标签: 2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.2.2“非”(否定)学案(含解析)新人教B版选修2-1  
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doc 1.2.2 “非” (否定) 学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义,能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的初步应用.3.会对全称命题与存在性命题进行否定. 知识点一 逻辑联结词“非” 1.命题的否定:对命题p加以否定,就得到一个新命题,记作綈p,读作“非p”或“p的否定”. 2.命题綈p的真假:若p是真命题,则綈p必是假命题;若p是假命题,则綈p必是真命题. 知识点二 全称命题的否定 写全称命题的否定的方法:(1)更换量词,将全称量词换为存在量词;(2)将结论否定. 对于含一个量词的全称命题的否定,有下面的结论: 全称命题p:∀x∈M,p(x), 它的否定綈p:∃x∈M,綈p(x). 全称命题的否定是存在性命题. 知识点三 存在性命题的否定 写存在性命题的否定的方法:(1)将存在量词改写为全称量词;(2)将结论否定. 对于含一个量词的存在性命题的否定,有下面的结论: 存在性命题p:∃x∈M,p(x), 它的否定綈p:∀x∈M,綈p(x). 存在性命题的否定是全称命题. 1.写存在性命题的否定时,存在量词变为全称量词.( √ ) 2.∃x∈M,p(x)与∀x∈M,綈p(x)的真假性相反.( √ ) 3.命题“若a2>b2,则|a|>|b|”的否定为“若a2>b2,则|a|<|b|”.( × ) 题型一 “綈p”命题的构成与真假判断 例1 写出下列命题的否定形式,并判断其否定的真假. (1)面积相等的三角形都是全等三角形; (2)若m2+n2=0,则实数m,n全为零; (3)若xy=0,则x=0或y=0. 解 (1)面积相等的三角形不都是全等三角形,为真命题. (2)若m2+n2=0,则实数m,n不全为零,为假命题. (3)若xy=0,则x≠0且y≠0,为假命题. 反思感悟 綈p是对命题p的全盘否定,对一些词语的正确否定是写綈p的关键,如“都”的否定是“不都”,“至多两个”的反面是“至少三个”,“p∧q”的否定是“(綈p)∨(綈q)”等. 跟踪训练1 写出下列命题的否定形式. (1)p:y=sinx是周期函数; (2)p:3<2; (3)p:空集是集合A的子集; (4)p:5不是75的约数. 解 (1) 綈p:y=sinx不是周期函数. (2) 綈p:3≥2. (3) 綈p:空集不是集合A的子集. (4) 綈p:5是75的约数. 题型二 全称命题和存在性命题的否定 命题角度1 全称命题的否定 例2 写出下列全称命题的否定: (1)任何一个平行四边形的对边都平行; (2)数列:1,2,3,4,5中的每一项都是偶数; (3)∀a,b∈R,方程ax=b都有唯一解; (4)可以被5整除的整数,末位是0. 解 (1)其否定:存在一个平行四边形,它的对边不都平行. (2)其否定:数列:1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数. (3)其否定:∃a,b∈R,使方程ax=b的解不唯一或不存在. (4)其否定:存在被5整除的整数,末位不是0. 反思感悟 全称命题的否定是存在性命题,对省略全称量词的全称命题可补上量词后再进行否定. 跟踪训练2 写出下列全称命题的否定: (1)p:每一个四边形的四个顶点共圆; (2)p:所有自然数的平方都是正数; (3)p:任何实数x都是方程5x-12=0的根; (4)p:对任意实数x,x2+1≥0. 解 (1)綈p:存在一个四边形,它的四个顶点不共圆. (2)綈p:有些自然数的平方不是正数. (3)綈p:存在实数x不是方程5x-12=0的根. (4)綈p:存在实数x,使得x2+1<0. 命题角度2 存在性命题的否定 例3 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假. (1)p:∃x>1,使x2-2x-3=0; (2)p:有些素数是奇数; (3)p:有些平行四边形不是矩形. 解 (1) 綈p:∀x>1,x2-2x-3≠0(假). (2) 綈p:所有的素数都不是奇数(假). (3) 綈p:所有的平行四边形都是矩形(假). 反思感悟 存在性命题的否定是全称命题,写命题的否定时要分别改变其中的量词和判断词.即p:∃x∈M,p(x)成立⇒綈p:∀x∈M,綈p(x)成立. 跟踪训练3 写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假. (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)∃x,y∈Z,使得x+y=3. 解 (1)命题的否定是“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,即“所有实数的绝对值都不是正数”.