标签: 2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2量词学案(含解析)新人教B版选修2-1  
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doc 1.1.2 量 词 学习目标 1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和存在性命题的概念.3.能判定全称命题和存在性命题的真假并掌握其判断方法. 知识点一 全称量词、全称命题 1.概念 短语“所有的”“任意一个”在陈述中表示所述事物的全体,在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题. 2.表示 将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示,变量x的取值范围用M表示.那么,全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”. 3.全称命题的真假判定 要判定全称命题是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立,但要判定全称命题是假命题,只需举出一个x∈M,使得p(x)不成立即可. 知识点二 存在量词、存在性命题 1.概念 短语“存在一个”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题,叫做存在性命题. 2.表示 存在性命题“存在M中的元素x,使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x),读作“存在M中的元素x,使p(x)成立”. 3.存在性命题的真假判定 要判定一个存在性命题是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可,否则这一存在性命题就是假命题. 1.“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( × ) 2.全称命题一定含有全称量词,存在性命题一定含有存在量词.( × ) 3.存在性命题中的量词一定不能省略.( √ ) 4.全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.( √ ) 题型一 全称命题与存在性命题的辨析 例1 判断下列命题是全称命题还是存在性命题. (1)梯形的对角线相等; (2)存在一个四边形有外接圆; (3)二次函数都存在零点; (4)过两条平行线有且只有一个平面. 考点 全称命题与存在性命题的综合问题 题点 全称命题与存在性命题的辨析 解 命题(1)完整的表述应为“任意一个梯形的对角线相等”,很显然为全称命题. 命题(2)为存在性命题. 命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”,故为全称命题. 命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写,故为全称命题. 反思感悟 判断一个命题是全称命题还是存在性命题的关键是看量词.由于某些全称命题的量词可能省略,所以要根据命题表达的意义判断,同时要会用相应的量词符号正确表达命题. 跟踪训练1 下列命题中,是全称命题的是________,是存在性命题的是________.(填序号) ①正方形的四条边相等; ②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于0; ④至少有一个正整数是偶数. 考点 全称命题与存在性命题的综合问题 题点 全称命题与存在性命题的辨析 答案 ①②③ ④ 题型二 全称命题与存在性命题的真假判断 例2 判断下列命题的真假: (1)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P; (2)存在一个函数,既是偶函数又是奇函数; (3)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (4)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立; (5)∀x∈R,x2-3x+2=0; (6)∃x∈R,x2-3x+2=0. 解 (1)真命题. (2)真命题,如函数f(x)=0,既是偶函数又是奇函数. (3)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为,就不能用正有理数表示. (4)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解. (5)假命题,只有当x=2或x=1时,等式x2-3x+2=0才成立. (6)真命题,x=2或x=1,都能使等式x2-3x+2=0成立. 反思感悟 要判断全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)都成立;如果在集合M中找到一个元素x,使得p(x)不成立,那么这个全称命题就是假命题. 要判断存在性命题“∃x∈M,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x,使p(x)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在性命题就是假命题. 