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doc 章末检测试卷(一) (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.命题“如果x2<1,则-1<x<1”的逆否命题是(  ) A.如果x2≥1,则x≥1或x≤-1 B.如果-1<x<1,则x2<1 C.如果x>1或x<-1,则x2>1 D.如果x≥1或x≤-1,则x2≥1 答案 D 2.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 若a=3,则A⊆B;若A⊆B,则a=3或2. 3.下列语句中,是命题的个数为(  ) ①|x+2|;②-5∈Z;③π∉R;④{0}∈N. A.1B.2C.3D.4 答案 C 解析 ②③④是命题. 4.f(x),g(x)是定义在R上的函数,h(x)=f(x)+g(x),则“f(x),g(x)均为偶函数”是“h(x)为偶函数”的(  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 若f(x),g(x)为偶函数,则f(-x)=f(x),g(-x)=g(x),故h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x).又∵f(x),g(x)的定义域是R,∴h(x)是偶函数.∴f(x),g(x)是偶函数⇒h(x)是偶函数.令f(x)=x,g(x)=x2-x,则h(x)=f(x)+g(x)=x2是偶函数.而f(x),g(x)不是偶函数,∴h(x)是偶函数⇏f(x),g(x)是偶函数. 5.“x>y>0”是下列哪一项的必要不充分条件(  ) A.lgx>lgy B.< C. D.> 答案 D 6.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则(  ) A.綈p:∀x∈A,2x∉B B.綈p:∀x∉A,2x∉B C.綈p:∃x∉A,2x∈B D.綈p:∃x∈A,2x∉B 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 答案 D 解析 命题p:∀x∈A,2x∈B是一个全称命题,其命题的否定綈p应为∃x∈A,2x∉B.故选D. 7.设集合A={x|-2-a<x<a,a>0},命题p:1∈A,命题q:2∈A.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,则a的取值范围是(  ) A.(0,1)∪(2,+∞) B.(0,1)∪[2,+∞) C.(1,2] D.[1,2] 答案 C 解析 若p为真命题,则-2-a<1<a,解得a>1. 若q为真命题,则-2-a<2<a,解得a>2. 由题意得,若p假则q真,若p真则q假,即 或∴1<a≤2. 8.设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的(  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 解析 ∵3a>3b>3,∴a>b>1,此时loga3<logb3正确;反之,若loga3<logb3,则不一定得到3a>3b>3,例如当a=,b=时,loga3<logb3成立,但推不出a>b>1.故“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件. 9.设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},若A={(x,y)|2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},则点P(2,3)∈A∩(∁UB)的充要条件是(  ) A.m>-1,n<5 B.m<-1,n<5 C.m>-1,n>5 D.m<-1,n>5 答案 A 解析 A∩(∁UB)满足 ∵P(2,3)∈A∩(∁UB),则 ∴ 10.已知命题p:“∀x∈[0,1],a≥ex”,命题q:“∃x∈R,x2+4x+a=0”,若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是(  ) A.[e,4]B.[4,+∞) C.(-∞,e) D.(e,4) 答案 A 解析 由命题“p∧q”是真命题,得命题p,q都是真命题.因为x∈[0,1],所以ex∈[1,e],所以a≥e;∃x∈R,x2+4x+a=0,即方程x2+4x+a=0有实数根,所以Δ=42-4a≥0,解得a≤4,取交集得a∈[e,4]. 11.已知函数f(x)=x2-2ax+b,则“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 函数f(x)图象的对称轴为直线x=a,若1<a<2,则0<a-1<1,1<3-a<2,即横坐标为3的点到对称轴的距离大于横坐标为1的点到对称轴的距离,则f(1)<f(3).若a=0,则函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,满足f(1)<f(3),但1<a<2不成立.所以“1<a<2”是“f(1)<f(3)”的充分不必要条件. 12.已知命题p:∃x∈R,使sinx=;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论: ①命题p是真命题; ②命题q是假命题; ③命题“(綈p)∧q”是真命题; ④命题“p∨(綈q)”是假命题. 其中正确的是(  ) A.②④B.②③C.③④D.①②③ 答案 C 解析 对于命题p,因为函数y=sinx的值域为[-1,1],所以命题p为假命题;对于命题q,因为函数y=x2+x+1的图象开口向上,最小值在x=-处取得,且f =>0,所以命题q是真命题. 由命题p为假命题和命题q是真命题,可得 命题“(綈p)∧q”是真命题;命题“p∨(綈q)”是假命题. 故③④正确. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.设p:x>2或x<;q:x>2或x<-1,则綈p是綈q的________条件. 答案 充分不必要 解析 ∵綈p:≤x≤2,綈q:-1≤x≤2, ∴綈p⇒綈q,但綈q⇏綈p. ∴綈p是綈q的充分不必要条件. 14.