标签: 2020版高中数学章末检测试卷(二)(含解析)新人教B版选修2-1  
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doc 章末检测试卷(二) (时间:120分钟 满分:150分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知双曲线-y2=1(a>0)的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合,则此双曲线的渐近线方程是(  ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案 D 解析 ∵y2=8x的焦点坐标是(2,0), ∴双曲线-y2=1的半焦距c=2,又虚半轴长b=1且a>0,∴a==, ∴双曲线的渐近线方程是y=±x. 2.设P是椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,若|PF1|=4,则|PF2|等于(  ) A.22B.21C.20D.13 答案 A 解析 由椭圆的定义知,|PF1|+|PF2|=26, 又∵|PF1|=4,∴|PF2|=26-4=22. 3.已知双曲线x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(  ) A.B.C.D.(,0) 答案 C 解析 将双曲线方程化为标准方程为x2-=1, ∴a2=1,b2=,∴c2=a2+b2=, ∴c=,故右焦点坐标为. 4.设F1和F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是等边三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为(  ) A.B.2C.D.3 答案 B 解析 由tan==,有3c2=4b2=4(c2-a2), 则e==2,故选B. 5.若双曲线-=1的渐近线与圆(x-4)2+y2=r2(r>0)相切,则r的值为(  ) A.4B.3C.2D. 答案 D 解析 因为双曲线的渐近线为y=±x, 即x±y=0, 已知圆的圆心为(4,0),利用直线与圆相切, 得到d===r,故选D. 6.若抛物线x2=2py的焦点与椭圆+=1的下焦点重合,则p的值为(  ) A.4B.2C.-4D.-2 答案 D 解析 椭圆+=1的下焦点为(0,-1),即为抛物线x2=2py的焦点,∴=-1,∴p=-2. 7.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率e=2,且它的一个顶点到较近的焦点的距离为1,则该双曲线的方程为(  ) A.x2-y2=1 B.x2-=1 C.x2-=1 D.-y2=1 答案 B 解析 由题意,知=2,c-a=1,∴c=2,a=1,∴b2=c2-a2=3,∴所求双曲线的方程为x2-=1. 8.过双曲线x2-=1的右焦点F作直线l交双曲线于A,B两点,若|AB|=4,则这样的直线l有(  ) A.1条B.2条C.3条D.4条 答案 C 解析 当直线l交双曲线于左右两支时,因为2a=2,而|AB|=4,故可有2条,若直线l交双曲线于同支,当直线l垂直于x轴时,|AB|=4,故只有1条,所以满足条件的直线有3条. 9.已知双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,则此双曲线的离心率是(  ) A.B.C.D. 答案 D 解析 ∵双曲线-=1的渐近线方程为y=±x, 则=,即=,∴a=3,半焦距c==, ∴e==,故选D. 10.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(  ) A.B.C.D. 答案 D 解析 由题意可得解得=, ∴e==. 11.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(  ) A.2B.3C.6D.8 答案 C 解析 由椭圆方程得F(-1,0),设P(x0,y0), 则·=(x0,y0)·(x0+1,y0)=x+x0+y. ∵P为椭圆上一点,∴+=1. ∴·=x+x0+3 =+x0+3=(x0+2)2+2. ∵-2≤x0≤2, ∴·的最大值在x0=2时取得,且最大值等于6. 12.已知拋物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线-y2=1(a>0)的左顶点为A,若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a等于(  ) A.B.C.D. 答案 A 解析 拋物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-,由拋物线的定义可得5=1+,得p=8,即y2=16x,M(1,4).双曲线-y2=1的左顶点为A(-,0),渐近线方程为y=±x,直线AM的斜率为.由双曲线的一条渐近线与直线AM平行,可得=,解得a=,故选A. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,|AF|=2,则|BF|=________. 答案 2 解析 设点A,B的横坐标分别是x1,x2,则依题意有焦点F(1,0),|AF|=x1+1=2,∴x1=1,直线AF的方程是x=1,故|BF|=|AF|=2. 14.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为________________. 答案 3x2-y2=1 解析 由题意可得e==2,则c=2a,设其一焦点为F(c,0),渐近线方程为bx±ay=0, 那么d===b=1,而c2=4a2=a2+b2, 解得a2=, 则所求的双曲线方程为3x2-y2=1. 15.已知直线l:x-y-m=0经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,l与C交于A,B两点.若|AB|=6,则p的值为________. 答案  解析 因为直线l过抛物线的焦点,所以m=, 由得x2-3px+=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3p, 故|AB|=x1+x2+p=4p=6, ∴p=. 16.