标签: 2020版高中数学第一章解三角形1.1.1正弦定理学案(含解析)新人教B版必修5  
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doc 1.1.1 正弦定理 学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题. 知识点一 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等. 即:===2R.(R为△ABC外接圆的半径) 知识点二 正弦定理的变形公式 (1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. (2)sinA=,sinB=,sinC=(其中R是△ABC外接圆的半径). 知识点三 解三角形 一般地,把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 1.正弦定理对任意的三角形都成立.( √ ) 2.在△ABC中,等式bsinC=csinB总能成立.( √ ) 3.在△ABC中,已知a,b,A,则能求出唯一的角B.( × ) 4.任意给出三角形的三个元素,都能求出其余元素.( × ) 题型一 已知两角及一边解三角形 例1 在△ABC中,已知A=30°,B=60°,a=10,解三角形. 解 根据正弦定理,得b===10. 又C=180°-(30°+60°)=90°. ∴c===20. 反思感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式:=,=,=,每个等式涉及四个元素,所以只要知道其中的三个就可以求另外一个. (2)因为三角形的内角和为180°,所以已知两角一定可以求出第三个角. 跟踪训练1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B=45°,C=60°,c=1,则△ABC最短边的边长等于(  ) A.B.C.D. 答案 A 解析 由三角形内角和定理,得A=180°-(B+C)=75°,所以B是最小角,b为最短边.由正弦定理,得=,即=,则b=,故选A. 题型二 已知两边及其中一边的对角解三角形 例2 在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,解三角形. 解 ∵=,∴sinC===, ∵c>a,C∈(0°,180°),∴C=60°或C=120°. 当C=60°时,B=75°,b===+1; 当C=120°时,B=15°,b===-1. ∴b=+1,B=75°,C=60°或b=-1,B=15°,C=120°. 引申探究 若把本例中的条件“A=45°”改为“C=45°”,则角A有几个值? 解 ∵=,∴sin A===. ∵c=>2=a,∴C>A. ∴A为小于45°的锐角,且正弦值为,这样的角A只有一个. 反思感悟 这一类型题目的解题步骤为 ①用正弦定理求出另一边所对角的正弦值; ②用三角形内角和定理求出第三个角; ③根据正弦定理求出第三条边. 其中进行①时要注意讨论该角是否可能有两个值. 跟踪训练2 在△ABC中,若a=,b=2,A=30°,则C=. 答案 105°或15° 解析 由正弦定理=, 得sinB===. ∵B∈(0°,180°),∴B=45°或135°, ∴C=180°-45°-30°=105°或C=180°-135°-30°=15°. 题型三 正弦定理的证明 例3 △ABC的外接圆O的半径为R,角A,B,C对应的边分别为a,b,c,证明:===2R. 证明 ①若∠A为直角(如图1所示),在Rt△BAC中,可直接得a=2RsinA; ②在锐角△ABC中,如图2,连接BO并延长,交外接圆于点A′,连接A′C, 则圆周角A′=A. ∵A′B为直径,长度为2R,∴∠A′CB=90°, ∴sinA′==, ∴sinA=,a=2RsinA. ③若∠A为钝角(如图3所示),作直径BA′,连接A′C,则∠A′=π-∠A,在Rt△BCA′中, BC=A′BsinA′=2Rsin(π-A)=2RsinA, 即a=2RsinA. 由①②③得a=2RsinA,即2R=, 同理可证,2R=,2R=. 所以===2R. 反思感悟 引入三角形的外接圆半径,可以加深理解正弦定理的几何意义,更加方便实现三角形中的边角互化. 三角形形状的判断 典例 在△ABC中,已知=,且sin2A+sin2B=sin2C. 求证:△ABC为等腰直角三角形. 证明 ∵=, ∴=, 又∵=, ∴=, ∴a2=b2即a=b, 设===k(k≠0), 则sin A=,sin B=,sin C=, 又∵sin2A+sin2B=sin2C, ∴+=,即a2+b2=c2, ∴△ABC为等腰直角三角形. [素养评析] (1)正弦定理是以比例的形式给出来的,所以在应用时要注意结合比例的基本性质. (2)正弦定理可以实现边角互化. (3)判断和证明要掌握推理的基本形式和规则,形成重论据、有条理、合逻辑的思维品质,突出体现逻辑推理的数学核心素养. 1.在△ABC中,一定成立的等式是(  ) A.asinA=bsinB B.acosA=bcosB C.asinB=bsinA D.acosB=bcosA 答案 C 解析 由正弦定理=,得asinB=bsinA,故选C. 2.在△ABC中,若sinA=sinC,则△ABC是(  ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 答案 B 解析 由sinA=sinC及正弦定理,知a=c, ∴△ABC为等腰三角形. 3.在△ABC中,已知a=8,B=60°,C=75°,则b等于(  ) A.4 B.4 C.4 D.4 答案 C 解析 易知A=45°,由=得 b===4. 4.在△ABC中,若a=,b=,B=,则A=. 答案 或 解析 由正弦定理,得sinA===, 又A∈(0,π),a>b,∴A>B,∴A=或. 5.在△ABC中,已知a=,sinC=2sinA,则c=. 答案 2 解析 由正弦定理,得c==2a=2. 1.