标签: 2020版高中数学章末检测试卷(二)(含解析)北师大版选修1-1  
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doc 章末检测试卷(二) (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是(  ) A.1B.2C.4D.8 答案 C 解析 抛物线的焦点到准线的距离为p=4. 2.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则k应满足的条件是(  ) A.k>3 B.2<k<3 C.k=2 D.0<k<2 考点 椭圆与双曲线的综合应用 题点 椭圆与双曲线的综合应用 答案 C 解析 由9-k2=k+3,即k2+k-6=0,解得k=2或-3. 又由题意知k2<9且k>0,所以0<k<3,所以k=2. 3.已知双曲线的离心率为2,焦点是(-4,0),(4,0),则双曲线的方程为(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 考点 双曲线性质的应用 题点 求双曲线的标准方程 答案 A 解析 依题意得c=4,e===2,a=2,b2=c2-a2=12, 因此所求的双曲线的标准方程为-=1,故选A. 4.若双曲线的顶点为椭圆x2+=1长轴的端点,且双曲线的离心率与该椭圆的离心率的积为1,则双曲线的方程为(  ) A.x2-y2=1 B.y2-x2=1 C.x2-y2=2 D.y2-x2=2 考点 椭圆与双曲线的综合应用 题点 椭圆与双曲线的综合应用 答案 D 解析 椭圆x2+=1的离心率为,则双曲线的离心率为,且双曲线的顶点为(0,±),故选D. 5.已知双曲线-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是(  ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案 D 解析 ∵y2=8x焦点是(2,0), ∴双曲线-y2=1的半焦距c=2,又虚半轴长b=1且a>0,所以a==, ∴双曲线的渐近线方程是y=±x. 6.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为(  ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的渐近线方程 答案 A 解析 ∵2b=2,2c=2,∴b=1,c=, 则a==,∴=. 故双曲线的渐近线方程为y=±x. 7.设圆锥曲线C的两个焦点分别为F1,F2,若曲线C上存在点P满足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|=4∶3∶2,则曲线C的离心率等于(  ) A.或 B.或2 C.或2 D.或 考点 圆锥曲线的综合问题 题点 圆锥曲线的综合问题 答案 A 解析 设|PF1|=4k,|F1F2|=3k,|PF2|=2k(k>0). 若曲线C为椭圆,则2a=6k,2c=3k,∴e===; 若曲线C为双曲线,则2a=2k,2c=3k, ∴e===. 8.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为(  ) A.B.2C.4D.8 考点 双曲线与抛物线的综合应用 题点 双曲线与抛物线的综合应用 答案 C 解析 设双曲线的方程为-=1(a>0), 抛物线的准线为x=-4,且|AB|=4, 故可得A(-4,2),B(-4,-2), 将点A的坐标代入双曲线方程,得a2=4, 故a=2,故实轴长为4. 9.已知椭圆+=1(0<b<3)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|的最大值为8,则b的值为(  ) A.2B.C.D. 考点 椭圆的定义 题点 椭圆的焦点三角形 答案 D 解析 由椭圆的方程+=1(0<b<3),可得a=3. ∵|AF1|+|AF2|=2a=6,|BF1|+|BF2|=2a=6, ∴△AF2B的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=12. 若|AB|最小,则|BF2|+|AF2|最大. 又当AB与x轴垂直时,|AB|最小, 此时|AB|==,∴12-=8,解得b=,故选D. 10.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛物线的焦点处,已知灯口的直径为60cm,灯深40cm,则抛物线的标准方程可能是(  ) A.y2=x B.y2=x C.x2=-y D.x2=-y 考点 抛物线的标准方程 题点 求抛物线方程 答案 C 解析 如果设抛物线的方程为y2=2px(p>0),则抛物线过点(40,30),从而有302=2p×40,即2p=, 所以所求抛物线方程为y2=x. 虽然选项中没有y2=x,但C中的2p=符合题意. 11.设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(  ) A.B.C.D. 考点 椭圆的性质的应用 题点 求椭圆离心率的值 答案 C 解析 ∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形, ∴|PF2|=|F1F2|,∵P为直线x=上一点, ∴=cos60°,∴e==,故选C. 12.如图,直线y=x-2与圆x2+y2-4x+3=0及抛物线y2=8x依次交于A,B,C,D四点,则|AB|+|CD|等于(  ) A.13 B.14 C.15 D.16 考点 抛物线的焦点弦问题 题点 焦点弦长与中点坐标 答案 B 解析 由x2+y2-4x+3=0,得(x-2)2+y2=1, ∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),且直线y=x-2过(2,0)点, ∴|AB|+|CD|=|AD|-2, 联立直线y=x-2与y2=8x,可得x2-12x+4=0, 设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=12, 则有|AD|=x1+x2+4=16, 故|AB|+|CD|=16-2=14,故选B. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍,则其渐近线方程为________. 考点 双曲线的简单性质 题点 求双曲线的渐近线方程 答案 y=±x 解析 双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c.右焦点到渐近线y=±x的距离为d==b,所以有a+c=2b,又由a2+b2=c2,解得3b=4a,所以=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x. 14.若椭圆+=1过抛物线y2=8x的焦点,且与双曲线x2-y2=1有相同的焦点,则该椭圆的方程为________________. 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 +=1 解析 抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0), 双曲线x2-y2=1的焦点坐标为(±,0) 由题意得∴a2=4,b2=2, ∴椭圆的方程为+=1. 15.