已知命题p:(x-3)(x+1)>0,命题q:x2-2x+1-m2>0(m>0),若命题p是命题q的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________. 答案 (0,2) 解析 p:(x-3)(x+1)>0⇔x<-1或x>3,q:x2-2x+1-m2>0⇒x<-m+1或x>m+1,它们的取值范围分别用集合A,B表示,由题意知AB, ∴其中等号不能同时成立, ∴m<2,又m>0,∴0<m<2. 15.已知命题p:m∈R,且m+1≤0,命题q:∀x∈R,x2+mx+1>0恒成立,若p∧q为假命题,则m的取值范围是________________. 答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞) 解析 若命题p是真命题,则m≤-1;若命题q是真命题,则m2-4<0,解得-2<m<2,所以p∧q是真命题时,需满足即-2<m≤-1,所以p∧q为假命题时,m的取值范围为m≤-2或m>-1. 16.给出下列四个说法: ①一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真; ②命题“设a,b∈R,若a+b≠6,则a≠3或b≠3”是一个假命题; ③“x>2”是“<”的充分不必要条件; ④一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真. 其中说法不正确的序号是________. 答案 ①② 解析 逆命题与逆否命题之间不存在必然的真假关系,故①中说法不正确;原命题的逆否命题为“设a,b∈R,若a=3且b=3,则a+b=6”,为真命题,所以原命题也是真命题,故②中说法不正确;若<,则-=<0,解得x<0或x>2,所以“x>2”是“<”的充分不必要条件,故③中说法正确;一个命题的否命题和逆命题互为逆否命题,真假性相同,故④中说法正确. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)判断下列命题的真假,并写出它们的否定. (1)∀α,β∈R,sin(α+β)≠sinα+sinβ; (2)∃x,y∈Z,3x-4y=20; (3)在实数范围内,有些一元二次方程无解. 解 (1)假命题,否定为∃α,β∈R,sin(α+β)=sinα+sinβ; (2)真命题,否定为∀x,y∈Z,3x-4y≠20; (3)真命题,否定为在实数范围内,所有的一元二次方程都有解. 18.(12分)已知命题p:关于x的不等式x2+2ax+4>0对任意的x∈R恒成立,命题q:函数f(x)=(3-2a)x是增函数.若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求实数a的取值范围. 考点 “或”“且”“非”的综合问题 题点 由复合命题的真假求参数的范围 解 若命题p为真,则Δ=4a2-16<0,解得-2<a<2; 若命题q为真,则3-2a>1,解得a<1. 若“p或q”为真命题,“p且q”为假命题, 则p真q假或p假q真, 可得或 解得1≤a<2或a≤-2, ∴a的取值范围是(-∞,-2]∪[1,2). 19.(12分)已知命题p:实数x满足x2-2x-8≤0;命题q:实数x满足|x-2|≤m(m>0). (1)当m=3时,若“p∧q”为真命题,求实数x的取值范围; (2)若“綈p”是“綈q”的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 考点 必要条件的概念及判断 题点 由必要条件求参数的取值范围 解 (1)若p为真命题,则-2≤x≤4; 当m=3时,若q为真命题,则-1≤x≤5. ∵“p∧q”为真命题, ∴x的取值范围为[-1,4]. (2)∵“綈p”是“綈q”的必要不充分条件, ∴p是q的充分不必要条件. ∵p:-2≤x≤4,q:2-m≤x≤2+m, ∴且等号不同时取得, ∴m的取值范围为[4,+∞). 20.(12分)已知函数f(x)=4sin2-2cos2x-1,且给定条件p:≤x≤. (1)求f(x)的最大值及最小值; (2)若给定条件q:|f(x)-m|<2,且p是q的充分条件,求实数m的取值范围. 解 (1)f(x)=2-2cos2x-1 =2sin2x-2cos2x+1 =4sin+1. ∵≤x≤,∴≤2x-≤. ∴3≤4sin+1≤5. ∴f(x)max=5,f(x)min=3. (2)∵|f(x)-m|<2, ∴m-2<f(x)<m+2. 又∵p是q的充分条件, ∴解得3<m<5. 21.(12分)已知两个命题:r(x):sinx+cosx>m,s(x):x2+mx+1>0,如果对∀x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个为真命题,求实数m的取值范围. 考点 复合命题真假性的判断 题点 由复合命题的真假求参数的取值范围 解 ∵对∀x∈R,sinx+cosx=sin≥-, ∴当r(x)是真命题时,m<-. 又∵对∀x∈R,s(x)是真命题,即x2+mx+1>0恒成立, 有Δ=m2-4<0,∴-2<m<2. ∴当r(x)为真命题,s(x)为假命题时,m<-,同时m≤-2或m≥2,即m≤-2; 当r(x)为假命题,s(x)为真命题时,m≥-且-2<m<2,即-≤m<2. 综上,m的取值范围是{m|m≤-2或-≤m<2}. 22.(12分)已知命题p:x1和x2是方程x2-2mx-3=0的两个实根,当m∈[-1,1]时,不等式a2-5a-2≥|x1-x2|恒成立;命题q:不等式ax2+2x-1>0有解.若p∧q是假命题,綈p也是假命题,求实数a的取值范围. 解 ∵p∧q是假命题,綈p也是假命题, ∴p是真命题,q是假命题. 命题p:∵x1,x2是方程x2-2mx-3=0的两个实根, ∴ ∴|x1-x2|==, 当m∈[-1,1]时,|x1-x2|∈[2,4]. ∵不等式a2-5a-2≥|x1-x2|对于∀m∈[-1,1]恒成立, ∴a2-5a-2≥|x1-x2|max=4. ∴a≥6或a≤-1. ∴当命题p为真命题时,a≥6或a≤-1, 命题q:不等式ax2+2x-1>0有解, ①当a>0时,Δ=4+4a>0,不等式有解; ②当a=0时,2x-1>0有解; ③当a<0时,令Δ=4+4a>0,得-1<a<0. ∴当命题q为真命题时,a>-1. 又命题q是假命题,∴a≤-1. 由得a≤-1. ∴实数a的取值范围为(-∞,-1]

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