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doc 4.2.1 实际问题中导数的意义 [基础达标] 1.做直线运动的物体,从时刻t到t+Δt时,物体的位移为Δs,那么 为(  ) A.从时刻t到t+Δt时,物体的平均速度 B.该物体在t时刻的瞬时速度 C.Δt时刻时,该物体的速度 D.从时刻t到t+Δt时,位移的平均变化率 解析:选B. 表示运动的物体在t时刻位移的导数,也即该时刻的瞬时速度. 2.自由落体的运动公式是s=gt2(g为重力加速度),则物体在下落3 s到4 s之间的平均变化率是(取g=10 m/s2)(  ) A.30 B.32 C.35 D.40 解析:选C.v===g=35. 3.李华在参加一次同学聚会时,他用如图所示的圆口杯喝饮料,李华想:如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t),则函数h(t)的图像可能是(  ) 解析:选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”,则开始阶段饮料的高度增加较快,以后高度增加得越来越慢,仅有B符合. 4.国际环保局在规定的排污达标的日期前,对甲、乙两家企业进行检查,其连续检测结果如图,(其中W1、W2分别表示甲、乙的排污量). 下列说法正确的是(  ) A.甲企业治污效果好 B.乙企业治污效果好 C.甲、乙两企业治污效果相同 D.无法判定 解析:选A.由图可知甲企业治污快,效果好. 5.细杆AB的长为20 cm,M为细杆AB上的一点,AM段的质量与A到M的距离的平方成正比,当AM=2 cm时,AM的质量为8 g,那么当AM=x cm时,M处的细杆线密度ρ(x)为(  ) A.2x B.3x C.4x D.5x 解析:选C.当AM=x cm时,设AM的质量为f(x)=kx2,因为f(2)=8,所以k=2,即f(x)=2x2,故细杆线密度ρ(x)=f′(x)=4x,故选C. 6.人体血液中药物的质量浓度c=f(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化,若f′(2)=0.3,则f′(2)表示________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 答案:服药2 min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL的速度增加 7.将1 kg铁从0 ℃加热到t ℃需要的热量为Q(单位:J):Q(t)=0.000 297t2+0.440 9t. (1)当t从10变到20时函数值Q关于t的平均变化率是________,它的实际意义是________________________________________________________________________. (2)Q′(100)=________,它的实际意义是________________________________________________________________________. 解析:(1)当t从10变到20时,函数值Q关于t的平均变化率为≈0.449 8,它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中,平均每增加1 ℃,需要吸收热量约为0.449 8 J. (2)Q′(t)=0.000 594t+0.440 9,则Q′(100)=0.500 3,它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃,需要吸收热量0.500 3 J. 答案:(1)0.449 8 它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中,平均每增加1 ℃,需要吸收热量约为0.449 8 J (2)0.500 3 它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃,需要吸收热量0.500 3 J 8.已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm),将半径r表示为体积V的函数,有r(V)=,则当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为________. 解析:∵r(V1)-r(V2)=- = . ∴平均膨胀率为: =. 答案: 9.水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器,设容器深30 m,上底面直径为12 m,试求当水深为10 m时,水面上升的速度. 解:设经过t min后水深为H,则此时水面半径为. 由等体积知,20t=π··H. ∴H(t)=5,H′(t)=·t-. ∴水深10 m时水面上升的速度为H′(10)=(m/min). 10.路灯距地平面为8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上行走,从路灯在地面上的射影点C出发,沿某直线离开路灯,求人影长度的变化速度v. 解:如图所示,路灯距地面的距离为DC=8 m,人的身高为EB=1.6 m. 设人从C处运动到B处的路程CB为x m,时间为t s,AB为人影长度,设为y m. ∵BE∥CD,∴=. ∴=,∴y=x. 又∵84 m/min=1.4 m/s, ∴y=x=t(x=1.4t). ∴y′=,即人影长度的变化速度v为 m/s. [能力提升] 1. 如图所示,设有定圆C和定点O,当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,则函数的图像大致是(  ) 解析:选D.由于是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时段相对增速较快. 选项A表示面积的增速是常数,与实际不符; 选项B表示最后时段面积的增速较快,与实际不符; 选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快,也与实际不符; 选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段增速较快,符合实际. 2.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m(m>1)时球的体积膨胀率为,则m的值为________. 解析:ΔV=m3-×13=(m3-1),∴==π.∴m2+m+1=7.∴m=2或m=-3(舍). 答案:2 3.设生产某种产品的总成本函数c(万元)与产量q(万件)之间的函数关系为c(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3.求生产水平为q=10万元时的平均成本和边际成本,并从降低成本角度看继续提高产量是否合算? 解:当q=10时,总成本c(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=100+40-20+10=130(万元). 平均成本130÷10=13(元/件), 边际成本c′(q)=4-0.4q+0.03q2, ∴c′(10)=4-0.4×10+0.03×102=4-4+3=3(元/件). 因此在生产水平为10万元时每增产一个产品,总成本增加3元,比当前的平均成本13元低,从降低成本角度看,应继续提高产量. 4.学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright博士在飞机制造过程中,通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究,首次发现并提出来的.已知某类学习任务的学习曲线为:f(t)=×100%(f(t)为该学习任务已掌握的程度,t为学习时间),且这类学习任务中的某项任务满足f(2)=60%. (1)求f(t)的表达式,计算f(0)并说明f(0)的含义; (2)已知2x>xln 2对任意x>0恒成立,现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数.研究表明,当学习时间t∈(1,2)时,学习效率最佳,则当学习效率最佳时,求学习效率指数相应的取值范围. 解:(1)∵f(t)=×100%(t为学习时间),且f(2)=60%,∴×100%=60%,解得a=4. ∴f(t)=×100%=×100%(t≥0), ∴f(0)=×100%=37.5%,f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%. (2)令学习效率指数=y,则y===(t>0).现研究函数g(t)=t+的单调性,由于g′(t)=(t>0),又已知2x>xln 2对任意x>0恒成立,即2t-tln 2>0对任意t>0恒成立,则g′(t)>0恒成立,∴g(t)在(0,+∞)上为增函数,且g(t)为正数. ∴y==在(0,+∞)上为减函数,而y==,即当t∈(1,2)时,y=∈(,),故所求学习效率指数的取值范围是(,).

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