标签: 2018-2019学年高中数学第二章推理与证明2.2.1直接证明学案苏教版选修1-2  
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文档内容摘要
doc 2.2.1 直接证明 学习目标 1.了解直接证明的特点.2.掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题. 知识点一 直接证明 思考 阅读下列证明过程,总结此证明方法有何特点? 已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 证明:因为b2+c2≥2bc,a>0,所以a(b2+c2)≥2abc. 又因为c2+a2≥2ac,b>0,所以b(c2+a2)≥2abc. 因此a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc. 答案 利用已知条件a>0,b>0和基本不等式,最后推导出所要证明的结论. 梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立,这种证明通常称为直接证明. (2)直接证明的一般形式 ⇒…⇒本题结论. 知识点二 分析法和综合法 思考 阅读证明基本不等式的过程,试分析两种证明过程有何不同特点? 已知a,b>0,求证:≥. 证明:方法一 ∵a,b>0,(-)2≥0, ∴()2+()2-2≥0, ∴a+b≥2, ∴≥. 方法二 要证≥, 只需证a+b≥2, 只需证a+b-2≥0, 又a,b>0, 只需证(-)2≥0, ∵(-)2≥0显然成立,∴原不等式成立. 答案 方法一从已知条件出发推出结论;方法二从结论出发,追溯导致结论成立的条件. 梳理 综合法和分析法定义比较 直接证明 定义 推证过程 综合法 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法称为综合法 ⇒…⇒…⇒ 分析法 从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法称为分析法 ⇐…⇐…⇐ 1.综合法是执果索因的逆推证法.( × ) 2.综合法证明的依据是三段论.( √ ) 3.综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件.( √ ) 4.分析法与综合法证明同一个问题时,一般思路恰好相反,过程相逆.( √ ) 类型一 综合法的应用 例1 在△ABC中,三边a,b,c成等比数列.求证:acos2+ccos2≥b. 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac. 因为左边=+ =(a+c)+(acosC+ccosA) =(a+c)+ =(a+c)+b≥+ =b+=b=右边, 所以acos2+ccos2≥b. 反思与感悟 综合法证明问题的步骤 第一步:分析条件,选择方向.仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件),分析已知与结论之间的联系与区别,选择相关的公理、定理、公式、结论,确定恰当的解题思路. 第二步:转化条件、组织过程,把题目的已知条件,转化成解题所需要的语言,主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化.组织过程时要有严密的逻辑,简洁的语言,清晰的思路. 第三步:适当调整,回顾反思.解题后回顾解题过程,可对部分步骤进行调整,有些语言可做适当的修饰,反思总结解题方法的选取. 跟踪训练1 已知a,b,c为不全相等的正实数. 求证:++>3. 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决不等式问题 证明 因为++ =+++++-3, 又a,b,c为不全相等的正实数, 而+≥2,+≥2,+≥2, 且上述三式等号不能同时成立, 所以+++++-3>6-3=3, 即++>3. 类型二 分析法的应用 例2 已知a,b,c都为正实数,求证:≥. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 要证≥, 只需证≥2, 只需证3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca, 只需证2(a2+b2+c2)≥2ab+2bc+2ca, 只需证(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0,而这是显然成立的, 所以≥成立. 反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反,它是从要求证的结论出发,倒着分析,由未知想需知,由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等).这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的.它的常见书写表达式是“要证……只需……”或“⇐”. 