标签: 2020版高中数学第一章解三角形阶段训练一(含解析)新人教B版必修5  
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doc 阶段训练一 (范围:§1.1~§1.2) 一、选择题 1.在△ABC中,已知b=3,c=3,A=30°,则角C等于(  ) A.30°B.60°或120°C.60°D.120° 答案 D 解析 由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA,即a=3,根据正弦定理有=, 故sinC=,故C=60°或120°.若C=60°, 则B=90°>C,而b<c,不满足大边对大角, 故C=120°. 2.已知a,b,c为△ABC的三边长,若满足(a+b-c)(a+b+c)=ab,则C的大小为(  ) A.60°B.90°C.120°D.150° 答案 C 解析 ∵(a+b-c)(a+b+c)=ab, ∴a2+b2-c2=-ab,即=-, ∴cosC=-,∵C∈(0°,180°),∴C=120°. 3.为了测某塔AB的高度,在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°,塔基的俯角为45°,那么塔AB的高为(  ) A.20mB.20mC.20(1+)m D.30m 答案 A 解析 塔的高度为20tan30°+20tan45°=20(m). 4.已知△ABC的三内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,设向量p=(a+c,b),q=(b-a,c-a),若p∥q,则角C的大小为(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由p∥q,得(a+c)(c-a)-b(b-a)=0, 即c2-a2-b2+ab=0,即==cosC, 又C∈(0,π),所以C=. 5.在△ABC中,sinA=,则△ABC为(  ) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰或直角三角形 答案 C 解析 由已知得cosB+cosC=, 由正弦、余弦定理得+=, 即a2(b+c)-(b+c)(b2-bc+c2)=bc(b+c), 即a2=b2+c2, 故△ABC是直角三角形. 6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sinA),则A等于(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 ∵b=c,∴B=C, 又B=π-(A+C),∴2B=π-A. 由正弦定理,得sin2A=2sin2B(1-sinA), sin2A=(1-cos2B)(1-sinA), ∴sin2A=[1-cos(π-A)](1-sinA) =(1+cosA)(1-sinA), 1-cos2A=(1+cosA)(1-sinA), ∵A∈(0,π),∴1+cosA≠0, ∴1-cosA=1-sinA, ∴sinA=cosA,A=. 7.(2018·银川模拟)在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若S△ABC=2,a+b=6,=2cosC,则c等于(  ) A.2B.4C.2D.3 答案 C 解析 ∵=2cosC, 由正弦定理, 得sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosC, ∴sin(A+B)=sinC=2sinCcosC, 由于0<C<π,sinC≠0,∴cosC=,∴C=, ∵S△ABC=2=absinC=ab,∴ab=8, 又a+b=6,解得或 c2=a2+b2-2abcosC=4+16-8=12, ∴c=2. 二、填空题 8.(2018·浙江)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sinB=________,c=________. 答案  3 解析 如图, 由正弦定理=, 得sinB=·sinA=×=. 由余弦定理a2=b2+c2-2bc·cosA, 得7=4+c2-4c×cos60°, 即c2-2c-3=0,解得c=3或c=-1(舍去). 9.已知在△ABC中,3a2-2ab+3b2-3c2=0,则cosC的值为________. 答案  解析 由3a2-2ab+3b2-3c2=0, 得c2=a2+b2-ab. 根据余弦定理得cos C= ==, 所以cos C=. 10.在△ABC中,sinA=,a=10,则边长c的取值范围是________. 答案  解析 ∵==,∴c=sin C,∴0<c≤. 11.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A船到灯塔的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°处,A,B两船间的距离为3km,则B船到灯塔C的距离为________km. 答案 -1 解析 由题意知,∠ACB=80°+40°=120°, AC=2km,AB=3km, 设B船到灯塔C的距离为xkm,即BC=xkm. 由余弦定理可知AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos∠ACB, 即9=4+x2-2×2x×, 整理得x2+2x-5=0, 解得x=-1-(舍去)或x=-1+. 三、解答题 12.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知 3cos(B-C)-1=6cosBcosC. (1)求cosA; (2)若a=3,△ABC的面积为2,求b,c. 解 (1)∵3(cosBcosC+sinBsinC)-1=6cosBcosC, ∴3cosBcosC-3sinBsinC=-1, ∴3cos(B+C)=-1,∴cos(π-A)=-, ∴cosA=. (2)由(1)得sinA=, 由面积公式bcsinA=2,得bc=6,① 根据余弦定理,得 cosA===, 则b2+c2=13,② ①②两式联立可得b=2,c=3或b=3,c=2. 13.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知c=2,C=. (1)若△ABC的面积等于,求a,b. (2)若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积. 解 (1)由余弦定理及已知条件得 a2+b2-ab=4, ① 又S△ABC=absin C=ab=, 得ab=4, ② ①②联立解得a=2,b=2. (2)由题设得sin(B+A)+sin(B-A)=2sin 2A, 即sin Bcos A=2sin Acos A, 当cos A=0时,A=,B=, 根据正弦定理,得a=,b=, 此时S△ABC=absin C=, 当cos A≠0时,sin B=2sin A, 由正弦定理得,b=2a, ③ 联立①③解得a=,b=, 则S△ABC=absin C=. 综上可得S△ABC=. 14.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边,若D为BC的中点,·=,则B=________. 答案 30° 解析 ∵D为BC的中点,∴=(+). 又=-,∴·=(+)·(-)=(2-2)=(b2-c2), ∴(b2-c2)=,∴b2=a2+c2-ac. ∴由余弦定理b2=a2+c2-2accosB知,cosB=, 又0°<B<180°,∴B=30°. 15.在△ABC中,设角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos2A=sin2B+cos2C+sin Asin B. (1)求角C的大小; (2)若c=,求△ABC周长的取值范围. 解 (1)由题意知1-sin2A=sin2B+1-sin2C+sinAsinB, 即sin2A+sin2B-sin2C=-sinAsinB, 由正弦定理得a2+b2-c2=-ab, 由余弦定理得cosC===-, 又0<C<π,∴C=. (2)∵====2, ∴a=2sinA,b=2sinB, 则△ABC的周长L=a+b+c=2(sinA+sinB)+=2+ =2sin+. ∵0<A<,∴<A+<, ∴<sin≤1, ∴2<2sin+≤2+, ∴△ABC周长的取值范围是(2,2+].

2020版高中数学 第一章 解三角形 阶段训练一(含解析)新人教B版必修5.docx

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