若等轴双曲线C的左顶点A、右顶点B分别为椭圆+y2=1(a>0)的左、右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为k1,k2,则k1k2=________. 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的综合问题 答案 1 解析 依题意,椭圆+y2=1(a>0)的左、右焦点分别为A(-a,0),B(a,0), 所以以A,B分别为左、右顶点的等轴双曲线C的方程为x2-y2=a2. 设双曲线上异于A,B的点P的坐标为(x,y), 则直线PA,PB的斜率分别为k1=,k2=, 所以k1k2=×==1. 三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)已知椭圆的中心在原点,且经过点P(3,0),离心率e=,求椭圆的标准方程. 解 (1)当焦点在x轴上时,设其方程为+=1(a>b>0). ∵离心率e=,∴=. 又∵a2=b2+c2,∴a=3b. 又∵椭圆经过点P(3,0), ∴+=1,∴a2=9,b2=1. ∴椭圆的标准方程为+y2=1. (2)当焦点在y轴上时, 设其方程为+=1(a>b>0). 同理可得a=3b. 又∵椭圆经过点P(3,0),∴+=1, ∴b2=9,∴b=3,a=9. ∴椭圆的标准方程为+=1. 综上,椭圆的标准方程为+y2=1或+=1. 18.(12分)已知直线y=x-4被抛物线y2=2mx(m≠0)截得的弦长为6,求抛物线的标准方程. 解 设直线与抛物线的交点为(x1,y1),(x2,y2). 由得x2-2(4+m)x+16=0, 所以x1+x2=2(4+m),x1x2=16, 所以弦长为 ==2. 由2=6,解得m=1或m=-9. 经检验,m=1或m=-9均符合题意. 所以所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2=-18x. 19.(12分)已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且线段AB恰好被点P(2,2)平分. (1)求直线l的方程; (2)抛物线上是否存在点C和D,使得C,D关于直线l对称?若存在,求出直线CD的方程;若不存在,请说明理由. 考点 直线与圆锥曲线的位置关系问题 题点 直线与圆锥曲线的综合问题 解 (1)由题意可得直线AB的斜率存在,且不为0. 设直线AB:x-2=m(y-2), 代入抛物线方程可得y2-8my+16m-16=0. 判别式Δ=(-8m)2-4(16m-16)>0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有y1+y2=8m, 由8m=4,得m=,代入判别式大于0成立. 所以直线l的方程为2x-y-2=0. (2)假设C,D两点存在, 则可设lCD:y=-x+n,与抛物线y2=8x联立, 消去y得x2-(n+8)x+n2=0, 其中Δ=(n+8)2-n2=16n+64>0, 则n>-4.(*) 又xC+xD=4(n+8), 所以CD的中点为(2(n+8),-8),代入直线l的方程, 得n=-,不满足(*)式. 所以满足题意的C,D两点不存在. 20.(12分)已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(-,0),(,0),离心率是,直线y=t与椭圆C交于不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P. (1)求椭圆C的方程; (2)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标. 解 (1)因为=,且c=, 所以a=,b==1, 所以椭圆C的方程为+y2=1. (2)由题意知P(0,t)(-1<t<1). 由得x=±, 所以圆P的半径为. 当圆P与x轴相切时,|t|=,解得t=±, 所以点P的坐标是. 21.(12分)从椭圆+=1(a>b>0)上一点M向x轴作垂线,恰好通过椭圆的左焦点F1,且它的长轴的一个端点A,短轴的一个端点B的连线AB平行于OM. (1)求椭圆的离心率; (2)设Q是椭圆上任一点,F2是椭圆的右焦点,求∠F1QF2的取值范围. 解 (1)依题意知点F1的坐标为(-c,0), 设M点坐标为(-c,y). 若A点坐标为(-a,0),则B点坐标为(0,-b), 则直线AB的斜率k=. 则有=,∴y=.① 又∵点M在椭圆+=1上,∴+=1.② 由①②得=,∴=, 即椭圆的离心率为. (2)①当点Q与椭圆长轴的端点重合时,∠F1QF2=0. ②当点Q与椭圆长轴的端点不重合时, 设|QF1|=m,|QF2|=n,∠F1QF2=θ, 则m+n=2a,|F1F2|=2c. 在△F1QF2中,cosθ= ==-1≥-1=0. 当且仅当m=n时,等号成立, ∴0≤cosθ≤1,又∵θ∈(0,π),∴θ∈. 综上,∠F1QF2的取值范围是. 22.(12分)已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线上. (1)求椭圆C的标准方程; (2)如图,点P(2,),Q(2,-)在椭圆上,A,B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点,当A,B运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB的斜率是否为定值,请说明理由. 解 (1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0), ∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2=8y的准线y=-2上,∴b=2, 又=,a2=b2+c2, ∴a=4,c=2, ∴椭圆C的标准方程为+=1. (2)斜率为定值.理由如下: 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∵∠APQ=∠BPQ,∴直线PA,PB的斜率互为相反数, 可设直线PA的斜率为k,则直线PB的斜率为-k, 直线PA的方程为y-=k(x-2), 联立 消去y,得(1+4k2)x2+8k(-2k)x+4(-2k)2-16=0, ∴x1+2=, 同理可得x2+2==, ∴x1+x2=,x1-x2=, ∴kAB===, 即直线AB的斜率为定值.

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