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doc 第二章 随机变量及其分布 ,        [A 基础达标] 1.已知随机变量ξ服从正态分布N(0,σ2),若P(ξ>2)=0.023,则P(-2≤ξ≤2)=(  ) A.0.447 B.0.628 C.0.954 D.0.997 解析:选C.因为随机变量ξ服从标准正态分布N(0,σ2), 所以正态曲线关于x=0对称. 又P(ξ>2)=0.023, 所以P(ξ<-2)=0.023. 所以P(-2≤ξ≤2)=1-2×0.023=0.954. 2.船队若出海后天气好,可获利5 000元;若出海后天气坏,将损失2 000元;若不出海也要损失1 000元.根据预测知,天气好的概率为0.6,则出海效益的均值是(  ) A.2 000元 B.2 200元 C.2 400 D.2 600元 解析:选B.出海效益的均值为E(X)=5 000×0.6+(1-0.6)×(-2 000)=3 000-800=2 200(元). 3.盒中装有10个乒乓球,其中5个新球,5个旧球,不放回地依次取出2个球使用,在第一次摸出新球的条件下,第二次也取到新球的概率为(  ) A. B. C. D. 解析:选C.A=,B=,则n(A)=CC,n(AB)=CC. 所以P(B|A)===. 4.某人射击一次命中目标的概率为,则此人射击6次,3次命中且恰有2次连续命中的概率为(  ) A.C B.A C.C D.C 解析:选B.根据射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响,故此人射击6次,3次命中的概率为C,恰有两次连续击中目标的概率为,故此人射击6次,3次命中且恰有2次连续命中的概率为C·=A. 5.甲命题:若随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ≤2)=0.3,则P(ξ≤4)=0.7.乙命题:随机变量η~B(n,p),且E(η)=300,D(η)=200,则p=,则正确的是(  ) A.甲正确,乙错误 B.甲错误,乙正确 C.甲错误,乙也错误 D.甲正确,乙也正确 解析:选D.随机变量ξ服从正态分布N(3,σ2),所以曲线关于ξ=3对称,所以P(ξ≤4)=1-P(ξ≤2)=0.7,所以甲命题正确;随机变量η~B(n,p),且E(η)=np=300,D(η)=np(1-p)=200,解得p=,所以乙命题正确. 6.袋中装有6个红球,4个白球,从中任取1个球,记下颜色后再放回,连续摸取4次,设X是取得红球的次数,则E(X)=________. 解析:每一次摸得红球的概率为=, 由X~B(4,). 则E(X)=4×=. 答案: 7.两位工人加工同一种零件共100个,甲加工了40个,其中有35个合格,乙加工了60个,其中有50个合格,令事件A为“从100个产品中任意取一个,取出的是合格品”,事件B为“从100个产品中任意取一个,取到甲生产的产品”,则P(A|B)=________. 解析:由题意知P(B)=,P(AB)=,故P(A|B)===. 答案: 8.一只蚂蚁位于数轴x=0处,这只蚂蚁每隔一秒钟向左或向右移动一个单位,设它向右移动的概率为,向左移动的概率为,则3秒后,这只蚂蚁在x=1处的概率为________. 解析:由题意知,3秒内蚂蚁向左移动一个单位,向右移动两个单位,所以蚂蚁在x=1处的概率为C()2()1=. 答案: 9.甲、乙、丙三人打算趁股市低迷之际“入市”.若三人在圈定的10支股票中各自随机购买一支(假定购买时每支股票的基本情况完全相同). (1)求甲、乙、丙三人恰好买到同一支股票的概率; (2)求甲、乙、丙三人中至少有两人买到同一支股票的概率. 解:(1)三人恰好买同一支股票的概率为P1=10×××=. (2)三人中恰好有两人买到同一支股票的概率为P2=10×C××=. 由(1)知,三人恰好买到同一支股票的概率为P1=,所以三人中至少有两人买到同一支股票的概率为P=P1+P2=+=. 10.某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加某省举办的“我看中国改革开放”演讲比赛活动. (1)设所选3人中女生人数为ξ,求ξ的分布列; (2)求男生甲或女生乙被选中的概率; (3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A). 解:(1)ξ的所有可能取值为0,1,2. 依题意P(ξ=0)==. P(ξ=1)==. P(ξ=2)==. 所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P (2)设“甲、乙都不被选中”为事件C, 则P(C)===. 所以所求概率为P(C)=1-P(C)=1-=. (3)P(B)===,P(B|A)===. [B 能力提升] 11.