标签: 2020版高中数学章末检测试卷三(含解析)新人教B版选修1-1  
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doc 章末检测试卷(三) (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.下列导数运算正确的是(  ) A.′=1+ B.(2x)′=x2x-1 C.(cosx)′=sinx D.(xlnx)′=lnx+1 答案 D 解析 根据导数的运算公式可得′=1-,故A错误;(2x)′=2xln2,故B错误; (cosx)′=-sinx,故C错误;(xlnx)′=lnx+1,故D正确. 2.f(x)=ax3+3x2+2,若f′(-1)=4,则a的值为(  ) A.B.C.D. 答案 D 解析 f′(x)=3ax2+6x,f′(-1)=3a-6=4,a=. 3.已知函数f(x)=x2+f′(2)(lnx-x),则f′(1)等于(  ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 ∵f′(x)=2x+f′(2),∴f′(2)=, ∴f′(x)=2x+,∴f′(1)=2. 4.若函数y=a(x3-x)的单调递增区间是,,则a的取值范围是(  ) A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 D.0<a<1 答案 A 解析 依题意得y′=a(3x2-1)>0的解集为,,∴a>0. 5.如图所示,y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+3是曲线y=f(x)在x=1处的切线,令h(x)=xf(x),h′(x)是h(x)的导函数,则h′(1)的值是(  ) A.2B.1C.-1D. 答案 B 解析 由题图可知曲线的切线经过点(1,2), 则k+3=2,得k=-1, 即f′(1)=-1,且f(1)=2. ∵h(x)=xf(x), ∴h′(x)=f(x)+xf′(x), 则h′(1)=f(1)+f′(1)=2-1=1, 故选B. 6.对于实数集R上的可导函数f(x),若满足(x2-3x+2)·f′(x)<0,则当x∈[1,2]时必有(  ) A.f(1)≤f(x)≤f(2) B.f(x)≤f(1) C.f(x)≥f(2) D.f(x)≤f(1)或f(x)≥f(2) 答案 A 解析 因为(x2-3x+2)f′(x)<0, 所以或 故当x∈[1,2]时,f(x)为增函数, 有f(1)≤f(x)≤f(2). 7.已知a,b为正实数,函数f(x)=ax3+bx+2x在[0,1]上的最大值为4,则f(x)在[-1,0]上的最小值为(  ) A.-B.C.-2D.2 答案 A 解析 ∵f′(x)=3ax2+b+2xln2>0, ∴f(x)在[0,1],[-1,0]上都为增函数, 当x∈[0,1]时,f(x)max=f(1)=a+b+2=4,∴a+b=2, 当x∈[-1,0]时,f(x)min=f(-1)=-(a+b)+2-1=-2+=-. 8.设f(x)=xlnx,若f′(x0)=2,则x0等于(  ) A.e2 B.ln2 C. D.e 答案 D 解析 ∵f′(x)=x′·lnx+x·(lnx)′=1+lnx, ∴f′(x0)=1+lnx0=2, ∴lnx0=1, ∴x0=e. 9.二次函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f′(x)的图象过第一、二、三象限的一条直线,则函数y=f(x)的图象的顶点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案 C 解析 因为y=f′(x)的图象过第一、二、三象限,故二次函数y=f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧,又因为其图象过原点,故顶点在第三象限. 10.设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,则不可能的是(  ) 考点 函数变化的快慢与导数的关系 题点 根据原函数图象确定导函数图象 答案 D 解析 根据原函数单调递增部分对应的导函数图象应在x轴上方,而原函数单调递减部分对应的导函数图象应在x轴下方,可知D不符合. 11.f(x)是定义在(0,+∞)上的非负可导函数,且满足xf′(x)+f(x)≤0,对任意的正数a,b,若a<b,则必有(  ) A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 答案 A 解析 设g(x)=xf(x),x∈(0,+∞), 则g′(x)=xf′(x)+f(x)≤0, ∴g(x)在区间(0,+∞)上单调递减或g(x)为常函数. ∵a<b,∴g(a)≥g(b),即af(a)≥bf(b).故选A. 12.若a>2,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上根的个数为(  ) A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 设f(x)=x3-ax2+1, 则f′(x)=x2-2ax=x(x-2a), 因为a>2,所以2a>4,所以当x∈(0,2)时,f′(x)<0,则f(x)在(0,2)上为减函数, 又f(0)f(2)=1×=-4a<0, 所以f(x)=0在(0,2)上恰好有1个根,故选B. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若曲线y=kx+lnx在点(1,k)处的切线平行于x轴,则k=________. 答案 -1 解析 求导得y′=k+,由题意知k+1=0, 所以k=-1. 14.已知函数f(x)=-x3+ax在区间(-1,1)上是增函数,则实数a的取值范围是________. 答案 {a|a≥3} 解析 由题意知f′(x)=-3x2+a≥0在区间(-1,1)上恒成立,则a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立,故a≥3. 15.若函数f(x)=x3+ax2-2x+5在区间上既不是单调递增函数,也不是单调递减函数,则实数a的取值范围是________. 答案  解析 因为f′(x)=3x2+2ax-2, 由题意知f′f′<0, 即<0, 解得<a<. 16.已知f(x)=(2x-x2)ex,给出以下四个结论: ①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}; ②f(-)是极小值,f()是极大值; ③f(x)没有最小值,也没有最大值; ④f(x)有最大值,没有最小值. 其中判断正确的是________. 