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doc 第二章 推理与证明 章末复习 学习目标 1.理解合情推理与演绎推理的区别与联系,会利用归纳与类比推理进行简单的推理.2.加深对直接证明和间接证明的认识,会应用其解决一些简单的问题. 1.合情推理 (1)归纳推理:由部分到整体、由个别到一般的推理. (2)类比推理:由特殊到特殊的推理. (3)合情推理:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. 2.演绎推理 (1)演绎推理:由一般到特殊的推理. (2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: ①大前提——已知的一般原理. ②小前提——所研究的特殊情况. ③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断. 3.直接证明和间接证明 (1)直接证明的两类基本方法是综合法和分析法. ①综合法是从已知条件推出结论的证明方法. ②分析法是从结论追溯到条件的证明方法. (2)间接证明的一种方法是反证法,是从结论反面成立出发,推出矛盾的方法. 1.归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.( × ) 2.“所有3的倍数都是9的倍数,某数m是3的倍数,则m一定是9的倍数”,这是三段论推理,但其结论是错误的.( √ ) 3.综合法是直接证明,分析法是间接证明.( × ) 4.反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾.( × ) 类型一 合情推理的应用 例1 (1)有一个奇数列1,3,5,7,9,…,现在进行如下分组:第一组含一个数{1};第二组含两个数{3,5};第三组含三个数{7,9,11};第四组含四个数{13,15,17,19};…,试观察每组内各数之和并猜想f(n)(n∈N+)与组的编号数n的关系式为________. 答案 f(n)=n3 解析 由于1=13,3+5=8=23,7+9+11=27=33, 13+15+17+19=64=43,…,猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)=n3. (2)在平面几何中,对于Rt△ABC,AC⊥BC,设AB=c,AC=b,BC=a,则 ①a2+b2=c2; ②cos2A+cos2B=1; ③Rt△ABC的外接圆半径为r=. 把上面的结论类比到空间写出相类似的结论;试对其中一个猜想进行证明. 解 选取3个侧面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象. ①设3个两两垂直的侧面的面积分别为S1,S2,S3,底面面积为S,则S+S+S=S2. ②设3个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1. ③设3个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a,b,c,则这个四面体的外接球的半径为R=. 下面对①的猜想进行证明. 如图在四面体A-BCD中,AB,AC,AD两两垂直,平面ABC,平面ABD,平面ACD为三个两两垂直的侧面. 设AB=a,AC=b,AD=c, 则在Rt△ABC中,BC==,SRt△ABC=ab. 同理,CD=,SRt△ACD=bc. BD=,SRt△ABD=ac. ∴S△BCD=. 经检验,S+S+S=S. 即所证猜想为真命题. 反思与感悟 (1)归纳推理中有很大一部分题目是数列内容,通过观察给定的规律,得到一些简单数列的通项公式是数列中的常见方法. (2)类比推理重在考查观察和比较的能力,题目一般情况下较为新颖,也有一定的探索性. 跟踪训练1 如图是由火柴棒拼成的图形,第n个图形由n个正方形组成. 通过观察可以发现:第4个图形中有________根火柴棒;第n个图形中有________根火柴棒. 考点 归纳推理的应用 题点 归纳推理在图形中的应用 答案 13 3n+1 解析 设第n个图形中火柴棒的根数为an,可知a4=13. 通过观察得到递推关系式an-an-1=3(n≥2,n∈N+), 所以an=3n+1. 类型二 综合法与分析法 例2 试用分析法和综合法分别推证下列命题:已知α∈(0,π),求证:2sin 2α≤. 考点 分析法和综合法的综合应用 题点 分析法和综合法的综合应用 证明 分析法 要证2sin 2α≤成立, 只需证4sin αcos α≤, ∵α∈(0,π),∴sin α>0, 只需证4cos α≤, ∵1-cos α>0, ∴4cos α(1-cos α)≤1, 可变形为4cos2α-4cos α+1≥0, 只需证(2cos α-1)2≥0,显然成立. 综合法 ∵+4(1-cos α)≥4, 当且仅当cos α=,即α=时取等号, ∴4cos α≤. ∵α∈(0,π),∴sin α>0, ∴4sin αcos α≤, ∴2sin 2α≤. 反思与感悟 分析法和综合法是两种思路相反的推理方法:分析法是倒溯,综合法是顺推,二者各有优缺点.分析法容易探路,且探路与表述合一,缺点是表述易错;综合法条件清晰,易于表述,因此对于难题常把二者交互运用,互补优缺,形成分析综合法,其逻辑基础是充分条件与必要条件. 跟踪训练2 设a>0,b>0,a+b=1,求证:++≥8.试用综合法和分析法分别证明. 证明 (综合法) 因为a>0,b>0,a+b=1, 所以1=a+b≥2,≤,ab≤,所以≥4. 又+=(a+b)=2++≥4, 所以++≥8(当且仅当a=b=时等号成立). (分析法) 因为a>0,b>0,a+b=1, 要证++≥8, 只需证+≥8, 只需证+≥8, 即证+≥4. 也就是证+≥4. 即证+≥2, 由基本不等式可知,当a>0,b>0时,+≥2恒成立,所以原不等式成立. 类型三 反证法 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn=2. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列. (1)解 当n=1时,a1+S1=2a1=2,则a1=1. 又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2, 两式相减得an+1=an, 所以{an}是首项为1,公比为的等比数列, 所以an=(n∈N+). (2)证明 假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap+1,aq+1,ar+1(p<q<r,且p,q,r∈N+), 则2·=+,所以2·2r-q=2r-p+1.(*) 又因为p<q<r,所以r-q,r-p∈N+. 所以(*)式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立. 所以假设不成立,原命题得证. 反思与感悟 反证法常用于直接证明困难或以否定形式出现的命题;涉及“都是……”“都不是……”“至少……”“至多……”等形式的命题时,也常用反证法. 跟踪训练3 若x,y都是正实数,且x+y>2,求证:<2或<2中至少有一个成立. 证明 假设<2和<2都不成立, 则有≥2和≥2同时成立. 因为x>0且y>0, 所以1+x≥2y且1+y≥2x, 两式相加,得2+x+y≥2x+2y,所以x+y≤2. 