因此命题的否定是假命题. (2)命题的否定是“没有一个平行四边形是菱形”,即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定是“∀x,y∈Z,x+y≠3”.当x=0,y=3时,x+y=3,因此命题的否定是假命题. 题型三 存在性命题、全称命题的综合应用 例4 已知函数f(x)=x2-2x+5. (1)是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由; (2)若存在一个实数x,使不等式m-f(x)>0成立,求实数m的取值范围. 解 (1)不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x), 即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4. 要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立, 只需m>-4即可. 故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m>-4. (2)不等式m-f(x)>0可化为m>f(x),若存在一个实数x,使不等式m>f(x)成立,只需m>f(x)min. 又f(x)=(x-1)2+4, ∴f(x)min=4,∴m>4. ∴所求实数m的取值范围是(4,+∞). 反思感悟 对于涉及是否存在的问题,通常总是假设存在,然后推出矛盾,或找出存在符合条件的元素.一般地,对任意的实数x,a>f(x)恒成立,只要a>f(x)max;若存在一个实数x,使a>f(x)成立,只需a>f(x)min. 跟踪训练4 已知f(x)=3ax2+6x-1(a∈R). (1)当a=-3时,求证:对任意x∈R,都有f(x)≤0; (2)如果对任意x∈R,不等式f(x)≤4x恒成立,求实数a的取值范围. (1)证明 当a=-3时,f(x)=-9x2+6x-1, ∵Δ=36-4×(-9)×(-1)=0, ∴对任意x∈R,都有f(x)≤0. (2)解 ∵f(x)≤4x恒成立, ∴3ax2+2x-1≤0恒成立, ∴即 解得a≤-, 即实数a的取值范围是. 1.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则“綈p”形式的命题是(  ) A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实根 答案 C 解析 命题p是存在性命题,其否定形式为全称命题,即綈p:对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实根. 2.对下列命题的否定说法错误的是(  ) A.p:能被2整除的数是偶数;綈p:存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;綈p:所有的矩形都不是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;綈p:所有的三角形不都是正三角形 D.p:∃n∈N,2n≤100;綈p:∀n∈N,2n>100. 答案 C 解析 “有的三角形为正三角形”为存在性命题,其否定为全称命题:“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误. 3.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是(  ) A.(綈p)∨q B.p∧q C.(綈p)∧(綈q) D.(綈p)∨(綈q) 答案 D 解析 由于命题p为真命题,命题q为假命题,因此,命题綈p是假命题,命题綈q是真命题,从而(綈p)∨q,p∧q,(綈p)∧(綈q)都是假命题,(綈p)∨(綈q)是真命题. 4.已知a>0且a≠1,命题“∃x>1,logax>0”的否定是(  ) A.∃x≤1,logax>0 B.∃x>1,logax≤0 C.∀x≤1,logax>0 D.∀x>1,logax≤0 答案 D 解析 a>0且a≠1,命题“∃x>1,logax>0”的否定是“∀x>1,logax≤0”. 5.由命题“∃x∈R,x2+2x+m≤0”是假命题,得实数m的取值范围是(a,+∞),则实数a=________. 答案 1 解析 由题意得命题“∀x∈R,x2+2x+m>0”是真命题,所以Δ=4-4m<0,即m>1,故实数m的取值范围是(1,+∞),从而实数a的值为1. 1.带有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的否定,应注意对逻辑联结词进行否定,即“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”,“不是”的否定是“是”. 2.(1)对含有全称量词的命题进行否定需两步操作: 第一步,将全称量词改写成存在量词; 第二步,将结论加以否定. (2)对含有存在量词的命题进行否定需两步操作: 第一步,将存在量词改写成全称量词; 第二步,将结论加以否定. 一、选择题 1.下列存在性命题是假命题的是(  ) A.