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doc 2019版高中语文 第二单元 6 鸿门宴学案6新人教版必修1.doc
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doc 第二章 推理与证明 章末检测试卷(二) (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.自然数是整数,4是自然数,所以4是整数,以上三段论推理(  ) A.正确 B.推理形式不正确 C.两个“自然数”概念不一致 D.“两个整数”概念不一致 答案 A 解析 三段论中的大前提、小前提及推理形式都是正确的. 2.已知=2,=3,=4,…,若=a(a,t均为正实数),类比以上等式,可推测a,t的值,则t-a等于(  ) A.31 B.41 C.55 D.71 答案 B 解析 观察下列等式:=2, =3,=4,…, 照此规律,第6个等式中a=7,t=a2-1=48, ∴t-a=41.故选B. 3.观察下列各等式:+=2,+=2,+=2,+=2,依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为(  ) A.+=2 B.+=2 C.+=2 D.+=2 答案 A 解析 观察分子中2+6=5+3=7+1=10+(-2)=8. 4.用反证法证明命题“+是无理数”时,假设正确的是(  ) A.假设是有理数 B.假设是有理数 C.假设或是有理数 D.假设+是有理数 答案 D 解析 应对结论进行否定,则+不是无理数, 即+是有理数. 5.下列推理正确的是(  ) A.把a(b+c)与loga(x+y)类比,则有loga(x+y)=logax+logay B.把a(b+c)与sin(x+y)类比,则有sin(x+y)=sin x+sin y C.把a(b+c)与ax+y类比,则有ax+y=ax+ay D.把(a+b)+c与(xy)z类比,则有(xy)z=x(yz) 答案 D 解析 (xy)z=x(yz)是乘法的结合律,正确. 6.我们把平面几何里相似形的概念推广到空间:如果两个几何体大小不一定相等,但形状完全相同,就把它们叫做相似体.下列几何体中,一定属于相似体的有(  ) ①两个球体;②两个长方体;③两个正四面体;④两个正三棱柱;⑤两个正四棱锥. A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 答案 C 解析 类比相似形中的对应边成比例知,①③属于相似体. 7.求证:+>,证明:因为+和都是正数,所以为了证明+>,只需证明(+)2>()2,展开得5+2>5,即2>0,此式显然成立,所以不等式+>成立.上述证明过程应用了(  ) A.综合法 B.分析法 C.综合法及分析法 D.间接证法 答案 B 解析 从证明过程可以看出,符合分析法的特点. 8.已知f(x+1)=,f(1)=1(x∈N+),猜想f(x)的表达式为(  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 当x=1时,f(2)===, 当x=2时,f(3)===, 当x=3时,f(4)===, 故可猜想f(x)=,故选B. 9.甲、乙、丙三人参加某公司的面试,最终只有一人能够被该公司录用,得到面试结果以后,甲说:丙被录用了;乙说:甲被录用了;丙说:我没被录用.若这三人中仅有一人说法错误,则下列说法正确的是(  ) A.丙被录用了 B.乙被录用了 C.甲被录用了 D.无法确定谁被录用了 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 答案 C 解析 假设甲说的是真话,即丙被录用,则乙说的是假话,丙说的是假话,不成立;假设甲说的是假话,即丙没有被录用,则丙说的是真话,若乙说的是真话,即甲被录用,成立,故甲被录用;若乙被录用,则甲和乙的说法都错误,不成立.故选C. 10.设a,b,c是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≠0; ②a=b与b=c及a=c中至少有一个成立; ③a≠c,b≠c,a≠b不能同时成立. 其中判断正确的个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点 合情推理的含义 题点 合情推理的含义 答案 B 解析 若(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0,则a=b=c,与“a,b,c是不全相等的正数”矛盾,故①正确.a=b与b=c及a=c中最多只能有一个成立,故②不正确.由于“a,b,c是不全相等的正数”,有两种情形:有两个数相等或三个数都互不相等,故③不正确. 11.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x](其中[x]表示不大于x的最大整数)可以表示为(  ) A.y= B.y= C.y= D.y= 答案 C 解析 根据规定每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时,再增加一名代表,即余数分别为7,8,9时,可增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3,因此,利用取整函数可表示为y=. 12.如图,有一个六边形的点阵,它的中心是1个点(算第1层),第2层每边有2个点,第3层每边有3个点,…,依此类推,如果一个六边形点阵共有169个点,那么它的层数为(  ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案 C 解析 由题意知,第1层的点数为1,第2层的点数为6,第3层的点数为2×6,第4层的点数为3×6,第5层的点数为4×6,…,第n(n≥2,n∈N+)层的点数为6(n-1).设一个点阵有n(n≥2,n∈N+)层,则共有的点数为1+6+6×2+…+6(n-1)=1+×(n-1)=3n2-3n+1.由题意得3n2-3n+1=169,即(n+7)·(n-8)=0,所以n=8,故共有8层. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知a>0,b>0,m=lg,n=lg,则m,n的大小关系是________. 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决不等式问题 答案 m>n 解析 ab>0⇒>0⇒a+b+2>a+b⇒(+)2>()2⇒+>⇒>⇒lg>lg. 14.观察下列等式: (1+1)=2×1, (2+1)(2+2)=22×1×3, (3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5, …, 照此规律,第n个等式可为______________. 