直线x-2y+3=0与椭圆+=1(a>b>0)相交于A,B两点,且P(-1,1)恰好为AB中点,则椭圆的离心率为________. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交时弦中点问题 答案  解析 由消去x, 得(4b2+a2)y2-12b2y+9b2-a2b2=0, Δ=144b4-4(a2+4b2)(9b2-a2b2)>0,即a2+4b2>9. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=, ∵线段AB的中点为(-1,1), ∴=2,得a2=2b2. 又a2=b2+c2,∴a2=2c2,∴e==. 16.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y+y的最小值是________. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 最值问题 答案 32 解析 若k不存在,则y+y=32.若k存在,设直线AB的斜率为k,当k=0时,直线AB的方程为y=0,不合题意,故k≠0. 由题意设直线AB的方程为y=k(x-4)(k≠0). 由得ky2-4y-16k=0, ∴y1+y2=,y1y2=-16. ∴y+y=(y1+y2)2-2y1y2=2+32>32. ∴y+y的最小值为32. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)已知一个椭圆中心在原点,焦点在同一坐标轴上,焦距为2.一双曲线和这个椭圆有公共焦点,且双曲线的实半轴长比椭圆的长半轴长小4,双曲线离心率与椭圆离心率之比为7∶3,求椭圆和双曲线的标准方程. 考点 椭圆与双曲线的综合应用 题点 椭圆与双曲线的综合应用 解 ①若焦点在x轴上, 设椭圆方程为+=1(a>b>0),c=. 设双曲线方程为-=1,m=a-4. ∵=,∴可得a=7,m=3.∴b2=36,n2=4. ∴椭圆的标准方程为+=1, 双曲线的标准方程为-=1. ②若焦点在y轴上,同理可得椭圆的标准方程为+=1,双曲线的标准方程为-=1. 18.(12分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,-). (1)求双曲线方程; (2)若点M(3,m)在此双曲线上,求·. 解 (1)∵双曲线的一条渐近线方程为y=x, ∴设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0). 把(4,-)代入双曲线方程得42-(-)2=λ, ∴λ=6,∴所求双曲线方程为x2-y2=6. (2)由(1)知双曲线方程为x2-y2=6, ∴双曲线的焦点为F1(-2,0),F2(2,0). ∵点M在双曲线上,∴32-m2=6,∴m2=3. ∴·=(-2-3,-m)·(2-3,-m) =(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0. 19.(12分)已知双曲线C1:x2-=1. (1)求与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,)的双曲线C2的标准方程; (2)直线l:y=x+m分别与双曲线C1的两条渐近线相交于A,B两点.当·=3时,求实数m的值. 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线位置关系的综合应用 解 (1)∵双曲线C1:x2-=1, ∴焦点坐标为(,0),(-,0). 设双曲线C2的标准方程为-=1(a>0,b>0), ∵双曲线C2与双曲线C1有相同焦点,且过点P(4,), ∴解得 ∴双曲线C2的标准方程为-y2=1. (2)双曲线C1的两条渐近线方程为y=2x,y=-2x. 由可得x=m,y=2m,∴A(m,2m). 由可得x=-m,y=m, ∴B. ∴·=-m2+m2=m2. ∵·=3,∴m2=3,∴m=±. 20.(12分)已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1,F2为椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求: (1)椭圆的方程; (2)△PF1F2的面积. 考点 椭圆的简单性质 题点 求椭圆的标准方程 解 (1)令F1(-c,0),F2(c,0), 则b2=a2-c2.因为PF1⊥PF2, 所以·=-1,即·=-1, 解得c=5,所以设椭圆方程为+=1. 因为点P(3,4)在椭圆上,所以+=1. 解得a2=45或a2=5. 又因为a>c,所以a2=5舍去. 故所求椭圆的方程为+=1. (2)由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=6,① 又|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=100,② ①2-②,得2|PF1|·|PF2|=80, 所以=|PF1|·|PF2|=20. 21.(12分)已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0). (1)若点F到直线l的距离为,求直线l的斜率; (2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值. 考点 直线与抛物线的位置关系 题点 直线与抛物线相交时的其他问题 (1)解 由已知,x=4不合题意.设直线l的方程为 y=k(x-4), 由已知,抛物线C的焦点坐标为(1,0), 因为点F到直线l的距离为, 所以=, 解得k=±,所以直线l的斜率为±. (2)证明 设线段AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2), 因为AB不垂直于x轴, 则直线MN的斜率为,直线AB的斜率为, 直线AB的方程为y-y0=(x-x0), 联立方程消去x,得 y2-y0y+y+x0(x0-4)=0, 所以y1+y2=, 因为N为AB的中点, 所以=y0,即=y0, 所以x0=2,即线段AB中点的横坐标为定值2. 22.(12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长半轴长和短轴长相等,且过(0,1)点,圆C1:x2+y2=5. (1)求椭圆C的标准方程; (2)若直线m:y=kx+n(k≠0)与椭圆C有且只有一个公共点Q;且m与圆C1相交于A,B两点,问Q能成为线段AB的中点吗?请说明理由. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 中点弦问题 解 (1)∵椭圆C:+=1过点(0,1), ∴b=1,又∵a=2b,∴a=2, ∴椭圆C的方程为+y2=1. (2)∵直线m与椭圆C只有一个公共点Q, ∴方程组有且只有一组解, 即(1+4k2)x2+8knx+4n2-4=0, 从而Δ=64k2n2-4(1+4k2)(4n2-4)=0, 化简得n2=1+4k2,设Q(xQ,yQ), 则xQ=-=-=-, yQ=kxQ+n=, ∴点Q的坐标为, 由于k≠0,n≠0,∴kOQ×k=-×k=-≠-1, ∴OQ与AB不垂直,∴点Q不是线段AB的中点.

2020版高中数学 章末检测试卷(二)(含解析)北师大版选修1 -1.docx

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