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doc 五 与圆有关的比例线段 一、基础达标 1.如图所示,已知PA是⊙O的切线,切点为A,PA=2,AC是⊙O的直径,PC与⊙O交于点B,PB=1,则⊙O的半径R=________. 解析 由切割线定理知 PA2=PB·PC, 即22=PC,∴PC=4, ∴AC2=PC2-PA2=42-22=12, ∴AC=2,∴⊙O的半径R=. 答案  2.如图,AD,AE,BC分别与圆O切于点D,E,F,延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论: ①AD+AE=AB+BC+CA;②AF·AG=AD·AE;③△AFB∽△ADG. 其中正确结论的序号是(  ) A.①② .②③ .①③ .①②③ 解析 ∵CF=CE,BF=BD, ∴BC=CE+BD. ∴AB+BC+CA=(AB+BD)+(AC+CE)=AD+AE,故结论①正确. 连接DF,则∠FDA=∠DGA. 又∵∠A=∠A,∴△ADF∽△AGD. ∴=.∴AD2=AF·AG. 又AE=AD,∴AD·AE=AF·AG. 故结论②正确,容易判断结论③不正确,故选A. 答案 A 3.如图,点P在⊙O直径AB的延长线上,且PB=OB=2,PC切⊙O于C点,CD⊥AB于D点,则CD=(  ) A.2 . 2 .4 解析 如图,连接OC,由切割线定理知, PC2=PA·PB,∴PC2=(2+4)×2=12, ∴PC=2,∴PO==4. 又OC⊥PC,∴CD===. 答案 B 4.从圆外一点P向圆引两条割线PAB,PCD,分别与圆相交于点A,B,C,D,如果PA=4,PC=3,CD=5,那么AB=________. 解析 由割线定理得,PA·PB=PC·PD,∴4×(4+AB)=3×(3+5),∴AB=2. 答案 2 5.如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,则PD=________,AB=________. 解析 由于PD∶DB=9∶16,设PD=9a,则DB=16a. 根据切割线定理有PA2=PD·PB. 又PA=3,PB=25a, ∴9=9a·25a, ∴a=,∴PD=,PB=5. 在Rt△PAB中,AB2=PB2-AP2=25-9=16,故AB=4. 答案  4 6.(2016·青岛重点中学联考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC且交AC于点E,当点D在AB上,DE⊥EB时: (1)求证:AC是△BDE的外接圆的切线; (2)若AD=6,AE=6,求BC的长. (1)证明 取BD的中点O,连接OE, ∵DE⊥EB,∴DB是△BED的外接圆的直径. ∴OE是⊙O的半径. ∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠EBC. ∵OE=OB,∴∠ABE=∠BEO. ∴∠BEO=∠EBC.∴EO∥BC. ∵∠C=90°,∴∠AEO=90°, 即AC是⊙O的切线. (2)解 由(1)得AE2=AD·AB, ∴(6)2=6×AB,∴AB=12. ∴OE=OD=3,∴AO=9. ∵EO∥BC,∴=, 即=.∴BC=4. 二、能力提升 7.如图所示,PA为⊙O的切线,A为切点,PA=8,割线PCB交圆于C,B,且PC=4,AD⊥BC于D,连接AB,AC, ∠ABC=α,∠ACB=β,则等于(  ) A. . C.2 .4 解析 ∵PA是⊙O的切线,PCB是⊙O的割线, ∴∠PAC=∠B,又有∠P=∠P, ∴△PCA∽△PAB,∴=. 设PC=x,∵PA2=PC·PB, ∴64=x(x+12), ∴x2+12x-64=0,解得x=4, ∴PC=4, ∴PB=4+12=16,∵AD⊥BC, ∴sin α=,sin β=, ∴====.故选B. 答案 B 8.如图所示,AB是⊙O的直径,CB切⊙O于B,CD切⊙O于D,交BA的延长线于E,若EA=1,ED=2,则BC的长为________. 解析 由ED2=EA·EB及EA=1,ED=2知EB=4,设BC长为x,则由切线长定理知CD=x.又BC与⊙O相切,∴∠EBC=90°,∴EB2+BC2=EC2,即42+x2=(2+x)2,解得BC=x=3. 答案 3 9.如图所示,⊙O过点M,⊙M交⊙O于点A,延长⊙O的直径AB交⊙M于C,若AB=8,BC=1,则AM=________. 解析 连接MB,设⊙M的半径为R,则R2-MB2=AB·BC=8,又R=MA,∴MA2-MB2=8.又∵AB为⊙O的直径,∴∠BMA=90°,∴MB2+MA2=AB2=64, ∴MA2=36,即MA=6. 答案 6 10.如图,AB是⊙O的直径,C,F为⊙O上的点,AC是∠BAF的平分线,过点C作CD⊥AF交AF的延长线于D点,CM⊥AB,垂足为点M. (1)求证:DC是⊙O的切线; (2)求证:AM·MB=DF·DA. 证明 (1)如图,连接OC, ∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC. 又∵AC是∠BAF的平分线, ∴∠DAC=∠OAC. ∴∠DAC=∠OCA. ∴AD∥OC. 又CD⊥AD,∴OC⊥CD, 即DC是⊙O的切线. (2)∵AC是∠BAF的平分线, ∠CDA=∠CMA=90°,AC=AC, ∴△ACD≌△ACM, ∴CD=CM. 由(1)知DC2=DF·DA, 又CM2=AM·MB, ∴AM·MB=DF·DA. 11.如图,⊙O的半径OB垂直于直径AC,M为AO上一点,BM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交CA的延长线于P. (1)求证:PM2=PA·PC; (2)若⊙O的半径为2,OA=OM,求MN的长. (1)证明 如图,连接ON, 则ON⊥PN,且△OBN为等腰三角形, 则∠OBN=∠ONB, ∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN,∠PNM=90°-∠ONB, ∴∠PMN=∠PNM, ∴PM=PN. 根据切割线定理,有PN2=PA·PC, ∴PM2=PA·PC. (2)解 OM=2,在Rt△BOM中, BM==4. 延长BO交⊙O于点D,连接DN. 由条件易知△BOM∽△BND, 于是=,即=, ∴BN=6, ∴MN=BN-BM=6-4=2. 三、探究与创新 12.如图,在⊙O中,相交于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,N,直线MO与直线CD相交于点F,证明: (1)∠MEN+∠NOM=180°; (2)FE·FN=FM·FO. 证明 (1)如图所示,因为M,N分别是弦AB,CD的中点,所以OM⊥AB,ON⊥CD,即∠OME=90°,∠END=90°,因此∠OME+∠ENO=180°,又四边形的内角和等于360°,故∠MEN+∠NOM=180°. (2)由(1)知,O,M,E,N四点共圆,故由割线定理即得FE·FN=FM·FO.

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