标签: 2020版高中数学第三章不等式3.5.1二元一次不等式(组)所表示的平面区域学案(含解析)新人教B版必修5  
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doc 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域 学习目标 1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念.2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域.3.能把平面区域用不等式(组)表示. 知识点一 二元一次不等式(组)的概念 1.含有两个未知数,并且未知数的最高次数是1的不等式称为二元一次不等式. 2.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 3.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x,y)称为二元一次不等式(组)的一个解. 4.所有这样的有序数对(x,y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集. 知识点二 二元一次不等式表示的平面区域 1.在平面直角坐标系中,二元一次不等式Ax+By+C>0(或<0)表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域,把直线画成虚线以表示区域不包括边界. 不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界,把边界画成实线. 2.对于直线Ax+By+C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得值的符号都相同. 3.在直线Ax+By+C=0的一侧取某个特殊点(x0,y0)作为测试点,由Ax0+By0+C的符号可以断定Ax+By+C>0(或<0)表示的是直线Ax+By+C=0哪一侧的平面区域. 知识点三 二元一次不等式组表示的平面区域 1.二元一次不等式组的解集为组中各不等式解集的交集,其表示的平面区域是组中各不等式表示区域的公共部分. 2.画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤: (1)画线——画出不等式组中各不等式所对应的方程表示的直线(如果原不等式中带等号,则画成实线,否则画成虚线); (2)定侧——将某个区域内的一个特殊点的坐标代入不等式,根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧; (3)求交——在确定了各个不等式所表示的平面区域后,再求这些平面区域的公共部分,这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域,“直线定界,特殊点定域”的方法仍然适用. 1.点(1,2)是不等式组的解.( × ) 2.x>1也可理解为二元一次不等式,其表示的平面区域位于直线x=1右侧.( √ ) 3.点(1,2)不在2x+y-1>0表示的平面区域内.( × ) 4.表示的平面区域为第一象限.( √ ) 题型一 二元一次不等式解的几何意义 例1 已知点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧,则a的取值范围是________. 答案 (-7,24) 解析 点(3,1)和(-4,6)必有一个是3x-2y+a>0的解,另一个点是3x-2y+a<0的解. ∴或 即(3×3-2×1+a)[3×(-4)-2×6+a]<0, (a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24. 反思感悟 对于直线l:Ax+By+C=0两侧的点(x1,y1),(x2,y2),若Ax1+By1+C>0,则Ax2+By2+C<0,即同侧同号,异侧异号. 跟踪训练1 经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,求直线l的斜率k的取值范围. 解 由题意知直线l的斜率存在,设为k. 则可设直线l的方程为kx-y-1=0, 由题意知A,B两点在直线l上或在直线l的两侧,所以有(k+1)(2k-2)≤0,所以-1≤k≤1. 题型二 二元一次不等式(组)表示的平面区域 命题角度1 给不等式画平面区域 例2 画出不等式x+4y<4表示的平面区域. 解 先作出边界x+4y=4, 因为这条线上的点都不满足x+4y<4, 所以画成虚线.取原点(0,0),代入x+4y-4, 因为0+4×0-4=-4<0, 所以原点(0,0)在x+4y-4<0表示的平面区域内, 所以不等式x+4y<4表示的平面区域在直线x+4y=4的左下方. 所以x+4y<4表示的平面区域如图阴影部分所示. 反思感悟 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界,特殊点定域”的方法.特别是当C≠0时,常把原点(0,0)作为测试点,当C=0时,常把(0,1)或(1,0)作为测试点. 跟踪训练2 不等式x-2y+6>0表示的平面区域在直线x-2y+6=0的(  ) A.右上方B.右下方C.左上方D.