答案 ①②④ 解析 f(x)>0⇔2x-x2>0⇔0<x<2,∴①正确. 由f(x)=(2x-x2)ex,得f′(x)=(2-x2)ex, 令f′(x)=0,得x1=-,x2=, ∵在(-∞,-)和(,+∞)上,f′(x)<0,f(x)单调递减;在(-,)上,f′(x)>0,f(x)单调递增, ∴f(-)是极小值,f()是极大值,故②正确. 由题意知,f()为最大值,且无最小值,故③错误,④正确. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)设<a<1,函数f(x)=x3-ax2+b(-1≤x≤1)的最大值为1,最小值为-,求常数a,b. 解 令f′(x)=3x2-3ax=0,-1≤x≤1, 得x1=0,x2=a. f(0)=b,f(a)=-+b,f(-1)=-1-a+b, f(1)=1-a+b. 因为<a<1,所以1-a<0,->-1-a, 故最大值为f(0)=b=1, 所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-a+b=-a, 所以-a=-,所以a=. 故a=,b=1. 18.(12分)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax. (1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值; (2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 解 (1)因为f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a. 由已知有f′(x1)=f′(x2)=0,从而x1x2==1, 所以a=9. (2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0, 所以不存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数. 19.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16. (1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程; (2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 解 (1)因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1, 所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为 k=f′(2)=13. 所以切线的方程为y=13(x-2)-6, 即13x-y-32=0. (2)因为切线与直线y=-+3垂直,所以切线的斜率为k=4. 设切点的坐标为(x0,y0), 则f′(x0)=3x+1=4,所以x0=±1, 所以或 即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18), 所以切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18, 即4x-y-18=0或4x-y-14=0. 20.(12分)已知命题p:f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数;命题q:f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值.若命题“p∨q”为真命题,求实数a的取值范围. 解 对于命题p,f′(x)=1-. ∵f(x)=x+在区间[1,+∞)上是增函数, 则f′(x)=1-≥0在[1,+∞)上恒成立, 即a≤x2在[1,+∞)上恒成立, ∴a≤(x2)min,∴a≤1. 命题p:A={a|a≤1}. 对于命题q,f′(x)=3x2+2ax+3. 要使得f(x)=x3+ax2+3x+1在R上有极值, 则f′(x)=3x2+2ax+3=0有两个不相等的实数解, Δ=4a2-4×3×3>0,解得a<-3或a>3. 命题q:B={a|a<-3,或a>3}. ∵命题“p∨q”为真命题, ∴A∪B={a|a≤1,或a>3}. ∴所求实数a的取值范围为(-∞,1]∪(3,+∞). 21.(12分)已知函数f(x)=ax2+2x-lnx. (1)当a=0时,求f(x)的极值; (2)若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围. 解 (1)函数的定义域为(0,+∞). 因为f(x)=ax2+2x-lnx, 当a=0时,f(x)=2x-lnx, 则f′(x)=2-,令f′(x)=0,得x=, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x f′(x) - 0 + f(x) ↘ 极小值 ↗ 所以当x=时,f(x)的极小值为1+ln2,无极大值. (2)由已知,得f(x)=ax2+2x-lnx,且x>0, 则f′(x)=ax+2-=. 若a=0,由(1)中f′(x)≥0,得x≥,显然不符合题意; 若a≠0,因为函数f(x)在区间上是增函数, 所以f′(x)≥0对x∈恒成立, 即不等式ax2+2x-1≥0对x∈恒成立, 即a≥=-=2-1对x∈恒成立,故a≥max. 而当x=时,函数2-1的最大值为3, 所以实数a的取值范围为[3,+∞). 22.(12分)已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3. (1)设a=1,求函数f(x)的单调区间; (2)若a>,且当x∈[1,4a]时,f(x)≥a3-12a恒成立,试确定a的取值范围. 解 (1)当a=1时,f(x)=x3-3x2-9x+1, 则f′(x)=3x2-6x-9, 由f′(x)=0,得x=-1或x=3. 当x<-1时,f′(x)>0;当-1<x<3时,f′(x)<0; 当x>3时,f′(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞), 单调递减区间为(-1,3). (2)因为f′(x)=3x2-6ax-9a2 =3(x+a)(x-3a),a>, 所以当1≤x<3a时,f′(x)<0; 当3a<x≤4a时,f′(x)>0. 所以当x∈[1,4a]时,f(x)的最小值为f(3a)=-26a3. 由f(x)≥a3-12a在[1,4a]上恒成立,得 -26a3≥a3-12a,解得-≤a≤. 又a>,所以<a≤.即a的取值范围为.

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