标签: 2018-2019学年高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程讲义(含解析)新人教A版选修4-4  
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doc 1.椭圆的参数方程 椭圆的参数方程 (1)中心在原点,焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0)的参数方程是(φ为参数),规定参数φ的取值范围是[0,2π). (2)中心在(h,k)的椭圆普通方程为+=1,则其参数方程为(φ为参数). 椭圆的参数方程的应用:求最值 [例1] 已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数). (1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程; (2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. [思路点拨] (1)由椭圆的参数方程公式,求椭圆的参数方程,由换元法求直线的普通方程. (2)将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式,将问题转化为三角函数求最值问题. [解] (1)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为d=|4cos θ+3sin θ-6|. 则|PA|==|5sin(θ+α)-6|, 其中α为锐角,且tan α=. 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值, 最大值为. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为. 利用椭圆的参数方程,求目标函数的最大(小)值,通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解. 1.已知椭圆+=1,点A的坐标为(3,0).在椭圆上找一点P,使点P与点A的距离最大. 解:椭圆的参数方程为(θ为参数). 设P(5cos θ,4sin θ),则 |PA|== ==|3cos θ-5|≤8, 当cos θ=-1时,|PA|最大. 此时,sin θ=0,点P的坐标为(-5,0). 椭圆参数方程的应用:求轨迹方程 [例2] 已知A,B分别是椭圆+=1的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动,求△ABC的重心G的轨迹方程. [思路点拨] 由条件可知,A,B两点坐标已知,点C在椭圆上,故可设出点P坐标的椭圆参数方程形式,由三角形重心坐标公式求解. [解] 由题意知A(6,0)、B(0,3).由于动点C在椭圆上运动,故可设动点C的坐标为(6cos θ,3sin θ),点G的坐标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得 即 消去参数θ得△ABC的重心G的轨迹方程为+(y-1)2=1. 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性,运用参数方程显得很简单,运算更简便. 2.已知椭圆方程是+=1,点A(6,6),P是椭圆上一动点,求线段PA中点Q的轨迹方程. 解:设P(4cos θ,3sin θ),Q(x,y),则有 即(θ为参数), ∴9(x-3)2+16(y-3)2=36即为所求. 3.设F1,F2分别为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右两个焦点. (1)若椭圆C上的点A到F1,F2的距离之和等于4,写出椭圆C的方程和焦点坐标; (2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点,求线段F1P的中点的轨迹方程. 解:(1)由椭圆上点A到F1,F2的距离之和是4,得2a=4,即a=2.又点A在椭圆上,因此+=1,得b2=3,于是c2=a2-b2=1,所以椭圆C的方程为+=1,焦点坐标为F1(-1,0),F2(1,0). (2)设椭圆C上的动点P的坐标为(2cos θ,sin θ),线段F1P的中点坐标为(x,y),则x=,y=,所以x+=cos θ,=sin θ.消去θ,得2+=1即为线段F1P中点的轨迹方程. 