标签: 2018-2019学年高中数学第二讲讲明不等式的基本方法本讲知识归纳与达标验收讲义(含解析)新人教A版选修4-5  
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doc 第二讲 讲明不等式的基本方法 考情分析 从近两年的高考试题来看,不等式的证明主要考查比较法与综合法,而比较法多用作差比较,综合法主要涉及基本不等式与不等式的性质,题目难度不大,属中档题. 在证明不等式时,要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明.如果已知条件与待证结论之间的联系不明显,可考虑用分析法;如果待证的命题以“至少”“至多”“恒成立”等方式给出,可考虑用反证法.在必要的情况下,可能还需要使用换元法、放缩法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明. 真题体验 1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明: (1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. 证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 =2+3ab(a+b)≤2+(a+b) =2+, 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 2.(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)=+,M为不等式f(x)<2的解集. (1)求M; (2)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|. 解:(1)f(x)= 当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1; 当-<x<时,f(x)<2恒成立; 当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1. 所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}. (2)证明:由(1)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2- 1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|. 比较法证明不等式 比较法证明不等式的依据是:不等式的意义及实数比较大小的充要条件. 作差比较法证明的一般步骤是:①作差;②恒等变形;③判断结果的符号;④下结论.其中,变形是证明推理中一个承上启下的关键,变形的目的在于判断差的符号,而不是考虑差能否化简或值是多少,变形所用的方法要具体情况具体分析,可以配方,可以因式分解,可以运用一切有效的恒等变形的方法. [例1] 若x,y,z∈R,a>0,b>0,c>0,求证: x2+y2+z2≥2(xy+yz+zx). [证明] ∵x2+y2+z2-2(xy+yz+zx) =++ =x- y2+ y- z2+z- x2≥0. ∴x2+y2+z2≥2(xy+yz+zx). 综合法证明不等式 综合法证明不等式的思维方向是“顺推”,即由已知的不等式出发,逐步推出其必要条件(由因导果),最后推导出所要证明的不等式成立. 综合法证明不等式的依据是:已知的不等式以及逻辑推证的基本理论.证明时要注意:作为依据和出发点的几个重要不等式(已知或已证)成立的条件往往不同,应用时要先考虑是否具备应有的条件,避免错误,如一些带等号的不等式,应用时要清楚取等号的条件,即对重要不等式中“当且仅当……时,取等号”的理由要理解掌握. [例2] 设a,b,c∈R+且a+b+c=1. 求证:(1)2ab+bc+ca+≤; (2)++≥2. [证明] (1)因为1=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca≥4ab+2bc+2ca+c2, 当且仅当a=b时等号成立, 所以2ab+bc+ca+=(4ab+2bc+2ca+c2)≤. (2)因为≥,≥,≥, 当且仅当a=b=c=时等号成立. 所以++ ≥++ =a+b+c ≥2a+2b+2c=2,当且仅当a=b=c=时等号成立. 分析法证明不等式 分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发, 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式. 当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效. 分析法是“执果索因”,步步寻求上一步成立的充分条件,而综合法是“由因导果”,逐步推导出不等式成立的必要条件,两者是对立统一的两种方法.