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文档内容摘要
doc 一 圆周角定理 [学习目标] 1.探究并理解圆周角定理的证明过程. 2.通过圆周角定理的证明过程,体会分类讨论思想,并能对一些简单的数学问题进行分类讨论. 3.理解圆周角定理、圆心角定理及圆周角定理的两个推论,能用这些定理、推论解决相关的几何问题. [知识链接] 1.“相等的圆周角所对的弧相等”是否正确? 提示 不正确.“相等的圆周角所对的弧相等”是在“同圆或等圆中”这一大前提下成立的,如图. 若AB∥DG,则∠BAC=∠EDF,但≠. 2.圆的一条弦所对的圆周角都相等吗? 提示 不一定相等.一般有两种情况:相等或互补.弦所对的优弧与所对劣弧所成的圆周角互补,所对同一条弧上的圆周角都相等,直径所对的圆周角既相等又互补. [预习导引] 1.圆周角定理 文字语言 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 图形语言 符号语言 在⊙O中,所对的圆周角和圆心角分别是∠BAC,∠BOC,则有∠BAC=∠BOC 作用 确定圆中两个角的大小关系 2.圆心角定理 文字语言 圆心角的度数等于它所对弧的度数 图形语言 符号语言 A,B是⊙O上两点,则的度数等于∠AOB的度数 作用 确定圆弧或圆心角的度数 3.圆周角定理的推论 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径. 要点一 圆周角定理及其推论 例1 在半径为5 cm的圆内有长为5cm的弦AB,求此弦所对的圆周角. 解 如图所示,过O点作OD⊥AB于点D. 因为OD⊥AB,OD经过圆心, 所以AD=BD=(cm). 在Rt△AOD中,OD==(cm), 所以∠OAD=30°, 所以∠AOD=60°. 所以∠AOB=2∠AOD=120°, 所以∠ACB=∠AOB=60°. 因为∠AOB=120°,所以的度数为120°, 的度数为240°. 所以∠AEB=×240°=120°. 所以此弦所对的圆周角为60°或120°. 规律方法 弦所对的圆周角有两个,易丢掉120°导致错误,另外求圆周角时易应用到解三角形的知识. 跟踪演练1 如图,已知:△ABC内接于⊙O,D,E在BC边上,且BD=CE,∠1=∠2. 求证:AB=AC. 证明 延长AD,AE,分别交⊙O于F,G,连接BF,CG, ∵∠1=∠2,∴=, ∴BF=CG,=, ∴∠FBC=∠GCE. 又∵BD=CE,∴△BFD≌△CGE, ∴∠F=∠G,=,∴AB=AC. 要点二 圆心角定理 例2 如图所示,AB,CD是⊙O的两条直径,CE∥AB,求证:=. 证明 连接OE,因为OE=OC,所以∠C=∠E. 因为CE∥AB.所以∠C=∠BOC,∠E=∠AOE. 所以∠BOC=∠AOE. 所以=. 规律方法 证明弧相等只需证明弧所对的圆心角相等,通常用圆周角定理或平行来转化. 跟踪演练2 如图所示,已知⊙O中,∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC. 证明 ∵∠ACB=∠AOB, ∠BAC=∠BOC, 又由已知∠AOB=2∠BOC, ∴∠ACB=×2∠BOC=∠BOC. 故∠BAC=∠ACB,即:∠ACB=2∠BAC. 要点三 直径上的圆周角 例3 如图所示,已知AB为⊙O的直径,AC为弦,OD∥BC,交AC于D,BC=4 cm. (1)试判断OD与AC的位置关系; (2)求OD的长; (3)若2sin A-1=0,求⊙O的直径. 解 (1)OD⊥AC.理由如下: ∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°. ∵OD∥BC,∴∠ADO=∠ACB=90°,∴OD⊥AC. (2)∵△AOD∽△ABC,∴==, ∴OD=BC=2(cm). (3)∵2sin A-1=0,∴sin A=. 又∵sin A=,∴AB=2BC=8 cm, 即⊙O的直径为8 cm. 