标签: 2020版高中数学第一章常用逻辑用语1.3.1推出与充分条件、必要条件学案(含解析)新人教B版选修2-1  
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doc 1.3.1 推出与充分条件、必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明. 知识点一 充分条件与必要条件 1.当命题“如果p,则q”经过推理证明判定为真命题时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件. 这几种形式的表达,讲的是同一个逻辑关系,只是说法不同而已. 2.若p⇒q,但q⇏p,称p是q的充分不必要条件,若q⇒p,但p⇏q,称p是q的必要不充分条件. 知识点二 充要条件 1.一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,此时,我们说,p是q的充分且必要条件,简称充要条件.p是q的充要条件,又常说成q当且仅当p,或p与q等价. 2.从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件. 若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件 若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件 若A=B,则p,q互为充要条件 若A⊈B且B⊈A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件 其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}. 1.若p是q的充分条件,则p是唯一的.( × ) 2.“若p,则q”是真命题,而“若q,则p”是假命题,则p是q的充分不必要条件.( √ ) 3.q不是p的必要条件时,“p⇏q”成立.( √ ) 4.若p是q的充要条件,则命题p和q是两个相互等价的命题.( √ ) 5.若p是q的充分不必要条件,则綈p是綈q的必要不充分条件.( √ ) 题型一 充分、必要、充要条件的判断 例1 下列各题中,p是q的什么条件?(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件) (1)p:x=1或x=2,q:x-1=; (2)p:m>0,q:x2+x-m=0有实根; (3)p:四边形的对角线相等,q:四边形是平行四边形. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断 解 (1)因为x=1或x=2⇒x-1=,x-1=⇒x=1或x=2, 所以p是q的充要条件. (2)因为m>0⇒方程x2+x-m=0的判别式Δ=1+4m>0,即方程有实根, 方程x2+x-m=0有实根, 即Δ=1+4m≥0⇏m>0,所以p是q的充分不必要条件. (3)p是q的既不充分也不必要条件. 反思感悟 充分条件、必要条件的两种常用的判断方法 (1)定义法: ①确定谁是条件,谁是结论; ②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件; ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件. (2)命题判断法: ①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; ②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件. 跟踪训练1 下列各题中,试分别指出p是q的什么条件. (1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等; (2)p:f(x)=x,q:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (3)p:A⊆B,q:A∩B=A; (4)p:a>b,q:ac>bc. 考点 充要条件的概念及判断 题点 充要条件的判断 解 (1)∵两个三角形相似⇏两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似, ∴p是q的必要不充分条件. (2)∵f(x)=x⇒f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,但f(x)在(-∞,+∞)上为增函数⇏f(x)=x,∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p⇒q,且q⇒p,∴p是q的充要条件. (4)∵p⇏q,且q⇏p,∴p是q的既不充分也不必要条件. 题型二 充分条件、必要条件、充要条件的应用 命题角度1 由充分条件、必要条件求参数范围 例2 已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p是q的必要不充分条件,求实数m的取值范围. 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 解 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的必要不充分条件, 所以q是p的充分不必要条件, 即{x|1-m≤x≤1+m}{x|-2≤x≤10}, 故有或解得m≤3. 又m>0,所以实数m的取值范围为{m|0<m≤3}. 引申探究 1.若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解 p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). 因为p是q的充分不必要条件, 设p代表的集合为A,q代表的集合为B,所以AB. 所以或 解不等式组得m>9或m≥9, 所以m≥9, 即实数m的取值范围是[9,+∞). 2.若本例中p,q不变,是否存在实数m使p是q的充要条件?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由. 解 因为p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0). 若p是q的充要条件,则m不存在. 反思感悟 由条件关系求参数的取值(范围)的步骤 (1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系. (2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解. 跟踪训练2 (1)“不等式(a+x)(1+x)<0成立”的一个充分不必要条件是“-2<x<-1”,则实数a的取值范围是________. 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 (2,+∞) 解析 不等式变形为(x+1)(x+a)<0, 因为当-2<x<-1时不等式成立, 所以不等式的解集是-a<x<-1. 由题意有(-2,-1)(-a,-1), 所以-2>-a,即a>2. (2)已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x|1<x<3},“x∈P”是“x∈Q”的必要条件,则实数a的取值范围是________. 考点 充分、必要条件的综合应用 题点 由充分、必要条件求参数的范围 答案 [-1,5] 解析 因为“x∈P”是“x∈Q”的必要条件, 所以Q⊆P,所以即 所以-1≤a≤5. 命题角度2 探求充要条件 例3 求关于x的一元二次不等式ax2+1>ax对于一切实数x都成立的充要条件. 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 解 由题意可知,关于x的一元二次不等式ax2+1>ax对于一切实数x都成立, 等价于对于方程ax2-ax+1=0中,⇔0<a<4. 反思感悟 求一个问题的充要条件,就是利用等价转化的思想,使得转化前后的两个命题所对应的解集是两个相同的集合,这就要求我们转化的时候思维要缜密. 