标签: 2020版高中数学第一章常用逻辑用语3.3全称命题与特称命题的否定学案(含解析)北师大版选修1-1  
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doc 3.3 全称命题与特称命题的否定 学习目标 1.理解含有一个量词的命题的否定的意义.2.掌握对全称命题和特称命题否定的方法. 知识点一 全称命题的否定 要说明一个全称命题是错误的,只需找出一个反例就可以了.实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的.全称命题的否定是特称命题. 一般地,全称命题“所有的x∈A,使p(x)成立”的否定为特称命题“存在x∈A,使p(x)不成立”. 知识点二 特称命题的否定 要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的,就要说明所有的对象都不满足这一性质.实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的.特称命题的否定是全称命题. 一般地,特称命题“存在x∈A,使p(x)成立”的否定为全称命题“所有的x∈A,使p(x)不成立”. 1.若命题p是含一个量词的命题,则p与其否定真假性相反.( √ ) 2.从特称命题的否定看,是对“量词”和“p(x)”同时否定.( × ) 3.从全称命题的否定看,既要把全称量词转换为存在量词,又要把p(x)否定.( √ ) 题型一 全称命题的否定 例1 写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)任意n∈Z,则n∈Q; (2)等圆的面积相等,周长相等; (3)偶数的平方是正数. 考点 全称命题的否定 题点 全称命题的否定 解 (1)存在n∈Z,使n∉Q,这是假命题. (2)存在等圆,其面积不相等或周长不相等,这是假命题. (3)存在偶数的平方不是正数,这是真命题. 反思感悟 1.写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论,把全称量词改为存在量词,结论变为否定的形式就得到命题的否定. 2.有些全称命题省略了量词,在这种情况下,千万不要将否定简单的写成“是”或“不是”. 跟踪训练1 写出下列全称命题的否定: (1)所有能被3整除的整数都是奇数; (2)每一个四边形的四个顶点共圆; (3)对任意x∈Z,x2的个位数字不等于3. 考点 全称命题的否定 题点 全称命题的否定 解 (1)存在一个能被3整除的整数不是奇数. (2)存在一个四边形,它的四个顶点不共圆. (3)存在x∈Z,x2的个位数字等于3. 题型二 特称命题的否定 例2 写出下列特称命题的否定: (1)存在x∈R,x2+2x+2≤0; (2)有的三角形是等边三角形; (3)有一个素数含三个正因数. 考点 特称命题的否定 题点 含存在量词的命题的否定 解 (1)任意x∈R,x2+2x+2>0. (2)所有的三角形都不是等边三角形. (3)每一个素数都不含三个正因数. 反思感悟 与全称命题的否定的写法类似,要写出特称命题的否定,先确定它的存在量词,再确定结论,然后把存在量词改写为全称量词,对结论作出否定就得到特称命题的否定. 跟踪训练2 写出下列特称命题的否定,并判断其真假: (1)有些实数的绝对值是正数; (2)某些平行四边形是菱形; (3)存在x,y∈Z,使得x+y=3. 考点 特称命题的否定 题点 含存在量词的命题的否定 解 (1)命题的否定:“不存在一个实数,它的绝对值是正数”,也即“所有实数的绝对值都不是正数”. 由于|-2|=2,因此命题的否定为假命题. (2)命题的否定:“没有一个平行四边形是菱形”,也即“每一个平行四边形都不是菱形”. 由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题. (3)命题的否定:“任意x,y∈Z,x+y≠3”. ∵当x=0,y=3时,x+y=3, 因此命题的否定是假命题. 题型三 全称命题、特称命题否定的应用 例3 已知命题p(x):sinx+cosx>m,q(x):x2+mx+1>0.如果对于任意x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题,求实数m的取值范围. 考点 全称命题与特称命题的否定 题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围 解 ∵sinx+cosx=sin>m, 若p(x)为真命题,则m<-. ∵p(x)为假命题,∴m≥-,① 由q(x)为真命题,得Δ=m2-4<0,即-2<m<2,② 由①②可得-≤m<2. 引申探究 若例3中“如果对于任意x∈R,p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x∈R,p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解 由例3知p(x)为真命题时,m<-, q(x)为真命题时,-2<m<2. 由题意知p(x)与q(x)两命题有一真一假, 当p(x)为真,q(x)为假时, 得m≤-2. 