标签: 2020版高中数学第三章不等式3.3一元二次不等式及其解法(第1课时)一元二次不等式及其解法(一)学案(含解析)新人教B版必修5  
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doc 第1课时 一元二次不等式及其解法(一) 学习目标 1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌握图象法解一元二次不等式.3.能从实际问题中抽象出一元二次不等式并解决. 知识点一 一元二次不等式的概念 1.一般地,含有一个未知数,且未知数的最高次数是2的整式不等式,叫做一元二次不等式. 2.一元二次不等式的一般表达形式为ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0),其中a,b,c均为常数. 3.能使不等式成立的未知数x的一个值称为不等式的一个解. 4.不等式所有解的集合称为解集. 知识点二 “三个二次”的关系 一元二次不等式与相应的一元二次方程、二次函数的联系,如下表. Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根 x1,x2(x1<x2) 有两相等实根 x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 知识点三 一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的步骤: (1)化为基本形式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(其中a>0); (2)计算Δ=b2-4ac,以确定一元二次方程ax2+bx+c=0是否有解; (3)有根求根; (4)根据图象写出不等式的解集. 1.x2>1的一个解是x=-2.解集是(-∞,-1)∪(1,+∞).( √ ) 2.方程x2-1=0相当于函数y=x2-1中y=0.( √ ) 3.如果关于x的方程ax2+bx+c=0无解,则不等式ax2+bx+c>0也无解.( × ) 4.x2-1>0与1-x2<0的解集相等.( √ ) 题型一 一元二次不等式的解法 命题角度1 二次项系数大于0 例1 求不等式4x2-4x+1>0的解集. 解 因为Δ=(-4)2-4×4×1=0, 所以方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=, 所以原不等式的解集为. 反思感悟 在求解一元二次不等式的过程中,要密切结合一元二次方程的根的情况以及二次函数的图象. 跟踪训练1 求不等式2x2-3x-2≥0的解集. 解 ∵2x2-3x-2=0的两解为x1=-,x2=2, 且a=2>0, ∴不等式2x2-3x-2≥0的解集是. 命题角度2 二次项系数小于0 例2 解不等式-x2+2x-3>0. 解 不等式可化为x2-2x+3<0. 因为Δ=(-2)2-4×3=-8<0, 方程x2-2x+3=0无实数解, 而y=x2-2x+3的图象开口向上, 所以原不等式的解集是∅. 反思感悟 将二次项系数小于0的不等式进行转化过程中要注意不等号的变化,化归为二次项系数大于0的不等式,是为了减少记忆负担. 跟踪训练2 求不等式-3x2+6x>2的解集. 解 不等式可化为3x2-6x+2<0, ∵Δ=(-6)2-4×3×2=12>0, ∴x1=1-,x2=1+, ∴不等式-3x2+6x>2的解集是. 题型二 “三个二次”间对应关系的应用 例3 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为{x|1<x<2},试求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集. 解 由根与系数的关系,可得即 ∴不等式bx2+ax+1>0, 即2x2-3x+1>0. 解得x<或x>1. ∴bx2+ax+1>0的解集为. 反思感悟 给出一元二次不等式的解集,相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点,可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数. 跟踪训练3 已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1<x<2},求a,b的值. 解 方法一 由题设条件知a>0,且1,2是方程ax2-bx+2=0的两实根. 由根与系数的关系,知解得 方法二 把x=1,2分别代入方程ax2-bx+2=0中, 得解得 数形结合解不等式 典例 函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的实数x的取值范围是(  ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 答案 D 解析 根据函数f(x)的性质可画出f(x)图象示意图: 不等式-1≤f(x)≤1的几何意义为当函数f(x)的纵坐标介于[-1,1]之间时,求横坐标x的取值集合.由已知,使-1≤f(x)≤1成立的x满足-1≤x≤1,所以由-1≤f(x-2)≤1得-1≤x-2≤1,即1≤x≤3,故选D. [素养评析] 直观想象素养的主要表现为:能建立形与数(如本例-1≤f(x)≤1与f(x)图象)的联系;利用几何图形描述问题(f(x)的图象介于y=-1,y=1两直线之间);借助几何直观理解问题(满足条件的图象部分的横坐标集合即所求解集). 1.不等式2x2-x-1>0的解集是(  ) A. B.{x|x>1} C.{x|x<1或x>2} D. 答案 D 解析 ∵2x2-x-1=(2x+1)(x-1),∴由2x2-x-1>0,得(2x+1)(x-1)>0,解得x>1或x<-,∴不等式的解集为. 2.不等式-x2-x+2>0的解集为_____________. 答案 {x|-2<x<1} 解析 由原式得x2+x-2<0,得-2<x<1, 故其解集为{x|-2<x<1}. 3.若不等式x2-2ax+a≤-1有唯一解,则a的值为______. 答案  解析 若不等式x2-2ax+a≤-1有唯一解,则x2-2ax+a=-1有两个相等的实根,所以Δ=4a2-4(a+1)=0,解得a=. 4.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x|-7<x<-1},那么实数a的值是________. 答案 3 解析 由题意可知-7和-1为方程ax2+8ax+21=0的两个根.∴-7×(-1)=,故a=3. 5.某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位:天)的函数关系是f(t)=t+10(0<t≤30,t∈N);销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=-t+35(0<t≤30,t∈N),则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为________. 