规律方法 此题充分利用了“直径所对的圆周角是直角”这一特征,并在此基础上对前面所学知识进行适当的综合. 跟踪演练3 如图,AB是半圆的直径,AC为弦,且AC∶BC=4∶3,AB=10 cm,OD⊥AC于D.求四边形OBCD的面积. 解 ∵AB是半圆的直径,∴∠C=90°. ∵AC∶BC=4∶3,∴可设AC=4x,BC=3x. 又∵AB=10,∴16x2+9x2=100, ∴x=2,∴AC=8 cm,BC=6 cm. 又∵OD⊥AC,∴OD∥BC, ∴AD=4 cm,OD=3 cm. ∴S四边形OBCD=S△ABC-S△AOD=×6×8-×3×4=24-6=18(cm2). 1.圆周角定理揭示了圆周角与圆心角的关系,把角和弧两种不同类型的图形联系起来.在几何证明的过程中,圆周角定理为我们解决角和弧之间的问题提供了一种新方法. 2.圆心角的度数等于它所对的弧的度数,它与圆的半径无关,也就是说在大小不等的两个圆中,相同度数的圆心角,它们所对的弧的度数相等;反过来,弧的度数相等,它们所对的圆心角的度数也相等. 3.关于圆周角定理推论的理解 (1)在推论1中,注意:“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”的话结论就不成立了,因为一条弦所对的圆周角有两种可能,在一般情况下是不相等的. (2)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等,但并不是“圆心角等于它所对的弧”. (3)“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”. (4)在同圆或等圆中,由弦相等⇒弧相等时,这里的弧要求同是优弧或同是劣弧,一般选劣弧. 1.如图,AB为⊙O的直径,C,D是⊙O上的两点,∠BAC=20°,=,则∠DAC的度数是(  ) A.30° B.35° C.45° D.70° 解析 ∵∠BAC=20°, ∴的度数为40°,∴的度数为140°. ∵=,∴的度数为70°. ∴∠DAC=35°. 答案 B 2.如图所示,在⊙O中,∠BAC=25°,则∠BOC等于(  ) A.25° B.50° C.30° D.12.5° 解析 根据圆周角定理,得∠BOC=2∠BAC=50°. 答案 B 3.△ABC内接于⊙O,且∶∶=3∶4∶5,则∠A=________,∠B=________,∠C=________. 解析 ∵∶∶=3∶4∶5, ∴的度数为90°,的度数为120°,的度数为150°, ∴∠A=60°,∠B=75°,∠C=45°. 答案 60° 75° 45° 4.如图所示,在⊙O中,直径AB=10 cm,BC=8 cm,CD平分∠ACB,求AC和DB的长. 解 ∵AB是⊙O的直径,而直径所对的圆周角是直角,∴△ABC是直角三角形. 由勾股定理可得AB2=AC2+BC2, 即102=AC2+82,∴AC=6(cm). ∵CD平分∠BCA,∴∠BCD=∠DCA=45°. ∵同弧所对的圆周角相等, ∴∠DBA=∠DCA=45°,∠BAD=∠BCD=45°, ∴∠DBA=∠BAD,∴DB=AD, ∴由勾股定理可得AB2=2BD2, 即102=2DB2,∴DB=5(cm). 一、基础达标 1.如图,D是的中点,与∠ABD相等的角有(  ) A.7个 B.3个 C.2个 D.1个 解析 与∠ABD相等的角分别为∠CBD,∠ACD,∠CAD. 答案 B 2.如图,已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是(  ) A.80° B.100° C.120° D.130° 解析 ∵∠AOB=100°,∴所对圆心角为260°,∴∠ACB=130°. 答案 D 3.如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD,BC相交于点P,那么等于 (  ) A.sin∠BPD B.cos∠BPD C.tan∠BPD D.以上答案都不对 解析 连接BD,由BA是直径,知△ADB是直角三角形.