一般来说,对于较复杂的不等式,直接用综合法往往不易入手,因此,通常用分析法探索证题途径,然后用综合法加以证明,所以分析法和综合法可结合使用. [例3] 已知a>0,b>0,且a+b=1,求证: + ≤2. [证明] 要证 + ≤2, 只需证2≤4, 即证a+b+1+2 ≤4. 即证≤1. 也就是要证ab+(a+b)+≤1, 即证ab≤. ∵a>0,b>0,a+b=1. ∴1=a+b≥2,∴ab≤,即上式成立. 故 + ≤2. 反证法证明不等式 用直接法证明不等式困难的时候,可考虑用间接证法予以证明,反证法是间接证法的一种. 假设欲证的命题是“若A则B”,我们可以通过否定来达到肯定B的目的,如果只有有限多种情况,就可用反证法. 用反证法证明不等式,其实质是从否定结论出发,通过逻辑推理,导出与已知条件、公理、定理或某些性质相矛盾的结论,从而肯定原命题成立. [例4] 已知a,b,c为实数,a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0,求证:a>0,b>0,c>0. [证明] 假设a,b,c不全是正数,即其中至少有一个不是正数.不妨先设a≤0,下面分a=0或a<0两种情况讨论. ①如果a=0,那么abc=0,与已知矛盾, 所以a=0不可能. ②如果a<0,那么由abc>0,可得bc<0. 又因为a+b+c>0,所以b+c>-a>0, 于是ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0, 这与已知中的ab+bc+ca>0相矛盾. 因此,a<0也不可能.综上所述,a>0. 同理可以证明b>0,c>0,所以原命题成立. 放缩法证明不等式 放缩法是在顺推法逻辑推理过程中,有时利用不等式关系的传递性,作适当的放大或缩小,证明比原不等式更强的不等式来代替原不等式的一种证明方法. 放缩法的实质是非等价转化,放缩没有一定的准则和程序,需按题意适当放缩,否则达不到目的. [例5] 已知n∈N+,求证:++…+<. [证明] 因为<=, 所以++…+<++…+=<. (时间:90分钟,总分120分) 一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,满分50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.用分析法证明不等式的推论过程一定是(  ) A.正向、逆向均可进行正确的推理 B.只能进行逆向推理 C.只能进行正向推理 D.有时能正向推理,有时能逆向推理 解析:选B 在用分析法证明不等式时,是从求证的不等式出发,逐步探索使结论成立的充分条件即可,故只需进行逆向推理即可. 2.设a=lg 2+lg 5,b=ex(x<0),则a与b的大小关系是(  ) A.a<b         B.a>b C.a=b D.a≤b 解析:选B ∵a=lg 2+lg 5=1,b=ex(x<0),故b<1, ∴a>b. 3.已知a,b,c,d为实数,ab>0,-<-,则下列不等式中成立的是(  ) A.bc<ad B.bc>ad C.> D.< 解析:选B 将-<-两边同乘以正数ab,得-bc<-ad,所以bc>ad. 4.已知x1>0,x1≠1,且xn+1=(n∈N*),试证“数列{xn}对任意正整数n都满足xn<xn+1,或者对任意正整数n都满足xn>xn+1”,当此题用反证法否定结论时,应为(  ) A.对任意的正整数n,都有xn=xn+1 B.存在正整数n,使xn>xn+1 C.存在正整数n(n≥2),使xn≥xn+1且xn≤xn-1 D.存在正整数n(n≥2),使(xn-xn-1)(xn-xn+1)≥0 解析:选D 命题的结论是等价于“数列{xn}是递增数列或是递减数列”,其反设是“数列既不是递增数列,也不是递减数列”,由此可知选D. 5.用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(  ) A.方程x3+ax+b=0没有实根 B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根 C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根 D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根 解析:选A 至少有一个实根的否定是没有实根,故做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”. 6.使不等式+>1+成立的正整数a的最大值为(  ) A.10 B.11 C.12 D.13 解析:选C 用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立. 7.已知a,b,c,d∈R+且S=+++,则下列判断中正确的是(  ) A.0<S<1 B.1<S<2 C.2<S<3 D.3<S<4 解析:选B 用放缩法,<<,<<,<<,<<,以上四个不等式相加,得1<S<2. 8.