椭圆参数方程的应用:证明问题 [例3] 已知椭圆+y2=1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1,B2的连线分别交x轴于P,Q两点,求证:|OP|·|OQ|为定值. [思路点拨] 利用参数方程,设出点M的坐标,并由此得到直线MB1,MB2的方程,从而得到P,Q两点坐标,求出|OP|,|OQ|,再求|OP|·|OQ|的值. [证明] 设M(2cos φ,sin φ),φ为参数, 因为B1(0,-1),B2(0,1), 则MB1的方程为y+1=·x, 令y=0,则x=,即|OP|=. MB2的方程为y-1=x, 令y=0,则x=. ∴|OQ|=. ∴|OP|·|OQ|=·=4. 即|OP|·|OQ|=4为定值. 利用参数方程证明定值(或恒成立)问题,首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来,然后利用条件消去参数,得到一个与参数无关的定值即可. 4.求证:椭圆(a>b>0,0≤θ≤2π)上一点M与其左焦点F的距离的最大值为a+c(其中c2=a2-b2). 证明:M,F的坐标分别为(acos θ,bsin θ),(-c,0). |MF|2=(acos θ+c)2+(bsin θ)2 =a2cos2θ+2accos θ+c2+b2-b2cos2θ =c2cos2θ+2accos θ+a2 =(a+ccos θ)2. ∴当cos θ=1时,|MF|2最大,|MF|最大,最大值为a+c. 一、选择题 1.椭圆(θ为参数),若θ∈[0,2π],则椭圆上的点(-a,0)对应的θ=(  ) A.π           B. C.2π D.π 解析:选A ∵在点(-a,0)中,x=-a,∴-a=acos θ,∴cos θ=-1,∴θ=π. 2.参数方程(θ为参数)和极坐标方程ρ=-6cos θ所表示的图形分别是(  ) A.圆和直线 B.直线和直线 C.椭圆和直线 D.椭圆和圆 解析:选D 对于参数方程(θ为参数), 利用同角三角函数关系消去θ化为普通方程为+y2=1,表示椭圆. ρ=-6cos θ两边同乘ρ, 得ρ2=-6ρcos θ, 化为普通方程为x2+y2=-6x, 即(x+3)2+y2=9. 表示以(-3,0)为圆心,3为半径的圆. 3.椭圆(θ为参数)的左焦点的坐标是(  ) A.(-,0) B.(0,) C.(-5,0) D.(-4,0) 解析:选A 根据题意,椭圆的参数方程(θ为参数)化成普通方程为+=1, 其中a=4,b=3,则c==, 所以椭圆的左焦点坐标为(-,0). 4.两条曲线的参数方程分别是(θ为参数)和(t为参数),则其交点个数为(  ) A.0 B.1 C.0或1 D.2 解析:选B 由 得x+y-1=0(-1≤x≤0, 1≤y≤2), 由得+=1.如图所示,可知两曲线交点有1个. 二、填空题 5.椭圆(θ为参数)的离心率为________. 解析:由椭圆方程为+=1,可知a=5,b=4, ∴c==3,∴e==. 答案: 6.已知P为曲线C:(θ为参数,0≤θ≤π)上一点,O为坐标原点,若直线OP的倾斜角为,则点P的坐标为________. 解析:曲线C的普通方程为+=1(0≤y≤4),易知直线OP的斜率为1,其方程为y=x, 联立消去y,得x2=, 故x=,故y=, 所以点P的坐标为. 答案: 7.已知椭圆的参数方程为(φ为参数),点M在椭圆上,对应的参数φ=,点O为原点,则直线OM的斜率为________. 解析:当φ=时,故点M的坐标为(1,2).所以直线OM的斜率为2. 答案:2 三、解答题 8.已知两曲线的参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R),求它们的交点坐标. 解:将(0≤θ<π)化为普通方程得: +y2=1(0≤y≤1,x≠-), 将x=t2,y=t代入得,t4+t2-1=0,解得t2=, ∴t=,x=t2=×=1, ∴两曲线的交点坐标为. 9.已知椭圆的参数方程为(θ为参数),求椭圆上一点P到直线(t为参数)的最短距离. 解:设点P(3cos θ,2sin θ),直线可化为2x+3y-10=0,点P到直线的距离d==.因为sin∈[-1,1],所以d∈,所以点P到直线的最短距离dmin=. 10.椭圆+=1(a>b>0)与x轴正半轴交于点A,若这个椭圆上总存在点P,使OP⊥AP(O为原点),求离心率e的取值范围. 解:设椭圆的参数方程是(θ为参数)(a>b>0),则椭圆上的点P(acos θ,bsin θ),A(a,0). ∵OP⊥AP,∴·=-1, 即(a2-b2)cos2θ-a2cos θ+b2=0. 解得cos θ=或cos θ=1(舍去). ∵a>b,-1≤cos θ≤1,∴0<≤1. 把b2=a2-c2代入得0<≤1. 即0<-1≤1,解得≤e<1. 故椭圆的离心率e的取值范围为.

2018-2019学年高中数学 第二讲 参数方程 二 圆锥曲线的参数方程 1 椭圆的参数方程讲义(含解析)新人教A版选修4-4.doc

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