答案 (n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1) 解析 由已知的三个等式左边的变化规律,得第n个等式左边为(n+1)(n+2)·…·(n+n);由已知的三个等式右边的变化规律,得第n个等式右边为2n与n个奇数之积,即2n×1×3×…×(2n-1). 15.已知圆的方程是x2+y2=r2,则经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程为x0x+y0y=r2,类比上述性质,可以得到椭圆+=1类似的性质为_____________________________________. 答案 +=1 解析 圆的性质中,经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程就是将圆的方程中的一个x与y分别用M(x0,y0)的横坐标与纵坐标替换,故可得椭圆+=1类似的性质为过椭圆+=1上一点P(x0,y0)的切线方程为+=1. 16.有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________. 答案 1和3 解析 由丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”可知,丙为“1和2”或“1和3”.又乙说“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,所以乙只可能为“2和3”.所以由甲说“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,得甲只能为“1和3”. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,{an}有如下性质:(m,n,p,q∈N+) ①通项an=am+(n-m)d; ②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq; ③若m+n=2p,则am+an=2ap; ④Sn,S2n-Sn,S3n-S2n构成等差数列. 类比上述性质,在等比数列{bn}中,写出类似的性质. 解 在等比数列{bn}中,公比为λ(λ≠0),前n项和为Sn′,{bn}有如下性质:(m,n,p,q∈N+) ①通项bn=bm·λn-m; ②若m+n=p+q,则bm·bn=bp·bq; ③若m+n=2p,则bm·bn=b; ④Sn′,S2n′-Sn′,S3n′-S2n′(Sn′≠0)构成等比数列. 18.(12分)已知实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反证法证明关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根. 证明 假设方程x2-2x+5-p2=0有实数根, 则该方程的根的判别式Δ=4-4(5-p2)≥0, 解得p≥2或p≤-2.① 而由已知条件实数p满足不等式(2p+1)(p+2)<0, 解得-2<p<-.② 数轴上表示①②的图形无公共部分,故假设不成立,从而关于x的方程x2-2x+5-p2=0无实数根. 19.(12分)已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1. 求证:≥8. 证明 要证≥8成立, 只需证··≥8成立. ∵a+b+c=1, ∴只需证··≥8成立, 即··≥8, ∴只需证··≥··≥8成立,而··≥8显然成立, ∴≥8成立. 20.(12分)已知A,B都是锐角,且A+B≠90°,(1+tan A)·(1+tan B)=2.求证:A+B=45°. 考点 综合法及应用 题点 利用综合法解决函数问题 证明 因为(1+tan A)(1+tan B)=2, 展开化简为tan A+tan B=1-tan Atan B. 因为A+B≠90°,tan(A+B)==1, 又因为A,B都是锐角, 所以0°<A+B<180°,所以A+B=45°. 21.(12分)某同学在研究三角形的性质时,发现了有些三角形的三边长有以下规律: ①3(3×4+4×5+5×3)≤(3+4+5)2<4(3×4+4×5+5×3); ②3(6×8+8×9+9×6)≤(6+8+9)2<4(6×8+8×9+9×6); ③3(3×4+4×6+6×3)≤(3+4+6)2<4(3×4+4×6+6×3). 分析以上各式的共同特征,猜想出关于任一三角形三边长a,b,c的一般性的不等式结论并证明. 解 猜想:3(ab+ac+bc)≤(a+b+c)2<4(ab+ac+bc); 证明如下: (a+b+c)2-3(ab+ac+bc)=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc-3ab-3ac-3bc=a2+b2+c2-ab-ac-bc=(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2≥0. 所以3(ab+ac+bc)≤(a+b+c)2; 4(ab+ac+bc)-(a+b+c)2=4ab+4ac+4bc-a2-b2-c2-2ab-2ac-2bc=2ab+2ac+2bc-a2-b2-c2=a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(a+b-c).① 因为三角形两边之和大于第三边,所以①式>0. 所以4(ab+ac+bc)>(a+b+c)2. 所以3(ab+ac+bc)≤(a+b+c)2<4(ab+ac+bc). 22.(12分)设{an}是公比为q的等比数列. (1)推导数列{an}的前n项和公式; (2)设q≠1,证明数列{an+1}不是等比数列. 考点 反证法及应用 题点 反证法的应用 (1)解 设数列{an}的前n项和为Sn, 当q=1时,Sn=a1+a1+…+a1=na1; 当q≠1时,Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,① qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,② 由①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn, 所以Sn=, 综上所述,Sn= (2)证明 假设{an+1}是等比数列,则对任意的k∈N+, (ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1), a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1, aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1, 因为a1≠0, 所以2qk=qk-1+qk+1. 因为q≠0,所以q2-2q+1=0, 所以q=1,这与已知矛盾. 所以假设不成立,故数列{an+1}不是等比数列.

2018-2019学年高中数学 第二章 推理与证明章末检测试卷 新人教B版选修1 -2.docx

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