标签: 2020版高中数学第三章不等式阶段训练四(含解析)新人教B版必修5  
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doc 阶段训练四 (范围:§3.1~§3.2) 一、选择题 1.给定下列命题: ①a>b⇒a2>b2;②a2>b2⇒a>b;③a>b⇒<1;④a>b⇒<. 其中正确的命题个数是(  ) A.0B.1C.2D.3 答案 A 解析 对于①②,只有当a>b>0时,a2>b2才成立,故①②都错误; 对于③,只有当a>0且a>b时,<1才成立,故③错误; 当a>0,b<0时,④错误. 2.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为(  ) A.16B.25C.9D.36 答案 B 解析 (1+x)(1+y)≤2 =2=2=25,当且仅当1+x=1+y,即x=y=4时等号成立,所以(1+x)(1+y)的最大值为25,故选B. 3.已知a,b∈(0,1),记M=ab,N=a+b-1,则M与N的大小关系是(  ) A.M<NB.M=NC.M>ND.不确定 答案 C 解析 M-N=ab-a-b+1=(1-a)(1-b)>0, ∴M>N. 4.若x>0,y>0,M=,N=+,则M,N的大小关系是(  ) A.M=N B.M<N C.M≤N D.M>N 答案 B 解析 ∵x>0,y>0, ∴x+y+1>1+x>0,1+x+y>1+y>0, ∴<,<, 故M==+<+=N,即M<N. 5.若a>b>c,则下列不等式成立的是(  ) A.> B.< C.ac>bc D.ac<bc 答案 B 解析 因为a>b>c,所以a-c>0,b-c>0,且a-c>b-c,所以<. 6.已知x>0,y>0,2x+3y=6,则xy的最大值为(  ) A.B.3C.D.1 答案 C 解析 因为x>0,y>0,2x+3y=6, 所以xy=(2x·3y)≤·2=·2=. 当且仅当2x=3y=3,即x=,y=1时等号成立,即xy的最大值为. 7.函数y=(x>1)在x=t处取得最小值,则t等于(  ) A.1+ B.2 C.3 D.4 答案 B 解析 ∵x-1>0,∴y==x+=x-1++1≥2+1=3, 当且仅当x-1=,即x=2时,等号成立. 二、填空题 8.已知函数f(x)=ax+b,0<f(1)<2,-1<f(-1)<1,则2a-b的取值范围是________. 答案  解析 由函数的解析式可知0<a+b<2,-1<-a+b<1, 且2a-b=(a+b)-(-a+b), 结合不等式的性质可得, 2a-b∈. 9.在数列{an}中,若an=,则an与an+1的大小关系为________. 答案 an<an+1 解析 ∵an+1-an=- = =>0, ∴an+1>an. 10.已知0<x<1,则f(x)=2+log2x+的最大值是________. 答案 2-2 解析 当0<x<1时,log2x<0, 所以f(x)=2+log2x+ =2-≤2-2. 当且仅当-log2x=, 即(log2x)2=5,即x=时,等号成立. 11.已知x>0,y>0,且+=1,若对任意x>0,y>0,x+y>m2+8m恒成立,则实数m的取值范围是________. 答案 (-9,1) 解析 ∵x>0,y>0,且+=1,∴x+y=(x+y)·=1+++4≥9(当且仅当x=3,y=6时取等号),∴(x+y)min=9.又∵对任意x>0,y>0,x+y>m2+8m恒成立,∴m2+8m<9,解得-9<m<1. 12.一批货物随17列货车从A市以v千米/小时匀速直达B市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车的间距不得小于2千米,那么这批货物全部运到B市,最快需要________小时. 答案 8 解析 设这批货物从A市全部运到B市的时间为t,则 t==+≥2=8(小时), 当且仅当=,即v=100时,等号成立, 所以这批货物全部运到B市,最快需要8小时. 三、解答题 13.已知a,b,c>0,求证:++≥a+b+c. 证明 ∵a,b,c>0,∴a2+b2≥2ab, ∴+b≥2a.同理+c≥2b,+a≥2c, ∴+++(a+b+c)≥2(a+b+c), ∴++≥a+b+c.当且仅当a=b=c时,取等号. 14.若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是________. 答案 4+7 解析 ∵log4(3a+4b)=log2=log4(ab), ∴3a+4b=ab, ∴+=1. ∴a+b=(a+b)=++7≥4+7. 当且仅当=,即a=2+4,b=3+2时,取等号. 15.已知a,b,c为不全相等的正实数,且abc=1. 求证:++<++. 证明 因为a,b,c都是正实数,且abc=1, 所以+≥2=2, +≥2=2, +≥2=2, 以上三个不等式相加,得2≥2(++), 即++≥++. 因为a,b,c不全相等,所以上述三个不等式中的“=”不都成立. 所以++<++.

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