答案 {t|10≤t≤15,t∈N} 解析 日销售金额=(t+10)(-t+35), 依题意有(t+10)(-t+35)≥500, 解得解集为{t|10≤t≤15,t∈N}. 1.解一元二次不等式的常见方法 (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系,可以得到解一元二次不等式的一般步骤: ①化不等式为标准形式:ax2+bx+c>0(a>0)或ax2+bx+c<0(a>0); ②求方程ax2+bx+c=0(a>0)的根,并画出对应函数y=ax2+bx+c图象的简图; ③由图象得出不等式的解集. (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解. 当m<n时,若(x-m)(x-n)>0,则可得{x|x>n或x<m}; 若(x-m)(x-n)<0,则可得{x|m<x<n}. 有口诀如下:大于取两边,小于取中间. 2.实际问题要注意变量的实际含义对变量范围的影响,如长度应该大于0,人数应该为自然数等. 3.由一元二次不等式的解集可以逆推二次函数的开口及与x轴的交点坐标. 一、选择题 1.不等式6x2+x-2≤0的解集为(  ) A. B. C. D. 答案 A 解析 因为6x2+x-2≤0⇔(2x-1)·(3x+2)≤0,所以原不等式的解集为. 2.(2016·全国Ⅰ)设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B等于(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 由A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3},B={x|2x-3>0}=,得A∩B==,故选D. 3.若0<t<1,则关于x的不等式(t-x)>0的解集是(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵0<t<1,∴>1,∴>t. ∴(t-x)>0⇔(x-t)<0⇔t<x<. 4.函数y=的定义域为(  ) A.[-7,1] B.(-7,1) C.(-∞,-7]∪[1,+∞) D.(-∞,-7)∪(1,+∞) 答案 B 解析 由7-6x-x2>0,得x2+6x-7<0,即(x+7)(x-1)<0,所以-7<x<1,故选B. 5.不等式<2的解集为(  ) A.{x|x≠-2} B.R C.∅ D.{x|x<-2或x>2} 答案 A 解析 ∵x2+x+1>0恒成立, ∴原不等式⇔x2-2x-2<2x2+2x+2⇔x2+4x+4>0⇔(x+2)2>0, ∴x≠-2.∴不等式的解集为{x|x≠-2}. 6.设函数f(x)=则不等式f(x)>f(1)的解集是(  ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 答案 A 解析 f(1)=12-4×1+6=3, 当x≥0时,x2-4x+6>3,解得x>3或0≤x<1; 当x<0时,x+6>3,解得-3<x<0. 所以f(x)>f(1)的解集是(-3,1)∪(3,+∞). 7.已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为(  ) A.{x|x<-1或x>-lg2} B.{x|-1<x<-lg2} C.{x|x>-lg2} D.{x|x<-lg2} 答案 D 解析 由题知,一元二次不等式f(x)>0的解集为,即-1<10x<,解得x<-lg 2. 8.已知f(x)=(x-a)(x-b)+2(a<b),且α,β(α<β)是方程f(x)=0的两根,则α,β,a,b的大小关系是(  ) A.a<α<β<b B.a<α<b<β C.α<a<b<β D.α<a<β<b 答案 A 解析 设g(x)=(x-a)(x-b), 则g(x)向上平移2个单位长度得到f(x)的图象, 由图易知a<α<β<b. 二、填空题 9.不等式-1<x2+2x-1≤2的解集是_____________________. 答案 {x|-3≤x<-2或0<x≤1} 解析 ∵∴-3≤x<-2或0<x≤1. 10.不等式x2-3|x|+2≤0的解集为__________. 答案 {x|-2≤x≤-1或1≤x≤2} 解析 原不等式等价于|x|2-3|x|+2≤0,即1≤|x|≤2. 当x≥0时,1≤x≤2;当x<0时,-2≤x≤-1. 所以原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1或1≤x≤2}. 11.已知x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解,则k的取值范围是______________. 答案 (-∞,2]∪[4,+∞) 解析 x=1是不等式k2x2-6kx+8≥0的解, 把x=1代入不等式得k2-6k+8≥0,解得k≥4或k≤2. 三、解答题 12.已知全集U={x|x2>1},集合A={x|x2-4x+3<0},求∁UA. 解 依题意,∁UA中的元素应满足 即解得∁UA={x|x<-1或x≥3}. 13.若不等式ax2+bx+c≥0的解集为,求关于x的不等式cx2-bx+a<0的解集. 解 由ax2+bx+c≥0的解集为, 知a<0,且关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别为-,2, ∴ ∴b=-a,c=-a, ∴不等式cx2-bx+a<0可变形为 x2-x+a<0, 即2ax2-5ax-3a>0. 又∵a<0,∴2x2-5x-3<0, 解得-<x<3, ∴所求不等式的解集为. 14.已知集合A={x|x2-x-12<0},集合B={x|x2+2x-8>0},集合C={x|x2-4ax+3a2<0,a≠0},若C⊇(A∩B),则实数a的取值范围是______________. 答案  解析 A={x|-3<x<4},B={x|x<-4或x>2}, ∴A∩B={x|2<x<4}, 要使C⊇(A∩B), 需 即 解得≤a≤2,即a的取值范围为. 15.解不等式|x-2|-|x-5|≥x2-8x+14. 解 设f(x)=|x-2|-|x-5|. ①当x≤2时,f(x)=-3,而x2-8x+14=(x-4)2-2≥-2, ∴f(x)≥x2-8x+14无解; ②当2<x<5时,f(x)=2x-7, 原不等式等价于解得3≤x<5; ③当x≥5时,f(x)=3,原不等式等价于 解得5≤x≤4+. 综上,原不等式的解集为[3,4+].

2020版高中数学 第三章 不等式 3.3 一元二次不等式及其解法(第1课时)一元二次不等式及其解法(一)学案(含解析)新人教B版必修5.docx

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