为迎接2022年北京冬奥会,推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销运动,该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1小时免费,超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为,;1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3小时. (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与数学期望E(ξ ). 解:(1)若两人所付费用相同,则相同的费用可能为0元,40元,80元, 两人都付0元的概率为P1=×=, 两人都付40元的概率为P2=×=, 两人都付80元的概率为P3=(1--)×(1--)=×=, 则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=++=. (2)由题意得,ξ所有可能的取值为0,40,80,120,160. P(ξ=0)=×=, P(ξ=40)=×+×=, P(ξ=80)=×+×+×=, P(ξ=120)=×+×=, P(ξ=160)=×=, 所以ξ的分布列为 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)=0×+40×+80×+120×+160×=80. 12.某学校的功能室统一使用“佛山照明”的一种灯管,已知这种灯管使用寿命ξ(单位:月)服从正态分布N(μ,σ2),且使用寿命不少于12个月的概率为0.8,使用寿命不少于24个月的概率为0.2. (1)求这种灯管的平均使用寿命μ; (2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管,使用12个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换下(中途不更换).求至少两支灯管需要更换的概率. 解:(1)因为ξ~N(μ,σ2),P(ξ≥12)=0.8,P(ξ≥24)=0.2,所以P(ξ<12)=0.2,显然P(ξ<12)=P(ξ>24). 由正态分布密度函数的对称性可知,μ==18, 即每支这种灯管的平均使用寿命是18个月. (2)每支灯管使用12个月时已经损坏的概率为1-0.8=0.2,假设使用12个月时该功能室需要更换的灯管数量为η支,则η~B(4,0.2),故至少两支灯管需要更换的概率P=1-P(η=0)-P(η=1)=1-C×0.84-C×0.83×0.21≈0.18. 13.(选做题)(2017·山西太原二模)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖规则如下: 1.抽奖方案有以下两种:方案a:从装有2个红球、3个白球(仅颜色不同)的甲袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金30元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回甲袋中;方案b:从装有3个红球、2个白球(仅颜色不同)的乙袋中随机摸出2个球,若都是红球,则获得奖金15元;否则,没有奖金,兑奖后将摸出的球放回乙袋中. 2.抽奖条件:顾客购买商品的金额满100元,可根据方案a抽奖一次;满150元,可根据方案b抽奖一次(例如某顾客购买商品的金额为260元,则该顾客可以根据方 案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次).已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元. (1)若顾客A只选择方案a进行抽奖,求其所获奖金的期望; (2)要使所获奖金的期望值最大,顾客A应如何抽奖? 解:(1)按方案a抽奖一次,获得奖金的概率P==. 顾客A只选择方案a进行抽奖,则其可以按方案a抽奖三次. 此时中奖次数服从二项分布B. 设所得奖金为w1元,则E(w1)=3××30=9. 即顾客A所获奖金的期望为9元. (2)按方案b抽奖一次,获得奖金的概率P1==. 若顾客A按方案a抽奖两次,按方案b抽奖一次,则由方案a中奖的次数服从二项分布B1,由方案b中奖的次数服从二项分布B2, 设所得奖金为w2元,则E(w2)=2××30+1××15=10.5. 若顾客A按方案b抽奖两次,则中奖的次数服从二项分布B3. 设所得奖金为w3元,则E(w3)=2××15=9. 结合(1)可知,E(w1)=E(w3)<E(w2). 所以顾客A应该按方案a抽奖两次,按方案b抽奖一次.

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