标签: 2018-2019学年高中数学第二章推理与证明滚动训练二(§2.1~§2.2)新人教B版选修1-2  
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doc 第二章 推理与证明 滚动训练二(§2.1~§2.2) 一、选择题 1.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,下列假设正确的是(  ) A.假设a,b,c都是偶数 B.假设a,b,c都不是偶数 C.假设a,b,c至多有一个偶数 D.假设a,b,c至多有两个偶数 考点 反证法及应用 题点 如何正确进行反设 答案 B 解析 根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定“至少有一个”的否定“都不是”,即假设正确的是:假设a,b,c都不是偶数,故选B. 2.用三段论推理:“任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0”,你认为这个推理(  ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.是正确的 考点 “三段论”及其应用 题点 大前提错误导致结论错误 答案 A 解析 任何实数的平方大于0,因为a是实数,所以a2>0, 大前提:任何实数的平方大于0是不正确的,0的平方就不大于0.故选A. 3.“已知实数x,y满足(x-1)2+(y-1)2=1,求的最大值”时,可理解为在以点(1,1)为圆心,以1为半径的圆上找一点,使它到原点距离最远问题,据此类比到空间,试分析:已知实数x,y,z满足(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1,求的最大值是(  ) A.+1 B.-1 C.+1 D.-1 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 C 解析 由题意,根据类比思想,(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=1,球心(1,1,1)到原点的距离为,∴的最大值是球心(1,1,1)到原点的距离加上半径,即+1,故选C. 4.有甲、乙、丙、丁四位同学竞选班长,其中只有一位当选.有人走访了四位同学,甲说:“是乙或丙当选”,乙说:“甲、丙都未当选”,丙说:“我当选了”,丁说:“是乙当选了”,若四位同学的话只有两句是对的,则当选的同学是(  ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面中的应用 答案 C 解析 若甲当选,则都说假话,不合题意. 若乙当选,则甲、乙、丁都说真话,丙说假话,不符合题意. 若丁当选,则甲、丙、丁都说假话,乙说真话,不符合题意. 故当选的同学是丙,故选C. 5.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面各正三角形的位置是(  ) A.各正三角形内的任一点 B.各正三角形的中心 C.各正三角形边上的任一点 D.各正三角形的某中线的中点 考点 类比推理的应用 题点 平面几何与立体几何之间的类比 答案 B 解析 正三角形类比正四面体,正三角形的三边类比正四面体的四个面,三边的中点类比正三角形的中心. 6.设{an},{bn}是两个等差数列,若cn=an+bn,则{cn}也是等差数列,类比上述性质,设{sn},{tn}是等比数列,则下列说法正确的是(  ) A.若rn=sn+tn,则{rn}是等比数列 B.若rn=sntn,则{rn}是等比数列 C.若rn=sn-tn,则{rn}是等比数列 D.以上说法均不正确 考点 类比推理的应用 题点 等差数列与等比数列之间的类比 答案 B 解析 在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时:加减运算类比推理为乘除运算,累加类比为累乘.故由“{an},{bn}是两个等差数列,若cn=an+bn,则{cn}是等差数列”, 类比推理可得:“设{sn},{tn}是等比数列,若rn=sntn,则{rn}是等比数列”.故选B. 7.观察下列数表规律: 2→3 6→7 10→11 ↑ ↓ ↑ ↓ ↑ ↓ 0→1 4→5 8→9 12→… 则数2 018的箭头方向是(  ) A.2 018→ ↑ B.↓ 2 018→ C. ↑ →2 018 D.→2 018 ↓ 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数阵(表)中的应用 答案 A 解析 因上行偶数是首项为2,公差为4的等差数列,若2 018在上行,则2 018=2+(n-1)·4,得n=505∈N+.故2 018在上行,又因为在上行偶数的箭头为→,故选A. 8.已知f(x)=x3+x,a,b∈R,且a+b>0,则f(a)+f(b)的值一定(  ) A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正负都有可能 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在函数中的应用 答案 A 解析 ∵f(x)=x3+x,∴f(x)是增函数且是奇函数. ∵a+b>0,∴a>-b, ∴f(a)>f(-b)=-f(b),∴f(a)+f(b)>0. 二、填空题 9.在推导等差数列前n项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=________. 考点 类比推理的应用 题点 类比推理的方法、形式和结论 答案 44.5 解析 设S=sin21°+sin22°+…+sin289°, 则S=sin289°+sin288°+…+sin21°, 两式倒序相加,得 2S= (sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin289°+sin21°)=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin289°+cos289°)=89,∴S=44.5. 10.观察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,….根据上述规律,第五个等式为________________. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 13+23+33+43+53+63=212 解析 由所给等式可得,等式两边的幂式指数规律明显,底数关系如下, 1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10, 即左边底数的和等于右边的底数,故第五个等式为 13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212. 11.已知点A(x1,),B(x2,)是函数y=3x的图象上任意不同两点,依据图象可知,线段AB总是位于A,B两点之间函数图象的上方,因此有结论>成立.运用类比思想方法可知,若点A(x1,tan x1),B(x2,tan x2)是函数y=tan x的图象上任意不同两点,则类似地有________________成立. 考点 类比推理的应用 题点 平面曲线之间的类比 答案 <tan 解析 因为y=tan x图象是上凸的, 因此线段AB的中点的纵坐标总是小于函数y=tan x图象上的点 的纵坐标,即有<tan成立. 12.已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c=________. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 201 解析 因为三个关系中只有一个正确,分三种情况讨论:若①正确,则②③不正确,得到由于集合{a,b,c}={0,1,2},所以解得a=b=1,c=0或a=1,b=c=0或b=1,a=c=0,与互异性矛盾; 若②正确,则①③不正确,得到与互异性矛盾; 若③正确,则①②不正确,得到则符合题意,所以100a+10b+c=201. 三、解答题 13.1,,2能否为同一等差数列中的三项?说明理由. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 解 假设1,,2能为同一等差数列中的三项,但不一定是连续的三项,设公差为d,则1=-md,2=+nd,m,n为两个正整数,消去d得m=(+1)n. ∵m为有理数,(+1)n为无理数. ∴左边为有理数,右边为无理数,m=(+1)n不成立,矛盾. ∴假设不成立,即1,,2不可能为同一等差数列中的三项. 四、探究与拓展 14.已知△ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列,试分别用综合法和分析法证明B为锐角. 考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 分析法: 要证明B为锐角,B为三角形的内角, 则只需证cos B>0. 又cos B=,只需证a2+c2-b2>0. 即证a2+c2>b2. 又a2+c2≥2ac,只需证2ac>b2. 由已知=+,即2ac=b(a+c), 只需证b(a+c)>b2,即证a+c>b成立, 在△ABC中,a+c>b显然成立. 所以B为锐角. 综合法: 由题意得=+=, 则b=,b(a+c)=2ac>b2(因为a+c>b). 因为cos B=≥>0, 又0<B<π. 所以0<B<,即B为锐角. 15.(1)用分析法证明:当a>2时,+<2. (2)设a,b是两个不相等的正数,且+=1,用综合法证明:a+b>4. 考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 (1)要证+<2, 只要证(+)2<(2)2, 只要证2a+2<4a, 只要证<a. ∵a2-4<a2显然成立,∴<a成立, ∴+<2成立. (2)∵a>0,b>0,且a≠b, ∴a+b=(a+b) =1+1++>2+2=4, ∴a+b>4.

2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明滚动训练二(§2.1~§2.2)新人教B版选修1 -2.docx

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