当p(x)为假,q(x)为真时, 得-≤m<2. 所以m的取值范围是(-∞,-2]∪[-,2). 反思感悟 若全称命题为假命题,通常转化为其否定命题——特称命题为真命题解决,同理,若特称命题为假命题,通常转化为其否定命题——全称命题为真命题解决. 跟踪训练3 已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0.求实数p的取值范围. 考点 存在量词与特称命题的真假判断 题点 存在性问题求参数的范围 解 在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使得f(c)>0的否定是在区间[-1,1]上的所有实数x,都有f(x)≤0恒成立. 又由二次函数的图像特征可知,  即 即 ∴p≥或p≤-3. 故p的取值范围是-3<p<. 1.命题“任意x∈[0,+∞),x3+x≥0”的否定是(  ) A.任意x∈(-∞,0),x3+x<0 B.任意x∈(-∞,0),x3+x≥0 C.存在x∈[0,+∞),x3+x<0 D.存在x∈[0,+∞),x3+x≥0 考点 全称命题的否定 题点 全称命题的否定 答案 C 解析 全称命题的否定是特称命题. 2.下列命题的否定为假命题的是(  ) A.存在x∈R,x2+2x+2≤0 B.任意x∈R,lgx<1 C.所有能被3整除的整数都是奇数 D.任意x∈R,sin2x+cos2x=1 考点 特称命题的否定 题点 含有一个量词的命题真假判断 答案 D 解析 对于选项A,因为x2+2x+2=(x+1)2+1>0,所以存在x∈R,x2+2x+2≤0是假命题,故其否定为真命题; 对于选项B,因为当x>10时,lgx>1,所以任意x∈R,lgx<1是假命题,故其否定为真命题; 对于选项C,因为6能被3整除,但6是偶数,所以这是假命题,其否定为真命题; 对于选项D,显然成立,因此其否定是假命题. 3.若“存在x∈,sinxcosx>m”为假命题,则实数m的取值范围是________. 考点 存在量词与特称命题的真假判断 题点 存在性问题求参数的范围 答案  解析 由题意知,对任意的x∈, sinxcosx≤m为真命题; 又∵sinxcosx=sin2x∈, ∴m≥. 4.写出下列命题的否定并判断其真假. (1)不论m取何实数,方程x2+mx-1=0必有实数根; (2)有些三角形的三条边相等; (3)余弦值为负数的角是钝角. 考点 含有量词的命题的否定的应用 题点 全称命题与特称命题的否定及真假判断 解 (1)这一命题可表述为对任意的实数m, 方程x2+mx-1=0必有实数根. 其否定:存在一个实数m, 使方程x2+mx-1=0没有实数根, 因为该方程的判别式Δ=m2+4>0恒成立, 故为假命题. (2)原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”,假命题. (3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角”,真命题. 对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题 (1)确定命题类型,是全称命题还是特称命题. (2)改变量词:把全称量词改为恰当的存在量词;把存在量词改为恰当的全称量词. (3)否定结论:原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等. (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定. 一、选择题 1.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集,若命题为“对任意的x∈A,2x∈B”,则该命题的否定是(  ) A.对任意x∈A,2x∉B B.对任意x∉A,2x∉B C.存在x∉A,2x∈B D.存在x∈A,2x∉B 考点 全称命题的否定 题点 全称命题的否定 答案 D 2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(  ) A.所有不能被2整除的整数都是偶数 B.所有能被2整除的整数都不是偶数 C.存在一个不能被2整除的整数是偶数 D.存在一个能被2整除的整数不是偶数 考点 全称命题的否定 题点 全称命题的否定 答案 D 解析 原命题为全称命题,其否定应为特称命题,且结论否定. 3.命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是(  ) A.存在x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在x∈R,x3-x2+1≥0 C.存在x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0 考点 全称命题的否定 题点 全称命题的否定 答案 C 解析 由题意知,原命题为全称命题,故其否定为特称命题,所以否定为“存在x∈R,x3-x2+1>0”.故选C. 4.已知命题p:任意x>0,总有(x+1)ex>1,则命题p的否定为(  ) A.