跟踪训练2 已知非零向量a,b,且a⊥b, 求证:≤. 考点 分析法及应用 题点 分析法解决不等式问题 证明 a⊥b⇔a·b=0,要证≤, 只需证|a|+|b|≤|a+b|, 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2(a2+2a·b+b2), 只需证|a|2+2|a||b|+|b|2≤2a2+2b2, 只需证|a|2+|b|2-2|a||b|≥0, 即证(|a|-|b|)2≥0, 上式显然成立,故原不等式得证. 类型三 分析法与综合法的综合应用 例3 已知△ABC中,A∶B∶C=1∶2∶6.求证:=. 证明 要证=, 只需证a2+ab+ac=ab+b2, 即证a(a+c)=b2. 由正弦定理,只需证sinA(sinA+sinC)=sin2B. ∵A∶B∶C=1∶2∶6, ∴A=,B=π,C=π, 即sin=sin2π, 即sin=sin2π, 即sin·2sincos=sin2π, 即2sincos=sinπ,显然成立. ∴=成立. 反思与感悟 综合法由因导果,分析法执果索因,因此在实际解题时,常常把分析法和综合法结合起来使用,即先利用分析法寻找解题思路,再利用综合法有条理地表述解答过程. 跟踪训练3 已知a,b,c是不全相等的正数,且0<x<1. 求证:logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc. 考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 要证logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc, 只需证 logx<logx(abc), 由已知0<x<1,只需证 ··>abc, 由公式≥>0,≥>0,≥>0. 又∵a,b,c是不全相等的正数, ∴··>=abc. 即··>abc成立. ∴logx+logx+logx<logxa+logxb+logxc成立. 1.设a=lg2+lg5,b=ex (x<0),则a与b的大小关系为________. 答案 a>b 解析 ∵a=lg2+lg5=lg10=1, b=ex<e0=1,∴a>b. 2.设0<x<1,则a=,b=x+1,c=中最大的是________. 答案 c 解析 ∵0<x<1,∴b=x+1>2>=a, ∵-(x+1)==>0,∴c>b>a. 3.已知a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且a2+b2-c2=ab,则角C的值为________. 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决三角形问题 答案  解析 cosC===, ∵0<C<π,∴C=. 4.欲证-<-成立,只需证下列各式中的________.(填序号) ①(-)2<(-)2; ②(-)2<(-)2; ③(+)2<(+)2; ④(--)2<(-)2. 答案 ③ 解析 根据不等式性质,当a>b>0时,才有a2>b2, ∴只需证+<+,即证(+)2<(+)2. 5.设x,y是正实数,且x+y=1,求证:≥9. 证明 方法一 (综合法) 左边== =4+2+1≥5+4=9, 当且仅当=,即x=y=时等号成立. 原不等式得证. 方法二 (分析法) 要证≥9成立, ∵x,y是正实数,且x+y=1,∴y=1-x, 只需证明≥9, 即证(1+x)(1-x+1)≥9x(1-x), 即证2+x-x2≥9x-9x2, 即证4x2-4x+1≥0, 即证(2x-1)2≥0,此式显然成立. ∴原不等式成立. 1.综合法证题是从条件出发,由因导果;分析法是从结论出发,执果索因. 2.分析法证题时,一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语. 3.在解题时,往往把综合法和分析法结合起来使用. 一、填空题 1.a2+2+与2的大小关系是________________. 答案 a2+2+>2 2.已知x>0,y>0,且+=1,则xy的最大值为____. 答案 3 解析 ∵1=+≥2=, ∴xy≤3,当且仅当x=,y=2时等号成立. 3.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)=________. 答案 -b 解析 函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=-f(x),∴函数f(x)为奇函数,∴f(-a)=-f(a)=-b. 4.若P=+,Q=+ (a≥0),则P与Q的大小关系为________. 答案 P<Q 解析 ∵P2=2a+7+2, Q2=2a+7+2, ∴P2<Q2,又∵P>0,Q>0,∴P<Q. 5.若A,B为△ABC的内角,则A>B是sinA>sinB的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”) 答案 充要 解析 由正弦定理知==2R,又A,B为三角形的内角,∴sinA>0,sinB>0,∴sinA>sinB⇔2RsinA>2RsinB⇔a>b⇔A>B. 6.