跟踪训练2 判断下列命题的真假: (1)有一些奇函数的图象过原点; (2)∃x∈R,2x2+x+1<0. 解 (1)该命题中含有“有一些”,是存在性命题.如y=x是奇函数,其图象过原点,故该命题是真命题. (2)该命题是存在性命题. ∵2x2+x+1=22+≥>0, ∴不存在x∈R,使2x2+x+1<0. 故该命题是假命题. 题型三 由含量词的命题求参数 例3 对于任意实数x,不等式sinx+cosx>m恒成立.求实数m的取值范围. 解 令y=sinx+cosx,x∈R, ∵y=sinx+cosx=sin≥-, 又∵∀x∈R,sinx+cosx>m恒成立, ∴只要m<-即可. ∴所求m的取值范围是(-∞,-). 引申探究 若将本例条件改为:存在实数x,不等式sinx+cosx>m有解,求实数m的取值范围. 解 令y=sin x+cos x,x∈R, ∵y=sin x+cos x=sin∈[-,]. 又∵∃x∈R,sin x+cos x>m有解, ∴只要m<即可, ∴所求m的取值范围是(-∞,). 反思感悟 (1)含参数的全称命题为真时,常转化为不等式的恒成立问题来处理,最终通过构造函数转化为求函数的最值问题. (2)含参数的存在性命题为真时,常转化为方程或不等式有解问题来处理,最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决. 跟踪训练3 (1)已知关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,求实数a的取值范围; (2)若命题p:=sinx-cosx是真命题,求实数x的取值范围. 解 (1)关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集非空,∴Δ=(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即4a-7≥0, 解得a≥,∴实数a的取值范围为. (2)由=sinx-cosx, 得=sinx-cosx, ∴=sinx-cosx, 即|sinx-cosx|=sinx-cosx, ∴sinx≥cosx. 结合三角函数图象,得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), ∴实数x的取值范围是(k∈Z). 全称命题与存在性命题的应用 典例 f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),∀x1∈[-1,2],∃x∈[-1,2],使f(x1)=g(x),则a的取值范围是(  ) A. B. C.[3,+∞) D.(0,3) 答案 C 解析 由于函数f(x)在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在x∈[-1,2],使得f(x1)=g(x), 因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集. 函数f(x)的值域是[-1,3],函数g(x)的值域是[2-a,2+2a], 则有即a≥3. [素养评析] (1)本例通过对抽象的数学符号任意与存在的理解,可转化为两函数值域之间的关系. (2)将抽象的数学符号语言具体化,是解决数学问题的基本思路,有利于提升学生的数学抽象素养. 1.下列命题中,不是全称命题的是(  ) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.自然数都是正整数 C.每一个向量都有大小 D.一定存在没有最大值的二次函数 答案 D 解析 D选项是存在性命题. 2.命题p:∃x∈N,x3<x2;命题q:∀a∈(0,1)∪(1,+∞),函数f(x)=loga(x-1)的图象过点(2,0),则(  ) A.p假q真 B.p真q假 C.p假q假 D.p真q真 答案 A 解析 ∵x3<x2,∴x2(x-1)<0,∴x<0或0<x<1,故命题p为假命题,易知命题q为真命题,故选A. 3.下列全称命题中真命题的个数为(  ) ①负数没有对数; ②对任意的实数a,b,都有a2+b2≥2ab; ③二次函数f(x)=x2-ax-1与x轴恒有交点; ④∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0. A.1B.2C.3D.4 答案 C 解析 ①②③为真命题,当x=y=0时,x2+|y|=0,④为假命题. 4.给出下列四个命题: ①a⊥b⇔a·b=0;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1. 其中全称命题是________.(填序号) 答案 ①②④ 解析 ①②省略了量词“所有的”,④含有量词“任意”. 5.若命题“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,则实数m的取值范围是________. 答案 [2,6] 解析 由已知“∀x∈R,x2+mx+2m-3≥0”为真命题,得Δ=m2-4×1×(2m-3)=m2-8m+12≤0,解得2≤m≤6,即实数m的取值范围是[2,6]. 1.判断全称命题的关键:一是先判断是不是命题;二是看是否含有全称量词. 2.判定全称命题的真假的方法:定义法:对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真;代入法:在给定的集合内找出一个x,使p(x)为假,则全称命题为假. 3.