标签: 2020版高中数学第一章常用逻辑用语2.1充分条件2.2必要条件学案(含解析)北师大版选修1-1  
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doc 2.1 充分条件 2.2 必要条件 学习目标 1.了解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用,培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力. 知识点一 充分条件与必要条件的概念 一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p⇒q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件. 知识点二 充分条件与必要条件的判断 命题真假 “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出关系 p⇒q p⇏q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 1.命题“若p,则q”是假命题,p不是q的充分条件,q也不是p的必要条件.( √ ) 2.在判定定理中,条件是结论的充分条件.( √ ) 3.若p是q的充分条件,则p是唯一的.( × ) 4.若q是p的必要条件,则p是q的充分条件.( √ ) 题型一 充分条件与必要条件的判断 例1 (1)判断下列说法中,p是q的充分条件的是_____________________.(填序号) ①p:“x=1”,q:“x2-2x+1=0”; ②已知α,β是不同的两个平面,直线aα,直线bβ, p:a与b无公共点,q:α∥β; ③设a,b是实数,p:“a+b>0”,q:“ab>0”. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 ① 解析 对①,p⇒q;对②,p⇏q;对③,p⇏q,故填①. (2)下列各题中,p是q的必要条件的是________.(填序号) ①p:x2>2016,q:x2>2015; ②p:ax2+2ax+1>0的解集是实数集R,q:0<a<1; ③已知a,b为正实数,p:a>b>1,q:log2a>log2b>0. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 ②③ 解析 ①q⇏p;②p:0≤a<1,故q⇒p; ③log2a>log2b>0⇒a>b>1, ∴q⇒p,故填②③. 引申探究  本例(1)中p是q的必要条件的是________. 答案 ①② 解析 ①x2-2x+1=0⇒x=1,即q⇒p; ②⇒a与b无公共点,即q⇒p; ③q⇏p.故填①②. 反思感悟 充分条件、必要条件的两种常用的判断方法 (1)定义法 ①确定谁是条件,谁是结论; ②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为结论的充分条件,否则就不是充分条件; ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为结论的必要条件,否则就不是必要条件. (2)命题判断法 ①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; ②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件. 跟踪训练1 对任意实数a,b,c,在下列命题中,真命题是(  ) A.“ac>bc”是“a>b”的必要条件 B.“ac=bc”是“a=b”的必要条件 C.“ac>bc”是“a>b”的充分条件 D.“ac=bc”是“a=b”的充分条件 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 B 解析 ∵⇒a>b, ⇒a<b, ∴ac>bc⇏a>b,而由a>b⇏ac>bc, ∴“ac>bc”既不是“a>b”的充分条件,也不是“a>b”的必要条件, 故A,C错误. 又⇒a=b, ⇏a=b, ∴由ac=bc⇏a=b, 而由a=b⇒ac=bc, ∴“ac=bc”是“a=b”的必要不充分条件,故选B. 题型二 充分条件与必要条件的应用 例2 已知p:x2-x-6≤0,q:x2-4x+4-9m2≤0,若q是p的充分条件,求正实数m的取值范围. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 解不等式得p:-2≤x≤3, 当m>0时,q:2-3m≤x≤2+3m, 由q是p的充分条件可得q⇒p, 从而⇒0<m≤. 所以正实数m的取值范围为. 引申探究  若将本例条件变为q是p的必要条件,求正实数m的取值范围. 解 由p:-2≤x≤3,q:2-3m≤x≤2+3m(m>0), ∵q是p的必要条件,∴p⇒q, 从而 解得m≥. ∴正实数m的取值范围为. 反思感悟 1.设集合A={x|x满足p},B={x|x满足q},则p⇒q可得A⊆B;q⇒p可得B⊆A;p⇔q可得A=B,若p是q的充分不必要条件,则AB. 2.利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系,要注意范围的临界值. 跟踪训练2 已知p:关于x的不等式<x<,q:x(x-3)<0,若p是q的充分不必要条件,求实数m的取值范围. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 记A=,B={x|x(x-3)<0}={x|0<x<3}, 若p是q的充分不必要条件,则AB. 注意到B={x|0<x<3}≠∅,分两种情况讨论: (1)若A=∅,即≥,解得m≤0,此时AB,符合题意; (2)若A≠∅,即<,解得m>0, 要使AB,应有解得0<m<3. 综上可得,实数m的取值范围是(-∞,3). 1.“x>0”是“x≠0”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分又不必要条件 考点 充分条件、必要条件的综合应用 题点 充分不必要条件的判定 答案 A 解析 ∵x>0⇒x≠0,而x≠0⇏x>0, ∴x>0是x≠0的充分不必要条件. 2.若a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的(  ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分又不必要条件 D.无法判断 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 A 解析 ∵a=2⇒(a-1)(a-2)=0, ∴a=2是(a-1)(a-2)=0的充分条件. 3.设x∈R,则x>2的一个必要条件是(  ) A.x>1B.x<1C.x>3D.x<3 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 A 解析 ∵x>2⇒x>1, ∴x>1是x>2的必要条件. 4.“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根都大于3”是“,”的________条件.(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 充分 解析 若方程的两根都大于3,即x1>3,x2>3, 可得成立,故“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根都大于3”是“”的充分条件. 5.不等式(a+x)(1+x)<0成立的一个充分不必要条件是-2<x<-1,则a的取值范围是________. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 a>2 解析 根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系,应有(-2,-1){x|(a+x)(1+x)<0},故有a>2. 