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doc 第二讲 参数方程 专题检测试卷(二) (时间:90分钟 满分:120分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.当参数θ变化时,动点P(2cosθ,3sinθ)所确定的曲线必过(  ) A.点(2,3) B.点(2,0) C.点(1,3) D.点 答案 B 2.已知三个方程:①②③(都是以t为参数),那么表示同一曲线的方程是(  ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 答案 B 3.已知方程x2-ax+b=0的两根是sinθ和cosθ,则点(a,b)的轨迹是(  ) A.椭圆弧 B.圆弧 C.双曲线弧 D.抛物线弧 答案 D 解析 由题意知 即 a2-2b=(sin θ+cosθ)2-2sin θ·cosθ=1. 又|θ|≤, ∴点(a,b)的轨迹是抛物线弧. 4.已知点P(x,y)在曲线C:(θ为参数)上,则x-2y的最大值为(  ) A.2 B.-2 C.1+ C.1- 答案 C 解析 由题意 所以x-2y=1+cosθ-2sin θ=1-(2sin θ-cosθ)=1- =1-sin(θ-φ)(其中tan φ=),所以x-2y的最大值为1+. 5.若圆的方程为(θ为参数),直线的方程为(t为参数),则直线与圆的位置关系是(  ) A.相交过圆心 B.相交且不过圆心 C.相切 D.相离 答案 B 6.在平面直角坐标系中,已知曲线C1:(t为参数),曲线C2:(θ为参数).若曲线C1,C2有公共点,则实数a的取值范围是(  ) A.[1-,1+] B.[1-,1+] C.[-1,3] D.[1-,1+] 答案 A 解析 把曲线C2的参数方程化为普通方程是x2+(y-1)2=4. 把曲线C1的参数方程代入曲线C2的普通方程,得 (2t+2a)2+(-t-1)2=4, 即5t2+(8a+2)t+4a2-3=0. ∵曲线C1,C2有公共点, ∴Δ=(8a+2)2-20(4a2-3)≥0, 即a2-2a-4≤0, 解得1-≤a≤1+. 故实数a的取值范围是[1-,1+]. 7.已知A(0,1)为椭圆x2+4y2=4上一定点,点P为椭圆上异于A的一动点,则|AP|的最大值为(  ) A.3 B.4 C. D. 答案 C 解析 设点P(2cos θ,sin θ), ∴|AP|== =, ∴当sin θ=-时,|AP|max=. 8.过抛物线(t为参数)的焦点的弦长为2,则弦长所在直线的倾斜角为(  ) A. B.或 C. D.或 答案 B 解析 将抛物线的参数方程化成普通方程为y2=x,它的焦点为.易知直线的斜率存在且不为0,设弦所在直线的方程为y=k,由消去y得64k2x2-48(k2+2)x+9k2=0,设弦的两个端点的坐标为(x1,y1),(x2,y2),则|x1-x2|===,解得k=±, ∴α=或. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 9.已知曲线C1:ρ=2和曲线C2:ρcos=,则C1上到C2的距离等于的点的个数为________. 答案 3 解析 将极坐标方程ρ=2和ρcos=化为直角坐标方程分别得x2+y2=(2)2和x-y-2=0.易知C1为以坐标原点为圆心,半径为2的圆,C2为直线.因为圆心到直线x-y-2=0的距离为,所以满足条件的点的个数为3. 10.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C的参数方程是(θ为参数),若以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程可写为______________. 答案 ρ=2sinθ 解析 由题意知,曲线C:x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0, 所以(ρcosθ)2+(ρsinθ)2-2ρsin θ=0,化简得ρ=2sin θ. 11.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x2+y2-2y=0的参数方程为________. 答案 (θ为参数) 解析 当θ≠时,将直线y=tan θ·x代入x2+y2-2y=0, 得(1+tan2θ)x2-2tan θ·x=0, 解得x=2sin θcosθ或x=0, 所以①或② ①式适合②式. 当θ=时,直线与圆的交点为(0,0)或(0,2)都适合②式. 所以圆x2+y2-2y=0的参数方程为(θ为参数). 12.已知直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0与曲线(θ为参数)有且仅有一个公共点,则正实数a的值为________. 答案 2 解析 直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0的直角坐标方程为3x+4y+a=0,曲线(θ为参数)的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1.因为直线与圆有且仅有一个公共点,则d==1,解得a=2或a=-8,所以正实数a的值为2. 三、解答题(本大题共6小题,共60分) 13.(10分)极坐标系的极点是直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,直线l的参数方程为(t为参数),⊙O的极坐标方程为ρ=2,若直线l与⊙O相切,求x0的值. 解 由直线l的参数方程,得直线l的普通方程为y=(x-x0),⊙O的直角坐标方程为x2+y2=4. ∵直线l与⊙O相切, ∴圆心O(0,0)到直线l:x-y-x0=0的距离为2, 即=2,解得x0=±. 14.(10分)A为椭圆+=1上任意一点,B为圆C:(x-1)2+y2=1上任意一点,求|AB|的最大值和最小值. 解 化椭圆的普通方程为参数方程为(θ为参数),圆C的圆心坐标为(1,0), 设A(5cos θ,3sin θ), 再根据平面内两点之间的距离公式,可得 |AC|= = =, 当cosθ=时,|AC|取最小值; 当cosθ=-1时,|AC|取最大值6. 所以,当cosθ=时,|AB|取最小值-1; 当cosθ=-1时,|AB|取最大值6+1=7. 15.(10分)(2018·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数). (1)求C和l的直角坐标方程; (2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率. 解 (1)曲线C的直角坐标方程为+=1. 当cosα≠0时,直线l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα, 当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1. (2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程, 整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0.① 因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内, 所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0. 又由①得t1+t2=-, 故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2. 16.(10分)已知P为半圆C:(θ为参数,0≤θ≤π)上的点,点A的坐标为(1,0),O为坐标原点,点M在射线OP上,线段OM与圆C的弧的长度均为. (1)以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M的极坐标; (2)求直线AM的参数方程. 解 (1)由已知,得点M的极角为,且点M的极径等于,故点M的极坐标为. (2)点M的直角坐标为,A(1,0), 故直线AM的参数方程为(t为参数). 17.(10分)已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数). (1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值. 解 (1)C1:(x+4)2+(y-3)2=1,C2:+=1, C1为圆心是(-4,3),半径是1的圆, C2为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴长是8,短半轴长是3的椭圆. (2)当t=时,P(-4,4),Q(8cos θ,3sin θ), 故M(-2+4cos θ,2+sin θ). C3为直线x-2y-7=0, M到C3的距离d=|4cos θ-3sin θ-13|. 从而当cosθ=,sin θ=-时,d取得最小值. 18.(10分)在平面直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线,在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ. (1)写出直线l的参数方程,并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M,N,求|PM|+|PN|的取值范围. 解 (1)直线l的参数方程为(t为参数). ∵ρ=4cos θ,∴ρ2=4ρcos θ, ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0. (2)直线l的参数方程为(t为参数), 代入x2+y2=4x,得t2+4(sin α+cosα)t+4=0, ∴ ∴sin α·cosα>0, 又0≤α<π, ∴α∈,且t1<0,t2<0. ∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2| =4(sin α+cosα)=4sin, 由α∈(0,),得α+∈, ∴<sin≤1, 故|PM|+|PN|的取值范围是.

2018-2019学年高中数学 第二讲 参数方程专题检测试卷 新人教A版选修4-4.docx

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