这与已知x+y>2矛盾. 故<2与<2中至少有一个成立. 1.观察按下列顺序排序的等式:9×0+1=1,9×1+2=11,9×2+3=21,9×3+4=31,…,猜想第n(n∈N+)个等式应为(  ) A.9(n+1)+n=10n+9 B.9(n-1)+n=10n-9 C.9n+(n-1)=10n-1 D.9(n-1)+(n-1)=10n-10 答案 B 解析 由已知中的式子,我们观察后分析: 等式左边分别为9与编号减1的积再加上编号, 等式右边是一个等差数列. 根据已知可以推断: 第n(n∈N+)个等式为9(n-1)+n=10n-9. 故选B. 2.在平面直角坐标系中,方程+=1(ab≠0)表示x,y轴上的截距分别为a,b的直线,类比到空间直角坐标系中,在x,y,z轴上截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为(  ) A.++=1 B.++=1 C.++=1 D.ax+by+cz=1 答案 A 解析 ∵在平面直角坐标系中,方程+=1表示的图形是一条直线,具有特定性质:“在x轴,y轴上的截距分别为a,b”.类比到空间坐标系中,在x,y,z轴上截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为++=1.故选A. 3.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(  ) A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实数 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 答案 A 解析 方程x3+ax+b=0至少有一个实根的反面是方程x3+ax+b=0没有实根,故选A. 4.若a>0,b>0,则有(  ) A.>2b-a B.<2b-a C.≥2b-a D.≤2b-a 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决不等式问题 答案 C 解析 因为-(2b-a)==≥0,所以≥2b-a. 5.已知等差数列{an}的首项为8,Sn是其前n项的和,某同学经计算得S1=8,S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学发现了其中一个数算错了,则算错的数应为________. 考点  题点  答案 S4=56 解析 显然S1是正确的.假设后三个数均未算错, 则a1=8,a2=12,a3=16,a4=29,这四项不成等差数列, 但可知前三项成等差数列,故a4有误,应为20, 故S4算错了,S4应为56. 1.归纳和类比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整体的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想,推理的结论不一定为真,有待进一步证明. 2.演绎推理与合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面,合情推理与演绎推理又是相辅相成的,前者是后者的前提,后者论证前者的可靠性. 3.直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法:综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法,在解决数学问题时,常把它们结合起来使用.间接证明的一种方法是反证法,反证法是从结论反面成立出发,推出矛盾的证明方法. 一、选择题 1.下面几种推理是合情推理的是(  ) ①由圆的性质类比出球的有关性质; ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°; ③张军某次考试成绩是100分,由此推出全班同学的成绩都是100分; ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°,五边形内角和是540°,由此得凸多边形内角和是(n-2)·180°. A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 答案 C 解析 ①是类比推理;②是归纳推理;④是归纳推理.所以①②④是合情推理. 2.在等差数列{an}中,若an<0,公差d>0,则有a4·a6>a3·a7,类比上述性质,在等比数列{bn}中,若bn>0,q>1,则下列有关b4,b5,b7,b8的不等关系正确的是(  ) A.b4+b8>b5+b7 B.b5+b7>b4+b8 C.b4+b7>b5+b8 D.b4+b5>b7+b8 答案 A 3.我们把1,4,9,16,25,…这些数称做正方形数,这是因为这些数目的点可以排成一个正方形(如图). 试求第n个正方形数是(  ) A.n(n-1) B.n(n+1) C.n2 D.(n+1)2 答案 C 解析 观察前5个正方形数,恰好是序号的平方,所以第n个正方形数应为n2. 4.当n=1,2,3,4,5,6时,比较2n和n2的大小并猜想(  ) A.n≥1时,2n>n2 B.n≥3时,2n>n2 C.n≥4时,2n>n2 D.n≥5时,2n>n2 考点 归纳推理 题点 归纳推理在数对(组)中的应用 答案 D 解析 当n=1时,2n>n2;当n=2时,2n=n2; 当n=3时,2n<n2;当n=4时,2n=n2; 当n=5时,2n>n2;当n=6时,2n>n2. 故猜想当n≥5时,2n>n2. 5.“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等.”以上推理的大前提是(  ) A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 答案 B 解析 利用三段论分析: 大前提:矩形都是对角线相等的四边形; 小前提:四边形ABCD是矩形; 结论:四边形ABCD的对角线相等. 6.定义运算:x⊗y=例如3⊗4=4,则下列等式不成立的是(  ) A.x⊗y=y⊗x B.(x⊗y)⊗z=x⊗(y⊗z) C.(x⊗y)2=x2⊗y2 D.c·(x⊗y)=(c·y)⊗(c·x)(c>0) 考点 合情推理的综合应用 题点 合情推理在函数中的应用 答案 C 解析 由定义可知:“⊗”是求两个数中的较大者,所以A,B,D均是恒成立的. 7.某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳(单位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a-1 b 65 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则(  ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 考点 演绎推理的综合应用 题点 演绎推理在其他方面的应用 答案 B 解析 进入立定跳远决赛的有8人,根据成绩应是1号至8号. 若a>63,则同时进入两决赛的不是6人,不符合题意; 若61≤a≤63,则同时进

2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明章末复习同步学案 新人教B版选修1 -2.docx

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