设n∈N,则-________-.(填“>”“<”“=”) 答案 < 解析 要证-<-, 只需证+<+, 只需证(+)2<(+)2, 即2n+5+2<2n+5+2. 只需证<, 只需证(n+1)(n+4)<(n+2)(n+3), 即n2+5n+4<n2+5n+6,即4<6即可. 而4<6显然成立, 故-<-. 7.若三棱锥S-ABC中,SA⊥BC,SB⊥AC,则S在底面ABC上的射影为△ABC的________.(填重心、垂心、内心、外心之一) 答案 垂心 解析 如图,设S在底面ABC上的射影为点O, ∴SO⊥平面ABC,连结AO,BO. ∵SA⊥BC,SO⊥BC,SA∩SO=S, ∴BC⊥平面SAO,∴BC⊥AO. 同理可证,AC⊥BO. ∴O为△ABC的垂心. 8.如果a+b>a+b,则实数a,b应满足的条件是________. 答案 a≥0,b≥0且a≠b 解析 a+b>a+b⇔a-a>b-b ⇔a(-)>b(-)⇔(a-b)(-)>0 ⇔(+)(-)2>0, 故只需a≠b,且a,b都不小于零即可. 9.已知函数f(x)=2x,a,b∈(0,+∞).A=f,B=f,C=f,且a≠b,则A,B,C从小到大排列为______________. 答案 C<B<A 解析 ∵>>, 又∵f(x)=2x在R上为增函数, ∴A>B>C. 10.比较大小:设a>0,b>0,则lg(1+)________[lg(1+a)+lg(1+b)]. 答案 ≤ 解析 ∵(1+)2-(1+a)(1+b) =2-(a+b)≤0, ∴(1+)2≤(1+a)(1+b), 则lg(1+)2≤lg[(1+a)(1+b)], 即lg(1+)≤[lg(1+a)+lg(1+b)]. 11.在△ABC中,∠C=60°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,则+=________. 答案 1 解析 由余弦定理知,c2=a2+b2-2abcosC, ∴c2=a2+b2-ab,① +==,② 将①式代入②式,得+=1. 二、解答题 12.已知a>0,b>0且a+b=1,求证:+≤2. 证明 要证+≤2, 只需证a++b++2≤4, 又a+b=1, 即只需证明≤1. 而≤ ==1成立, 当且仅当a=b=时等号成立. 所以+≤2成立. 13.在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列,求证:△ABC为等边三角形. 证明 由A,B,C成等差数列,有2B=A+C.① 由于A,B,C为△ABC的三个内角, 所以A+B+C=π.② 由①②,得B=.③ 由a,b,c成等比数列,得b2=ac,④ 由余弦定理及③, 可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac, 再由④,得a2+c2-ac=ac,即(a-c)2=0, 从而a=c,所以A=C.⑤ 由②③⑤,得A=B=C=, 所以△ABC为等边三角形. 三、探究与拓展 14.如图所示,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D1(注:填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑所有可能的情形). 答案 AC⊥BD(答案不唯一) 解析 要证A1C⊥B1D1, 只需证B1D1垂直于A1C所在的平面A1CC1, 因为该四棱柱为直四棱柱,所以B1D1⊥CC1, 故只需证B1D1⊥A1C1即可. 即当BD⊥AC时,有A1C⊥B1D1. 15.设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,=an+1-n2-n-,n∈N*. (1)求a2的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数n,有++…+<. 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决数列问题 (1)解 当n=1时,=2a1=a2--1-=2, 解得a2=4. (2)解 2Sn=nan+1-n3-n2-n,① 当n≥2时,2Sn-1=(n-1)an-(n-1)3-(n-1)2-(n-1),② ①-②,得2an=nan+1-(n-1)an-n2-n, 整理,得nan+1=(n+1)an+n(n+1),即=+1,-=1,当n=1时,-=2-1=1. 所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列, 所以=n,即an=n2. 所以数列{an}的通项公式为an=n2,n∈N*. (3)证明 因为=<=-(n≥2), 所以++…+=+++…+ <1++++…+ =1++-=-<.

2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 直接证明学案 苏教版选修1 -2.docx

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