左下方 答案 B 解析 在平面直角坐标系中画出直线x-2y+6=0, 观察图象(图略)知原点在直线的右下方,将原点(0,0)代入x-2y+6,得0-0+6=6>0,所以原点(0,0)在不等式x-2y+6>0表示的平面区域内,故选B. 命题角度2 给不等式组画平面区域 例3 画出下列不等式组所表示的平面区域. (1) (2) 解 (1)x-2y≤3,即x-2y-3≤0,表示直线x-2y-3=0上及左上方的区域; x+y≤3,即x+y-3≤0,表示直线x+y-3=0上及左下方的区域;x≥0表示y轴及其右边区域; y≥0表示x轴及其上方区域. 综上可知,不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示. (2)x-y<2,即x-y-2<0,表示直线x-y-2=0左上方的区域; 2x+y≥1,即2x+y-1≥0,表示直线2x+y-1=0上及右上方的区域; x+y<2表示直线x+y=2左下方的区域. 综上可知,不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示. 反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时,应先画出每个不等式表示的区域,再取它们的公共部分即可.其步骤:①画线;②定侧;③求“交”;④表示.但要注意是否包含边界. 跟踪训练3 画出|x|+|y|≤1表示的平面区域. 解 当x≥0且y≥0时,|x|+|y|≤1,即x+y≤1. 由可画出区域如图(1)      图(1)       图(2) 若点(x,y)满足|x|+|y|≤1. 则点(-x,y),(x,-y)也满足|x|+|y|≤1. ∴|x|+|y|≤1表示的平面区域关于x轴,y轴对称. ∴|x|+|y|≤1表示的平面区域如图(2). 题型三 求区域面积 例4 在平面直角坐标系中,求不等式组表示的平面区域的面积. 解 在平面直角坐标系中,作出x+y-2=0,x-y+2=0和x=2三条直线,利用特殊点(0,0)可知可行域如图阴影部分(含边界)所示, 所以面积为S=×4×2=4. 反思感悟 求平面区域的面积的方法 求平面区域的面积,先画出不等式组表示的平面区域,然后根据区域的形状求面积.若图形为规则的,则直接利用面积公式求解;若图形为不规则图形,可采取分割的方法,将平面区域分为几个规则图形求解. 跟踪训练4 不等式组所表示的平面区域的面积等于(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 作出平面区域如图所示为△ABC, 由可得A(1,1), 又B(0,4),C, ∴S△ABC=·|BC|·|xA|=××1=,故选C. 数形结合的魅力 典例 我们可以验证点(1,2)是不等式x-y<6的一个解.怎么证明直线x-y=6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是x-y<6的解? 证明 设点A(x0,y0)位于直线x-y=6左上方区域, 则过点A作直线AB∥y轴,交直线x-y=6于点B. 设B(x0,y1),则有y0>y1. ∵B在直线x-y=6上, ∴x0-y1=6. 由y0>y1,得-y0<-y1,x0-y0<x0-y1=6. 即点(x0,y0)满足不等式x-y<6. ∴x-y=6左上方半平面区域任一点均是x-y<6的解. [素养评析] 提升学生的数形结合能力,是培养直观想象核心素养的一大具体任务,本例证明任务是代数问题:不等式的解的问题.在证明过程中,我们把“直线左上方区域”这一几何条件,转化成数:y0>y1,再借助代数手段:不等式性质,严谨证明了一个初看无从下手的问题,完善诠释了数形结合的魅力. 1.不在不等式3x+2y<6表示的平面区域内的一个点是(  ) A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0) 答案 D 解析 将四个点的坐标分别代入不等式中,其中点(2,0)代入后不等式不成立,故此点不在不等式3x+2y<6表示的平面区域内,故选D. 2.已知点(-1,2)和点(3,-3)在直线3x+y-a=0的两侧,则a的取值范围是(  ) A.(-1,6) B.(-6,1) C.(-∞,-1)∪(6,+∞) D.(-∞,-6)∪(1,+∞) 答案 A 解析 由题意知,(-3+2-a)(9-3-a)<0, 即(a+1)(a-6)<0,∴-1<a<6. 3.画出下列二元一次不等式表示的平面区域. (1)x-2y+4≥0;(2)y>2x. 解 (1)画出直线x-2y+4=0, ∵0-2×0+4=4>0, ∴x-2y+4≥0表示的区域为含(0,0)的一侧(包含边界),因此所求的平面区域为如图所示的区域,包括边界. (2)画出直线y-2x=0, ∵0-2×1=-2<0, ∴y-2x>0(即y>2x)表示的区域为不含(1,0)的一侧, 因此所求的平面区域为如图所示的区域,不包括边界. 4.(1)画出表示的平面区域; (2)画出(y-2x)(x-2y+4)≥0表示的平面区域. 解  1.二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点,解集对应点集一般形成一个平面区域. 2.画边界直线.画出不等式所对应的方程表示的直线,若此区域包括边界,则直线画成实线;若不包括边界,则画成虚线(即看不等式能否取到等号). 3.