跟踪训练3 直线x+y+m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切的充要条件是m=________. 考点 充要条件的概念及判断 题点 寻求充要条件 答案 -4或0 解析 由题意知,直线与圆相切等价于圆心(1,1)到直线x+y+m=0的距离等于半径, 即=,得m=-4或0. 充要条件的证明 典例 求证:一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明 充分性(由ac<0推证方程有一正根和一负根), ∵ac<0,∴一元二次方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac>0, ∴原方程一定有两不等实根, 不妨设为x1,x2,则x1x2=<0, ∴原方程的两根异号, 即一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根. 必要性(由方程有一正根和一负根推证ac<0), ∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根, 不妨设为x1,x2, ∴由根与系数的关系得x1x2=<0,即ac<0, 此时Δ=b2-4ac>0,满足原方程有两个不等实根. 综上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. [素养评析] (1)一般地,证明“p成立的充要条件为q”时,在证充分性时应以q为“已知条件”,p是该步中要证明的“结论”,即q⇒p;证明必要性时则是以p为“已知条件”,q为该步中要证明的“结论”,即p⇒q. (2)通过论证数学命题,学会有逻辑地思考问题,探索和表述论证过程,能很好的提升学生的逻辑思维品质. 1.“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 答案 C 解析 ∵-2<x<1⇏x>1或x<-1,且x>1或x<-1⇏-2<x<1,∴“-2<x<1”是“x>1或x<-1”的既不充分也不必要条件. 2.设命题p:x2-3x+2<0,q:≤0,则p是q的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 命题p:1<x<2;命题q:1≤x<2,故p是q的充分不必要条件. 3.“θ=0”是“sinθ=0”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由于当“θ=0”时,一定有“sinθ=0”成立,反之不成立,所以“θ=0”是“sinθ=0”的充分不必要条件. 4.记不等式x2+x-6<0的解集为集合A,函数y=lg(x-a)的定义域为集合B.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则实数a的取值范围为________. 答案 (-∞,-3] 解析 由于A={x|x2+x-6<0}={x|-3<x<2},B={x|y=lg(x-a)}={x|x>a},而“x∈A”是“x∈B”的充分条件,则有A⊆B,则有a≤-3. 5.“a=0”是“直线l1:x-2ay-1=0与l2:2x-2ay-1=0平行”的________条件. 答案 充要 解析 (1)∵a=0,∴l1:x-1=0,l2:2x-1=0, ∴l1∥l2,即a=0⇒l1∥l2. (2)若l1∥l2,当a≠0时, l1:y=x-,l2:y=x-. 令=,方程无解. 当a=0时,l1:x-1=0,l2:2x-1=0,显然l1∥l2. ∴a=0是直线l1与l2平行的充要条件. 充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件反映了条件p和结论q之间的因果关系,在结合具体问题进行判断时,常采用如下方法: (1)定义法:分清条件p和结论q,然后判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假,根据定义下结论. (2)等价法:将命题转化为另一个与之等价的又便于判断真假的命题. (3)集合法:写出集合A={x|p(x)}及集合B={x|q(x)},利用集合之间的包含关系加以判断. 一、选择题 1.“ab≠0”是“直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 ab≠0,即a≠0且b≠0,此时直线ax+by+c=0与两坐标轴都相交;又当ax+by+c=0与两坐标轴都相交时,a≠0且b≠0. 2.下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的命题个数为(  ) ①若f(x)是周期函数,则f(x)=sinx; ②若x>5,则x>2; ③若x2-9=0,则x=3. A.0B.1C.2D.3 答案 B 解析 ①中,周期函数还有很多,如y=cosx,所以①中p不是q的充分条件;很明显②中p是q的充分条件;③中,当x2-9=0时,x=3或x=-3,所以③中p不是q的充分条件.所以p是q的充分条件的命题的个数为1,故选B. 3.已知向量a,b为非零向量,则“a⊥b”是“|a+b|=|a-b|”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 |a+b|2=|a-b|2⇔a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b⇔a·b=0. 4.已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+by+c=0,则a2+b2=c2是圆O与直线l相切的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 由直线与圆相切得=1,即a2+b2=c2;a2+b2=c2时也有=1成立,即直线与圆相切. 5.若a,b,c是常数,则“a>0且b2-4ac<0”是“对任意x∈R,都有ax2+bx+c>0”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 当a>0且b2-4ac<0时,对任意x∈R,ax2+bx+c>0成立,即充分性成立.反之,则不一定成立.如当a=0,b=0,且c>0时,对任意x∈R,ax2+bx+c>0成立.综上,“a>0且b2-4ac<0”是“对任意x∈R,都有ax2+bx+c>0”的充分不必要条件. 6.设函数f(x)=|log2x|,则f(x)在区间(m,2m+1)(m>0)内不是单调函数的充要条件是(  ) A.0<m< B.0<m<1 C.<m<1 D.m>1 答案 B 解析 f(x)= f(x)的图象在(0,1)内单调递减, 在(1,+∞)内单调递增. f(x)在(m,2m+1)(m>0)上不是单调函数等价于 ⇔0<m<1. 7.已知a,b是不共线的向量,若=λ1a+b,=a+λ2b(λ1,λ2∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是(  ) A.λ1=λ2=-1 B.λ1=λ2=1 C.λ1λ2=1 D.λ1λ2=-1 答案 C 解析 依题意,知A,B,C三点共线⇔=λ⇔λ1a+b=λa+λλ2b⇔即λ1λ2=1.故选C. 8.设a1,b1,c1,a2,b2,c2均为非零实数,不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0的解集分别是集合M和N,那么“==”是“M=N”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 解析 若==<0,则M≠N, 即==⇏M=N; 反之,若M=N=∅, 即两个一元二次不等式的解集为空集时, 只要求判别式Δ1<0,Δ2<0(a1<

2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.3.1 推出与充分条件、必要条件学案(含解析)新人教B版选修2-1.docx

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