正弦定理的表示形式:===2R, 或a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(其中R为△ABC外接圆的半径). 2.正弦定理的应用范围 (1)已知两角和任一边,求其他两边和其余一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边和其余两角. 3.已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值. (2)如果已知的角为大边所对的角,由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求唯一锐角. (3)如果已知的角为小边所对的角,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求得两个角,要分类讨论. 一、选择题 1.在△ABC中,a=5,b=3,则sinA∶sinB的值是(  ) A.B.C.D. 答案 A 解析 根据正弦定理,得==. 2.在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=2,则c等于(  ) A.1B.2C.D. 答案 B 解析 ∵A=105°,B=45°,∴C=30°. 由正弦定理,得c===2. 3.在△ABC中,a=bsinA,则△ABC一定是(  ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 答案 B 解析 由题意可知=b=,则sinB=1, 又B∈(0,π),故B为直角,△ABC是直角三角形. 4.在△ABC中,若=,则C的值为(  ) A.30°B.45°C.60°D.90° 答案 B 解析 由正弦定理知=, ∴=,∴cosC=sinC,∴tanC=1, 又∵C∈(0°,180°),∴C=45°. 5.在△ABC中,若sinA>sinB,则A与B的大小关系为(  ) A.A>B B.A<B C.A≥B D.A,B的大小关系不确定 答案 A 解析 设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c, ∵sinA>sinB, ∴2RsinA>2RsinB(R为△ABC外接圆的半径), 即a>b,故A>B. 6.在△ABC中,已知A=,a=,b=1,则c的值为(  ) A.1B.2C.-1D. 答案 B 解析 由正弦定理=, 可得=,∴sinB=, 由a>b,得A>B,∴B∈,∴B=. 故C=,由勾股定理得c=2. 7.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cosB等于(  ) A.-B.C.-D. 答案 D 解析 由正弦定理,得=, ∴sinB===. ∵a>b,∴A>B,又∵A=60°,∴B为锐角. ∴cosB===. 8.(2018·北京高二检测)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,则cosC等于(  ) A. B.- C.± D. 答案 A 解析 因为在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=5c,C=2B,所以8sin B=5sin C=5sin 2B=10sin Bcos B,所以cos B=,又B为三角形内角,所以sin B==. 所以sinC=sin2B=2××=. 又cosB>cos45°,所以B<45°,C=2B<90°, cosC==. 二、填空题 9.在△ABC中,已知a=2,A=60°,则△ABC的外接圆的直径为. 答案  解析 △ABC外接圆直径2R===. 10.在△ABC中,若-=0,则△ABC的形状一定是三角形. 答案 等腰 解析 由正弦定理,=, 得-=-=0, ∴a2=b2,a=b. ∴△ABC为等腰三角形. 11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若满足B=60°,c=2的三角形有两解,则b的取值范围为. 答案 (,2) 解析 在△ABC中,B=60°,c=2,由正弦定理可得=,得c=.若此三角形有两解,则必须满足的条件为c>b>csinB,即2>b>,故答案为(,2). 三、解答题 12.已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=10,A=45°,C=30°,求a,b和B. 解 ∵=, ∴a===10. B=180°-(A+C)=180°-(45°+30°)=105°. 又∵=, ∴b===20sin 75° =20×=5(+). 13.在△ABC中,acos=bcos,试判断△ABC的形状. 解 方法一 ∵acos=bcos, ∴asinA=bsinB. 由正弦定理,可得a·=b·, ∴a2=b2,∴a=b, ∴△ABC为等腰三角形. 方法二 ∵acos=bcos, ∴asinA=bsinB. 由正弦定理,可得2Rsin2A=2Rsin2B, 又∵A,B∈(0,π), ∴sinA=sinB, ∴A=B(A+B=π不合题意,舍去). 故△ABC为等腰三角形. 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=. 答案  解析 在△ABC中,由cosA=,cosC=,可得sinA=,sinC=,sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA·sinC=,又a=1,由正弦定理得b==. 15.在△ABC中,若b=5,B=,tanA=2,则sinA=,a=. 答案  2 解析 由tanA=2,得sinA=2cosA, 由sin2A+cos2A=1及0<A<π,得sinA=, ∵b=5,B=,由正弦定理=, 得a===2.

2020版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理学案(含解析)新人教B版必修5.docx

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