标签: 2018-2019学年高中数学第四章数系的扩充与复数的引入1.1-1.2数的概念的扩展复数的有关概念(一)学案北师大版选修1-2  
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文档内容摘要
doc 1.1 数的概念的扩展 1.2 复数的有关概念(一) 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法,理解复数相等的充要条件. 知识点一 复数的概念及复数的表示 思考 为解决方程x2=2在有理数范围内无根的问题,数系从有理数扩充到实数;那么怎样解决方程x2+1=0在实数系中无根的问题呢? 答案 设想引入新数i,使i是方程x2+1=0的根,即i·i=-1,方程x2+1=0有解,同时得到一些新数. 梳理 复数及其表示 (1)复数的定义 ①规定i2=-1,其中i叫作虚数单位; ②若a∈R,b∈R,则形如a+bi的数叫作复数. (2)复数的表示 ①复数通常表示为z=a+bi(a,b∈R); ②对于复数z=a+bi,a与b分别叫作复数z的实部与虚部,并且分别用Rez与Imz表示,即a=Rez,b=Imz. 知识点二 复数的分类 (1)复数a+bi(a,b∈R) (2)集合表示 知识点三 两个复数相等的充要条件 在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di (a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d. 1.若a,b为实数,则z=a+bi为虚数.( × ) 2.复数z=bi是纯虚数.( × ) 3.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.( √ ) 类型一 复数的概念 例1 (1)给出下列命题: ①若z∈C,则z2≥0; ②2i-1虚部是2i; ③2i的实部是0; ④若实数a与ai对应,则实数集与纯虚数集一一对应; ⑤实数集的补集是虚数集. 其中真命题的个数为(  ) A.0B.1C.2D.3 (2)已知复数z=a2-(2-b)i的实部和虚部分别是2和3,则实数a,b的值分别是________. 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (1)C (2)±,5 解析 (1)令z=i∈C,则i2=-1<0,故①不正确; ②中2i-1的虚部应是2,故②不正确; ④当a=0时,ai=0为实数,故④不正确. ∴只有③⑤正确. (2)由题意知∴a=±,b=5. 反思与感悟 (1)复数的代数形式:若z=a+bi,只有当a,b∈R时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. (3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答. 跟踪训练1 下列命题: ①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数; ②若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±2; ③实数集是复数集的真子集. 其中正确说法的个数是(  ) A.0B.1C.2D.3 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 B 解析 对于①,若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数,故①错误;对于②,若x=-2,则x2-4=0,x2+3x+2=0,此时(x2-4)+(x2+3x+2)i=0不是纯虚数,故②错误.显然③正确.故选B. 类型二 复数的分类 例2 求当实数m为何值时,z=+(m2+5m+6)i分别是(1)虚数;(2)纯虚数. 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 解 (1)复数z是虚数的充要条件是 解得m≠-3且m≠-2. ∴当m≠-3且m≠-2时,复数z是虚数. (2)复数z是纯虚数的充要条件是 解得 故m=3. ∴当m=3时,复数z是纯虚数. 引申探究 1.若本例条件不变,求m为何值时,z为实数. 解 由已知得,复数z的实部为, 虚部为m2+5m+6. 复数z是实数的充要条件是 解得 故m=-2. ∴当m=-2时,复数z是实数. 2.已知i是虚数单位,m∈R,复数z=+(m2-2m-15)i,则当m=________时,z为纯虚数. 答案 3或-2 解析 由题意知解得m=3或-2. 反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时,主要依据实部、虚部满足的条件,可列方程或不等式求参数. 跟踪训练2 当实数m为何值时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是 (1)纯虚数;(2)实数. 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 解 (1)若复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数,则解得m=4. 故当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数. (2)若复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是实数, 则解得m=-2或m=-3. 故当m=-2或-3时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i为实数. 类型三 复数相等 例3 (1)已知x0是关于x的方程x2-(2i-1)x+3m-i=0(m∈R)的实根,则m的值是________. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案  解析 由题意,得x-(2i-1)x0+3m-i=0, 即(x+x0+3m)+(-2x0-1)i=0, 由此得解得m=. (2)已知A={1,2,a2-3a-1+(a2-5a-6)i},B={-1,3},A∩B={3},求实数a的值. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 解 由题意知,a2-3a-1+(a2-5a-6)i=3(a∈R), 所以 即 所以a=-1. 反思与感悟 (1)在两个复数相等的充要条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di⇔a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不成立. (2)利用条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求解. 跟踪训练3 复数z1=(2m+7)+(m2-2)i,z2=(m2-8)+(4m+3)i,m∈R,若z1=z2,则m=________. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 5 解析 因为m∈R,z1=z2, 所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i. 由复数相等的充要条件得 解得m=5. 1.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi等于(  ) A.-2+iB.2+iC.1-2iD.1+2i 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 B 解析 由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件得x=2,y=1,故x+yi=2+i. 2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为(  ) A.-1B.2C.1D.-1或2 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 答案 D 解析 因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数, 所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2. 3.下列几个命题: ①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等; ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等; ③1-ai(a∈R)是一个复数; ④虚数的平方不小于0; ⑤-1的平方根只有一个,即为-i; ⑥i是方程x4-1=0的一个根; ⑦i是一个无理数. 