特殊点定域.确定边界后,只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时,常取原点,在边界上时,取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式,若满足不等式,则区域为特殊点所在一侧,不满足,则为另一侧. 简记为“直线定界,特殊点定域”. 一、选择题 1.在3x+5y<4表示的平面区域内的一个点是(  ) A.(2,0) B.(-1,2) C.(1,1) D.(-1,1) 答案 D 解析 将点(-1,1)代入3x+5y<4,得2<4,所以点(-1,1)在不等式3x+5y<4表示的平面区域内,故选D. 2.点A(-2,b)不在平面区域2x-3y+5≥0内,则b的取值范围是(  ) A.b≤B.b<1C.b>D.b>-9 答案 C 解析 依题意,点A(-2,b)满足2x-3y+5<0, ∴2×(-2)-3b+5<0,即b>. 3.不等式组表示的平面区域内整点(横坐标、纵坐标都是整数的点)的个数是(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 答案 C 解析 画出可行域后(图略),可按x=0,x=1,x=2,x=3分类代入检验,符合要求的点有(0,0),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1),(3,0),共6个. 4.下列选项中与点(1,2)位于直线2x-y+1=0的同一侧的是(  ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.(1,0) 答案 D 解析 ∵2×1-2+1=1>0, ∴点(1,2)位于2x-y+1>0表示的平面区域内,而四个点(-1,1),(0,1),(-1,0),(1,0)中只有(1,0)满足2x-y+1>0. 5.已知点(-3,-1)和(4,-6)分别在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围是(  ) A.(-24,7) B.(-7,24) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) 答案 B 解析 因为点(-3,-1)和(4,-6)分别在直线3x-2y-a=0的两侧,所以[3×(-3)-2×(-1)-a]×[3×4-2×(-6)-a]<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24,故选B. 6.如图所示,表示阴影部分的二元一次不等式组是(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 观察图象可知,阴影部分在直线y=-2的上方,且不包含直线y=-2,故可得不等式y>-2.又阴影部分在直线x=0左边,且包含直线x=0,故可得不等式x≤0.由图象可知,第三条边界线过点(-2,0),点(0,3),故可得直线3x-2y+6=0,因为此直线为虚线且原点O(0,0)在阴影部分内,故可得不等式3x-2y+6>0.观察选项可知选C. 7.不等式组表示的平面区域的面积等于(  ) A.28B.16C.D.121 答案 B 解析 作出不等式组表示的平面区域(图略),可知该区域为等腰直角三角形,其三个顶点的坐标分别为(3,-3),(3,5),(-1,1),所以其面积S=×8×4=16. 8.不等式组表示的平面区域是一个(  ) A.三角形 B.直角梯形 C.梯形 D.矩形 答案 C 解析 在同一坐标系中画出直线x-y+5=0及x+y=0,取点(0,1),代入(x-y+5)(x+y)中,得(-1+5)×1=4>0,可知点(0,1)在不等式(x-y+5)(x+y)≥0表示的区域内,再画出直线x=0和x=3,则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分,它是一个梯形. 二、填空题 9.如图所示的区域用不等式可表示为_____________________________________. 答案 5x-2y+10>0 解析 过(-2,0),(0,5)的直线方程为+=1, 即5x-2y+10=0. 代入(0,0)得5×0-2×0+10>0, ∴(0,0)所在区域为5x-2y+10>0. 10.(2018·柯桥区期末)在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的面积是________. 答案  解析 作出不等式组对应的平面区域如图所示, 则对应区域为三角形ABC, 其中A(0,2),B(1,2),C(1,1), 则△ABC的面积S=×1×1=. 11.记不等式组所表示的平面区域为D,若直线y=a(x+1)与D有公共点,则a的取值范围是________. 答案  解析 不等式组所表示的平面区域D为如图所示阴影部分(含边界), 且A(1,1),B(0,4),C. 直线y=a(x+1)恒过定点P(-1,0),且斜率为a. 由斜率公式可知kAP=,kBP=4. 若直线y=a(x

2020版高中数学 第三章 不等式 3.5.1 二元一次不等式(组)所表示的平面区域学案(含解析)新人教B版必修5.docx

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