存在x≤0,使得(x+1)ex≤1 B.存在x>0,使得(x+1)ex≤1 C.任意x>0,总有(x+1)ex≤1 D.任意x≤0,总有(x+1)ex≤1 考点 全称命题的否定 题点 全称命题的否定 答案 B 解析 “任意x>0,总有(x+1)ex>1”的否定是“存在x>0,使得(x+1)ex≤1”.故选B. 5.命题p:“存在实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根”,则命题p的否定为(  ) A.存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 B.不存在实数m,使方程x2+mx+1=0无实数根 C.对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根 D.至多有一个实数m,使方程x2+mx+1=0有实数根 考点 特称命题的否定 题点 含存在量词命题的否定 答案 C 解析 命题p是特称命题,其否定形式为全称命题,即为对任意的实数m,方程x2+mx+1=0无实数根. 6.已知命题p:存在x∈R,x2+ax+a<0,若命题p是假命题,则实数a的取值范围是(  ) A.[0,4] B.(0,4) C.(-∞,0)∪(4,+∞) D.(-∞,0]∪[4,+∞) 考点 全称命题与特称命题的否定的应用 题点 由全称命题与特称命题的真假求参数范围 答案 A 解析 ∵p是假命题, ∴任意x∈R,x2+ax+a≥0恒成立, ∴Δ=a2-4a≤0,∴0≤a≤4. 7.下列命题中是假命题的是(  ) A.存在m∈R,使f(x)=(m-1)·是幂函数,且在(0,+∞)上是减少的 B.任意a>0,函数f(x)=ln2x+lnx-a有零点 C.存在α,β∈R,使cos(α+β)=cosα+sinβ D.任意φ∈R,函数f(x)=sin(2x+φ)都不是偶函数 考点 全称命题与特称命题的真假判断 题点 全称命题与特称命题的真假判断 答案 D 解析 ∵f(x)为幂函数,∴m-1=1, ∴m=2,f(x)=x-1, ∴f(x)在(0,+∞)上是减少的,故A真; ∵y=ln2x+lnx的值域为, ∴对任意a>0,方程ln2x+lnx-a=0有解, 即f(x)有零点,故B真; 当α=,β=2π时, cos(α+β)=cosα+sinβ成立,故C真; 当φ=时,f(x)=sin(2x+φ)=cos2x为偶函数, 故D为假命题. 8.已知函数f(x)=|2x-1|,若命题“存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2,使得f(x1)>f(x2)”为真命题,则下列结论一定正确的是(  ) A.a≥0B.a<0C.b≤0D.b>1 答案 B 解析 函数f(x)=|2x-1|的图像如图所示. 由图可知f(x)在(-∞,0]上是减少的,在(0,+∞)上是增加的, 所以要满足存在x1,x2∈[a,b]且x1<x2, 使得f(x1)>f(x2)为真命题,则必有a<0,故选B. 9.已知二次函数f(x)=2x2-(a+6)x-2a2-a,若在区间[0,1]内至少存在一个实数b,使f(x)>0,则实数a的取值范围是(  ) A. B. C. D. 考点 存在量词与特称命题的真假判断 题点 存在性问题求参数的范围 答案 A 解析 考虑原命题的否定,即在区间[0,1]内的所有的实数b,使f(b)≤0,所以有即 解得a≤-或a≥0,故若在区间[0,1]内至少存在一个实数b,使f(b)>0,则实数a的取值范围为. 二、填空题 10.命题“存在x∈{x|x是正实数},使<x”的否定为________命题.(填“真”或“假”) 考点 存在量词的否定 题点 含一个量词的命题真假判断 答案 假 解析 命题“存在x∈{x|x是正实数},使<x”是真命题,则该命题的否定是假命题. 11.命题“任意x>0,x+≥1”的否定为________________________. 考点 全称量词的否定 题点 含全称量词的命题的否定 答案 存在x>0,x+<1 12.已知p(x):x2+2x-m>0,如果p(1)是假命题,p(2)是真命题,则实数m的取值范围是________. 考点 全称命题与特称命题的否定的应用 题点 由全称命题与特称命题的真假求参数的范围 答案 [3,8) 解析 因为p(1)是假命题, 所以1+2-m≤0,解得m≥3. 又因为p(2)是真命题,所以4+4-m>0,解得m<8, 故实数m的取值范围是[3,8). 三、解答题 13.判断下列命题的真假,并写出它们的否定: (1)任意α,β∈R,sin(α+β)≠sinα+sinβ; (2)存在x,y∈Z,3x-4y=20; (3)在实数范围内,有些一元二次方程无解. 考点 含有一个量词的命题 题点 含一个量词的命题真假判断 解 (1)当α=β=0时,sin(α+β)=sinα+sinβ,故命题为假命题. 命题的否定为:存在α,β∈R,sin(α+

2020版高中数学 第一章 常用逻辑用语 3.3 全称命题与特称命题的否定学案(含解析)北师大版选修1 -1.docx

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