根据△CPD∽△APB,==cos∠BPD. 答案 B 4.弦BC分⊙O为1∶3两部分,⊙O的直径等于4,则BC=________. 解析 由圆心角定理∠BOC=×360°=90°,∴BC==2. 答案 2 5.如图所示,A,B,C,D是⊙O上四点,且D是的中点,CD交OB于E,∠AOB=100°,∠OBC=55°,则∠OEC=________. 解析 ∵∠AOB=100°,且D是的中点,∴∠BCD=25°.∴∠OEC=∠B+∠BCD=80°. 答案 80° 6.如图所示,在⊙O中,直径AB=10 cm,弦BC=8 cm,点D是的中点,连接AC,AD,BD. (1)求AC和BD的长; (2)求四边形ADBC的面积. 解 (1)∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∵AB=10,BC=8,∴在Rt△ABC中,AC==6(cm).∵点D是的中点,∴=,∴AD=BD,∴△ABD为等腰直角三角形,∴BD=AB·sin 45°=10×=5(cm). (2)由(1)知S四边形ADBC=S△ABC+S△ABD=×AC×BC+AD2=×6×8+×(5)2=49(cm2). 二、能力提升 7.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=2,则此三角形的外接圆的半径为(  ) A. B.2 C.2 D.4 解析 由圆周角定理推论2知: AB为Rt△ABC的外接圆直径,又∵AB==4,故外接圆半径r=AB=2. 答案 B 8.在半径为6 cm的圆中,6 cm长的弦所对的圆心角等于________. 解析 6 cm长的弦的端点与圆心构成等边三角形,故此弦所对的圆心角为60°或120°. 答案 60°或120° 9.如图所示,AB是⊙O的直径,D是的中点,∠ABD=20°,则∠BCE=________. 解析 如图所示,连接AD,DE,∵∠ABD=20°,∴∠AED=20°,又D是的中点,∴∠DAC=∠DEA=20°,∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠DCA=70°,∴∠BCE=70°. 答案 70° 10.(2016·江宁一中单元测试)如图,BC为圆O的直径,AD⊥BC,=,BF和AD相交于点E,求证:AE=BE. 证明 ∵BC是⊙O的直径, ∴∠BAC为直角.又AD⊥BC,∴Rt△BDA∽Rt△BAC.∴∠BAD=∠ACB. ∵=,∴∠FBA=∠ACB. ∴∠BAD=∠FBA. ∴△ABE为等腰三角形,∴AE=BE. 11.已知AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆的直径.求证:∠BAE=∠DAC. 证明 连接BE,因为AE为直径, 所以∠ABE=90°.因为AD是△ABC的高, 所以∠ADC=90°.所以∠ADC=∠ABE. 因为∠E=∠C,所以∠BAE=180°-∠ABE-∠E, ∠DAC=180°-∠ADC-∠C. 所以∠BAE=∠DAC. 三、探究与创新 12.如图,AD是⊙O内接三角形ABC的高线,E为的中点.求证:∠OAE=∠EAD. 证明 法一 显然∠BAE=∠CAE,只要证得∠BAO=∠CAD,就间接证得∠OAE=∠EAD.故延长AO交⊙O于F点,连接BF,如图①,得∠ABF为直角,又由∠C=∠F,可得∠BAO与∠CAD相等. 法二 若要直接证∠OAE=∠EAD,就需要把它们设置成圆周角,因此把AO,AD均延长,分别交⊙O于F点和G点,连接FG,如图②,可证得FG∥BC,由平行直线所夹的弧相等则有=,又=,∴=.∴∠FAE=∠GAE. 法三 如图③,寻找第三个角,利用等量代换来证∠OAE=∠EAD,故连接OE,利用垂径定理得OE⊥BC,进而易知OE∥AD,可得∠E=∠DAE;同时,在等腰三角形OAE中∠OAE=∠E,∴∠OAE=∠DAE.

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