1.充分条件、必要条件的判断方法 (1)定义法:直接利用定义进行判断. (2)等价法:“p⇔q”表示p等价于q,等价命题可以进行转换,当我们要证明p成立时,就可以去证明q成立. (3)利用集合间的包含关系进行判断:如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B,那么若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⊇B,则p是q的必要条件;若A=B,则p是q的既充分又必要条件. 2.根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求解. 一、选择题 1.“x为无理数”是“x2为无理数”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分又不必要条件 考点 充分条件、必要条件的综合应用 题点 必要不充分条件的判定 答案 B 解析 当x2为无理数时,x为无理数;当x为无理数时,x2不一定为无理数. 2.设a,b∈R,则“a+b>2”是“a>1且b>1”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分条件 D.既不充分又不必要条件 考点 充分条件、必要条件的综合应用 题点 必要不充分条件的判定 答案 B 解析 由a+b>2⇏a>1且b>1,所以“a+b>2”不是“a>1且b>1”的充分条件. 又“a>1且b>1”一定能推出“a+b>2”,故“a+b>2”是“a>1且b>1”的必要不充分条件. 3.已知命题“若p,则q”,假设其逆命题为真,则p是q的(  ) A.充分条件 B.必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 B 解析 原命题的逆命题:“若q,则p”,它是真命题,即q⇒p,所以p是q的必要条件. 4.设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos(x+φ)(x∈R)为偶函数”的(  ) A.充分条件 B.必要条件 C.以上都不对 D.不确定 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 A 解析 当φ=0时,f(x)=cos(x+φ)=cosx(x∈R)是偶函数,而f(x)=cos(x+φ)(x∈R)是偶函数不一定得出φ=0,故A正确. 5.a<0,b<0的一个必要条件为(  ) A.>1 B.<-1 C.a+b<0 D.a-b>0 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 C 解析 a+b<0⇏a<0,b<0, 而a<0,b<0⇒a+b<0. 6.下列命题中q是p的必要条件的是(  ) A.p:A∩B=A,q:A⊆B B.p:x2-2x-3=0,q:x=-1 C.p:|x|<1,q:x<0 D.p:x2>2,q:x> 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 A 解析 由A∩B=A能得出A⊆B,其余选项都不符合要求. 7.“x2=4”是“x=m”的必要条件,则m的一个值可以是(  ) A.0 B.2 C.4 D.16 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的值 答案 B 解析 由x=2能得出x2=4,所以选项B正确. 8.集合A=,B={x|-a<x-b<a},若“a=1”是“A∩B≠∅”的充分条件,则实数b的取值范围是(  ) A.[-2,0) B.(0,2] C.(-2,2) D.[-2,2] 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 C 解析 A={x|(x+1)(x-1)<0}={x|-1<x<1}, B={x|b-a<x<b+a}, 因为a=1,所以B={x|b-1<x<b+1}, 若A∩B=∅,则b+1≤-1或b-1≥1, 即b≤-2或b≥2, 所以A∩B≠∅时,-2<b<2. 二、填空题 9.已知p:(x-m)2>3(x-m)是q:x2+3x-4<0的必要不充分条件,则实数m的取值范围为________________. 答案 (-∞,-7]∪[1,+∞) 解析 p对应的集合A={x|x<m或x>m+3}, q对应的集合B={x|-4<x<1}, 由p是q的必要不充分条件可知,BA, ∴m≥1或m+3≤-4, 即m≥1或m≤-7. 10.设A,B是非空集合,则“A∩B=A”是“A=B”的______条件.(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 必要 解析 由A=B⇒A∩B=A,A∩B=A⇏A=B, 可知“A∩B=A”是“A=B”的必要条件. 11.下列说法正确的是________.(填序号) ①“x>0”是“x>1”的必要条件; ②已知向量m,n,则“m∥n”是“m=n”的充分条件; ③“a3>b3”是“a>b”的必要条件; ④在△ABC中,“a>b”不是“A>B”的充分条件. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 必要条件的判断 答案 ①③ 解析 ①中,当x>1时,有x>0,所以①正确; ②中,当m∥n时,m=n不一定成立,所以②不正确; ③中,a>b能推出a3>b3,即a3>b3是a>b的必要条件,所以③正确; ④中,当a>b时,有A>B,所以“a>b”是“A>B”的充分条件,所以④不正确. 12.已知p:-4<x-a<4,q:(x-2)(x-3)<0,若q是p的充分条件,则a的取值范围为________. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 答案 [-1,6] 解析 化简p:a-4<x<a+4,q:2<x<3,由于q是p的充分条件,故有 解得-1≤a≤6. 三、解答题 13.已知p:x2-2x-3<0,若-a<x-1<a是p的一个必要条件,求使a>b恒成立的实数b的取值范围. 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 由充分条件、必要条件求参数的范围 解 由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3, -a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0). 依题意,得 {x|-1<x<3}⊆{x|1-a<x<1+a}(a>0), 所以解得a≥2, 则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b<2, 即(-∞,2). 14.若“a≥b⇒c>d”和“a<b⇒e≤f”都是真命题,则“c≤d”是“e≤f”的________条件.(填“充分”“必要”) 考点 充分条件、必要条件的概念及判断 题点 充分条件的判断 答案 充分 解析 因为“a≥b⇒c>d”为真, 所以它的逆否命题“c≤d⇒a<b”也为真命题, 又“a<b⇒e≤f”也是真命题, 所以“c≤d⇒a<b⇒e≤f”, 故“c≤d”是“e≤f”的充分条件. 15.已知命题p:对数loga(-2t2+7t-5)(a>0,且a≠1)有意义,q:关于实数t的不等式t2-(a+3)t+(a+2

2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 2.1 充分条件 2.2 必要条件学案(含解析)北师大版选修1 -1.docx

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