存在实数a,b,使ab=0 B.有些实数x,使得|x+1|<1 C.存在一个函数,既是偶函数又是奇函数 D.有些实数x,使得x<0 答案 D 解析 A是真命题;B是真命题;C是真命题;D是假命题. 2.下列命题既是存在性命题,又是真命题的是(  ) A.两个无理数的和必是无理数 B.存在一个实数x,使=0 C.至少有一个实数x,使x2<0 D.有些实数的倒数等于它本身 答案 D 解析 A项为全称命题;B项,是不能为零的,故B假;C项,x2≥0,故不存在实数x使x2<0,故C假;D项,当实数为1或-1时可满足题意,故D正确. 3.已知命题p:∀x∈R,sinx≤1,则綈p是(  ) A.∃x∈R,sinx≥1 B.∃x∈R,sinx>1 C.∀x∈R,sinx≥1 D.∀x∈R,sinx>1 答案 B 解析 所给命题为全称命题,故其否定为存在性命题,故綈p:∃x∈R,sinx>1,故选B. 4.下列命题中,假命题是(  ) A.∀x∈R,2x-1>0 B.∀x∈N+,(x-1)2>0 C.∃x∈R,lgx<1 D.∃x∈R,tanx=2 答案 B 解析 对于∀x∈R,y=2x>0恒成立,而y=2x-1的图象是将y=2x的图象沿x轴向右平移1个单位长度,函数的值域不变,故2x-1>0恒成立,故A为真命题;当x=1时,(x-1)2=0,故B为假命题;当0<x<10时,lgx<1,故∃x∈R,lgx<1,故C为真命题;y=tanx的值域为R,故∃x使得tanx=2,故D为真命题. 5.命题“p∧q”与“p∨q”都是假命题,则下列判断正确的是(  ) A.命题“綈p”与“綈q”真假不同 B.命题“綈p”与“綈q”至少有一个是假命题 C.命题“綈p”与“q”真假相同 D.命题“(綈p)∧(綈q)”是真命题 答案 D 解析 “p∧q”为假,则p与q中至少有一个为假,而“p∨q”为假,则p,q都为假,故綈p,綈q均为真. 6.若命题p:∀x>0,log2x>0,命题q:∃x∈R,2x<0,则下列命题为真命题的是(  ) A.p∨qB.p∧qC.(綈p)∧qD.p∨(綈q) 答案 D 解析 当x∈(0,1]时,log2x≤0,∴命题p为假命题. 又当x∈R时,2x>0,∴命题q为假命题, ∴p∨(綈q)为真命题. 7.已知命题p:存在x∈R,有sinx+cosx=2;命题q:任意x∈,有x>sinx.则下列命题是真命题的是(  ) A.p且qB.p或(綈q) C.p且(綈q) D.(綈p)且q 答案 D 解析 由题意知命题p是假命题,命题q是真命题, 所以(綈p)且q为真命题. 8.已知a>0,函数f(x)=ax2+bx+c,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则下列选项中的命题为假命题的是(  ) A.∃x∈R,f(x)≤f(x0) B.∃x∈R,f(x)≥f(x0) C.∀x∈R,f(x)≤f(x0) D.∀x∈R,f(x)≥f(x0) 答案 C 解析 当a>0时,函数f(x)=ax2+bx+c的图象为开口向上的抛物线,若x0满足关于x的方程2ax+b=0,则x0=-为抛物线顶点的横坐标,f(x)min=f(x0),故对于∀x∈R,f(x)≥f(x0)成立,从而选项A,B,D为真命题,选项C为假命题. 二、填空题 9.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为________.(填序号) ①对任意x∈R,都有x2<0; ②不存在x∈R,使得x2<0; ③存在x∈R,使得x2≥0; ④存在x∈R,使得x2<0. 答案 ④ 解析 全称命题的否定是存在性命题. 10.若“x∈[2,5]或x∈{x|x<1或x>4}”是假命题,则x的取值范围是________. 答案 [1,2) 解析 x∈[2,5]或x∈(-∞,1)∪(4,+∞), 即x∈(-∞,1)∪[2,+∞),由于该命题是假命题, 所以1≤x<2,即x∈[1,2). 11.已知p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是________. 答案 [3,8) 解析 因为p(1)是假命题,所以1+2-m≤0,解得m≥3. 又因为p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8, 故实数m的取值范围是3≤m<8. 三、解答题 12.已知p:∀a∈(0,b](b∈R且b>0),函数f(x)=sin的周期不大于4π. (1)写出綈p; (2)当綈p是假命题时,求实数b的最大值. 解 (1)綈p:∃a∈(0,b](b∈R且b>0), 函数f(x)=sin的周期大于4π. (2)由于綈p是假命题,所以p是真命题, 所以∀a∈(0,b],≤4π恒成立, 解得a≤2,所以0<b≤2,所以实数b的最大值是2. 13.已知命题p:“至少存

2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.2.2 “非” (否定)学案(含解析)新人教B版选修2-1.docx

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