 又||=|a|=4,||=|b|=3, ∴S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3. 18.(12分)(1)在直角三角形ABC中,C=90°,AB=5,AC=4,求·; (2)已知向量=(3,1),=(-1,a),a∈R.若△ABC为直角三角形,求a的值. 解 (1)在△ABC中,C=90°,AB=5,AC=4, 故BC=3,且cos∠ABC=, 与的夹角θ=π-∠ABC, ∴·=-||||cos∠ABC =-5×3×=-9. (2)∵△ABC是直角三角形, ∴A=90°或B=90°或C=90°. 当A=90°时,由⊥,得3×(-1)+1·a=0, ∴a=3; 当B=90°时,=-=(-4,a-1), 由⊥,得3×(-4)+1·(a-1)=0, ∴a=13; 当C=90°时,由⊥,得 -1×(-4)+a·(a-1)=0,即a2-a+4=0, ∵a∈R,∴方程a2-a+4=0无解. 综上所述,a=3或13. 19.(12分)已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61, (1)求a与b的夹角θ; (2)求|a+b|. 解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61, ∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61, 又|a|=4,|b|=3, ∴64-4a·b-27=61, ∴a·b=-6. ∴cos θ===-. 又0≤θ≤π,∴θ=. (2)可先平方转化为向量的数量积. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2 =42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|=. 20.(12分)已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<β<α<π. (1)若|a-b|=,求证:a⊥b; (2)设c=(0,1),若a+b=c,求α,β的值. (1)证明 由题意得|a-b|2=2, 即(a-b)2=a2-2a·b+b2=2. 又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1, 所以2-2a·b=2,即a·b=0, 故a⊥b. (2)解 因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1), 所以 由此得cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π, 又0<α<π,故α=π-β. 代入sin α+sin β=1,得sin α=sin β=, 而α>β,所以α=,β=. 21.(12分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(2,1),A(1,0),B(cos θ,t), (1)若a∥,且||=||,求向量的坐标; (2)若a∥,求y=cos2θ-cos θ+t2的最小值. 解 (1)∵=(cos θ-1,t), 又a∥,∴2t-cos θ+1=0. ∴cos θ-1=2t.① 又∵||=||,∴(cos θ-1)2+t2=5.② 由①②得,5t2=5,∴t2=1,∴t=±1. 当t=1时,cos θ=3(舍去),当t=-1时,cos θ=-1, ∴B(-1,-1),∴=(-1,-1). (2)由(1)可知t=, ∴y=cos2θ-cos θ+ =cos2θ-cos θ+ =(cos2θ-cos θ)+ =(cos θ-)2-, ∴当cos θ=时,ymin=-. 22.(12分)如图,在△OAB中,=,=,AD与BC交于点M,设=a,=b. (1)用a,b表示; (2)已知在线段AC上取一点E,在线段BD上取一点F,使EF过M点,设=p,=q,求证:+=1. (1)解 设=ma+nb, 则=(m-1)a+nb,=-a+b. 因为点A,M,D共线,所以与共线, 所以(m-1)-(-1)×n=0, 所以m+2n=1.① 而=-=a+nb, =-a+b. 因为C,M,B共线,所以与共线, 所以-n-=0. 所以4m+n=1.② 联立①②可得m=,n=, 所以=a+b. (2) 证明  =a+b, =-pa+qb, 因为与共线, 所以q-×(-p)=0. 所以q-pq=-p,即+=1.

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