判定存在性命题真假的方法:代入法,在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真,否则命题为假. 一、选择题 1.下列命题中为真命题的是(  ) A.∃x∈R,x2+1<0 B.∃x∈Z,3x+1是整数 C.∀x∈R,|x|>3 D.∀x∈Q,x2∈Z 答案 B 2.下列存在性命题是假命题的是(  ) A.存在x∈Q,使2x-x3=0 B.存在x∈R,使x2+x+1=0 C.有的素数是偶数 D.有的有理数没有倒数 答案 B 解析 对于任意的x∈R,x2+x+1=2+>0恒成立. 3.下列命题中,是真命题且是全称命题的是(  ) A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2<0 B.菱形的两条对角线相等 C.∃x∈R,x2=x D.对数函数在定义域上是单调函数 答案 D 解析 A中含有全称量词“任意的”,因为a2+b2-2a-2b+2=(a-1)2+(b-1)2≥0,所以A是假命题;B,D在叙述上没有全称量词,实际上是指“所有的”,菱形的两条对角线不一定相等;C是存在性命题,故选D. 4.已知命题“∃x∈R,x2+ax-4a<0”为真命题,则实数a的取值范围为(  ) A.(-∞,-16)∪(0,+∞) B.(-16,0) C.[-4,0] D.(-4,0) 答案 A 解析 ∵“∃x∈R,x2+ax-4a<0”为真命题, ∴Δ=a2+16a>0,解得a<-16或a>0,故选A. 5.下列四个命题: ①没有一个无理数不是实数; ②空集是任何一个非空集合的真子集; ③1+1<2; ④至少存在一个整数x,使得x2-x+1是整数. 其中是真命题的为(  ) A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 答案 C 解析 ①所有无理数都是实数,为真命题; ②显然为真命题; ③显然不成立,为假命题; ④取x=1,能使x2-x+1=1是整数,为真命题. 6.已知函数f(x)=|2x-1|,若命题“存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2,使得f(x1)>f(x2)”为真命题,则下列结论一定成立的是(  ) A.a≥0B.a<0C.b≤0D.b>1 答案 B 解析 函数f(x)=|2x-1|的图象如图所示: 由图可知f(x)在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数, ∴要满足存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2,使得f(x1)>f(x2)为真命题,则必有a<0,故选B. 7.给出下列命题,其中为真命题的是(  ) A.对任意x∈R,都有x2+3<0 B.对任意x∈N,都有x2≥1 C.存在x∈Z,使x5<1 D.存在x∈Q,使x2=3 答案 C 解析 由于对任意x∈R,都有x2≥0,即有x2+3≥3,所以命题“对任意x∈R,都有x2+3<0”为假命题;由于0∈N,当x=0时,x2≥1不成立,所以命题“对任意x∈N,都有x2≥1”是假命题;由于-1∈Z,当x=-1时,x5<1,所以命题“存在x∈Z,使x5<1”为真命题;由于使x2=3成立的实数只有±,而它们都不是有理数,所以命题“存在x∈Q,使x2=3”是假命题.故选C. 8.下列命题为假命题的是(  ) A.存在x∈R,使得tanx=2 B.对任意x∈(0,+∞),都有x2>2x+1 C.存在x∈R,使得x2+x=1 D.对任意x∈,都有tanx<sinx 答案 B 解析 对于A,∵tanx∈R,∴∃x∈R,使得tanx=2,∴此命题为真命题;对于B,当x=1∈(0,+∞)时,x2-2x-1=-2<0,∴此命题为假命题;对于C,易知方程x2+x-1=0有实数根,∴此命题为真命题;对于D,当x∈时,tanx<0<sinx,∴此命题为真命题.故选B. 二、填空题 9.下列命题: ①偶数都可以被2整除;②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等;③正四棱锥的侧棱长相等;④有的实数是无限不循环小数;⑤有的菱形是正方形;⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称命题又是真命题的是________,既是存在性命题又是真命题的是________.(填上所有满足要求的序号) 答案 ①②③ ④⑤ 解析 ①是全称命题,是真命题; ②是全称命题,是真命题; ③是全称命题,即任意一个正四棱锥的侧棱长相等,是真命题; ④含存在量词“有的”,是存在性命题,是真命题; ⑤是存在性命题,是真命题; ⑥是存在性命题,是假命题,因为任意三角形内角和为180°. 10.给出下列命题: ①∀x∈R,x2-3x+2>0恒成立;②∃x∈Q,x2=2;③∃x∈R,x2+1=0;④∀x∈R,4x2>2x-1+3x2.其中真命题的个数为________. 答案 0 解析 ∵对于方程f(x)=x2-3x+2,Δ=(-3)2-4×2>0, ∴当x>2或x<1时,x2-3x+2>0才成立, ∴①为假命题; 当且仅当x=±时,x2=2, ∴不存在x∈Q

2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词学案(含解析)新人教B版选修2-1.docx

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