其中真命题的个数为(  ) A.3B.4C.5D.6 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 B 解析 命题①②③⑥正确,④⑤⑦错误. 4.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是_________. 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 (-∞,-1)∪(3,+∞) 解析 由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0, 解得a>3或a<-1, 因此,实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}. 5.若log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)>1,则实数x的值是________. 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 答案 -2 解析 由题意知得x=-2. 1.对于复数z=a+bi(a,b∈R),可以限制a,b的值得到复数z的不同情况. 2.两个复数相等,要先确定两个复数的实、虚部,再利用两个复数相等的充要条件进行判断. 一、选择题 1.设a,b∈R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 B 解析 因为a,b∈R,当a=0时,复数a+bi不一定是纯虚数,也可能b=0,即a+bi=0∈R. 而当复数a+bi是纯虚数,则a=0一定成立. 所以a,b∈R,a=0是复数a+bi是纯虚数的必要不充分条件. 2.以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是(  ) A.2-2i B.-+i C.2+i D.+i 考点 复数的概念 题点 求复数的实部和虚部 答案 A 解析 设所求新复数z=a+bi(a,b∈R), 由题意知复数-+2i的虚部为2,复数i+2i2=i+2×(-1)=-2+i的实部为-2,则所求的z=2-2i.故选A. 3.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为(  ) A.B.2C.0D.1 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 D 解析 由复数相等的充要条件知, 解得 ∴x+y=0,∴2x+y=20=1. 4.下列命题中: ①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1; ②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集; ③若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3. 正确命题的个数是(  ) A.0B.1C.2D.3 考点 复数的概念 题点 复数的概念及分类 答案 A 解析 ①取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故①错;②③错,故选A. 5.若sin2θ-1+i(cosθ+1)是纯虚数,则θ的值为(  ) A.2kπ-(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z) C.2kπ±(k∈Z) D.π+(k∈Z) 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 答案 B 解析 由题意,得 解得k∈Z,∴θ=2kπ+,k∈Z. 6.若复数z=+i是纯虚数(i为虚数单位),则tan的值为(  ) A.7B.-C.-7D.-7或- 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 答案 C 解析 ∵复数z=+i是纯虚数, ∴cosθ-=0,sinθ-≠0, ∴sinθ=-,∴tanθ=-, 则tan===-7. 7.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于(  ) A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 B 解析 由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0, 即解得∴z=3-i,故选B. 二、填空题 8.设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=________. 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 答案 -2 解析 由得m=-2. 9.已知z1=(m2+m+1)+(m2+m-4)i,m∈R,z2=3-2i.则m=1是z1=z2的______________条件. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 答案 充分不必要 解析 当z1=z2时,必有m2+m+1=3,m2+m-4=-2,解得m=-2或m=1,显然m=1是z1=z2的充分不必要条件. 10.已知复数z=m2(1+i)-m(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为________. 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 答案 0或1 解析 z=m2+m2i-m2-mi=(m2-m)i, 所以m2-m=0,解得m=0或1. 11.复数z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i不是纯虚数,则实数a的取值范围是________________. 考点 复数的概念 题点 由复数的分类求未知数 答案 (-∞,-1)∪(-1,+∞) 解析 若复数z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i是纯虚数,则a2-2a-3=0,|a-2|-1≠0,解得a=-1,∴当a≠-1时,复数z=(a2-2a-3)+(|a-2|-1)i不是纯虚数. 12.已知log(m+n)-(m2-3m)i≥-1,且n∈N+,则m+n=________. 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 答案 1或2 解析 由题意得 由②,得m=0或m=3. 当m=0时,由log(m+n)≥-1,得0<n≤2, ∴n=1或n=2. 当m=3时,由log(m+n)≥-1,得0<n+3≤2, ∴-3<n≤-1,即n无自然数解. ∴或 故m+n的值为1或2. 三、解答题 13.当实数m为何值时,复数z=+(m2+2m-3)i分别是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数. 考点 复数的分类 题点 由复数的分类求未知数 解 (1)要使z是实数,m需满足解得m=-3. (2)要使z是虚数,m需满足解得m≠1且m≠-3. (3)要使z是纯虚数,m需满足解得m=0或m=-2. 四、探究与拓展 14.定义运算=ad-bc,如果(x+y)+(x+3)i=,求实数x,y的值. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 解 由定义运算=ad-bc, 得=3x+2y+yi, 故有(x+y)+(x+3)i=3x+2y+yi. 因为x,y为实数,所以 得解得 15.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},集合N={3i,(a2-1)+(b+2)i}满足(M∩N)⊆M,且M∩N≠∅,求整数a,b的值. 考点 复数相等 题点 由复数相等求参数 解 由题意,得(a+3)+(b2-1)i=3i,① 或8=(a2-1)+(b+2)i,② 或(a+3)+(b2-1)i

2018-2019学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1.1-1.2 数的概念的扩展 复数的有关概念(一)学案 北师大版选修1 -2.docx

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