已知a,b为非零实数,则使不等式+≤-2成立的一个充分不必要条件是(  ) A.ab>0 B.ab<0 C.a>0,b<0 D.a>0,b>0 解析:选C 因为与同号,由+≤-2,知<0,<0,即ab<0. 又若ab<0,则<0,<0, 所以+=- ≤-2 =-2, 综上,ab<0是+≤-2成立的充要条件, 所以a>0,b<0是+≤-2成立的一个充分不必要条件. 9.已知a>0,b>0,c>0,且a2+b2=c2,则an+bn与cn的大小关系为(n≥3,n∈N+)(  ) A.an+bn>cn B.an+bn<cn C.an+bn≥cn D.an+bn=cn 解析:选B 因为a2+b2=c2,所以2+2=1.所以n<2,n<2,所以n+n<2+2=1.所以an+bn<cn.故选B. 10.若α∈,M=|sin α|,N=|cos α|,P=|sin α+cos α|,Q= ,则它们之间的大小关系为(  ) A.M>N>P>Q B.M>P>N>Q C.M>P>Q>N D.N>P>Q>M 解析:选D ∵α∈,∴0>sin α>cos α. ∴|sin α|<|cos α|, ∴P=|sin α+cos α|=(|sin α|+|cos α|) >(|sin α|+|sin α|)=|sin α|=M. P=|sin α|+|cos α| <(|cos α|+|cos α|)=|cos α|=N. ∴N>P>M. ∵Q==<=P,Q=>=|sin α|=M, ∴N>P>Q>M. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,满分20分.把答案填写在题中的横线上) 11.用反证法证明“在△ABC中,若∠A是直角,则∠B一定是锐角”时,应假设________________. 解析:“∠B一定是锐角”的否定是“∠B不是锐角”. 答案:∠B不是锐角 12.如果a+b>a+b,则实数a,b应满足的条件是________. 解析:由知a≥0,知b≥0,而a+b≠a+b,知b≠a.此时a+b-(a+b)=(-)2(+)>0,不等式成立.故实数a,b应满足的条件是a≥0,b≥0,a≠b. 答案:a≥0,b≥0,a≠b 13.已知a+b>0,则+与+的大小关系是________. 解析:+-=+ =(a-b)=. ∵a+b>0,(a-b)2≥0, ∴≥0. ∴+≥+. 答案:+≥+ 14.设0<m<n<a<b,函数y=f(x)在R上是减函数,下列四个数f,f,f,f的大小顺序依次是____________. 解析:∵<<1<<,根据函数的单调性, 知f>f>f>f. 答案:f>f>f>f 三、解答题(本大题共4个小题,满分50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分12分)设|a|<1,|b|<1,求证:|a+b|+|a-b|<2. 证明:当a+b与a-b同号时,|a+b|+|a-b|=|a+b+a-b|=2|a|<2; 当a+b与a-b异号时,|a+b|+|a-b|=|a+b-(a-b)|=2|b|<2. ∴|a+b|+|a-b|<2. 16.(本小题满分12分)已知:在△ABC中,∠CAB>90°,D是BC的中点,求证:AD<BC(如右图所示). 证明:假设AD≥BC. (1)若AD=BC,由平面几何中定理“若三角形一边上的中线等于该边长的一半,那么,这条边所对的角为直角”,知∠A=90°,与题设矛盾. 所以AD≠BC. (2)若AD>BC,因为BD=DC=BC, 所以在△ABD中,AD>BD,从而∠B>∠BAD. 同理∠C>∠CAD. 所以∠B+∠C>∠BAD+∠CAD. 即∠B+∠C>∠A.因为∠B+∠C=180°-∠A, 所以180°-∠A>∠A即∠A<90°,与已知矛盾, 故AD>BC不成立. 由(1)(2)知AD<BC成立. 17.(本小题满分12分)求证:1++++…+<3. 证明:由<= (k是大于2的自然数),得 1++++…+ <1+1++++…+=1+ =3-<3. 18.(本小题满分14分)已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|. (1)求f(x)的最小值m; (2)若a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=m,求证:++≥3. 解:(1)当x<-1时,f(x)=-2(x+1)-(x-2)=-3x∈(3,+∞); 当-1≤x<2时,f(x)=2(x+1)-(x-2)=x+4∈[3,6); 当x≥2时,f(x)=2(x+1)+(x-2)=3x∈[6,+∞). 综上,f(x)的最小值m=3. (2)证明:a,b,c均为正实数,且满足a+b+c=3, 因为+++(a+b+c) =++ ≥2=2(a+b+c), 当且仅当a=b=c=1时,取等号, 所以++≥a+b+c,即++≥3.

2018-2019学年高中数学 第二讲 讲明不等式的基本方法 本讲知识归纳与达标验收讲义(含解析)新人教A版选修4-5.doc

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