标签: 2020版高中数学第三章变化率与导数2导数的概念及其几何意义学案(含解析)北师大版选修1-1  
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doc §2 导数的概念及其几何意义 学习目标 1.理解导数的概念以及导数和变化率的关系.2.会计算函数在某点处的导数.3.理解导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程. 知识点一 导数的概念 函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率是函数y=f(x)在x0点的导数.用符号f′(x0)表示,记作: f′(x0)==. 知识点二 导数的几何意义 (1)切线的概念:如图,对于割线PPn,当点Pn趋近于点P时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称为点P处的切线. (2)导数的几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数就是切线PT的斜率k,即k==f′(x0). (3)切线方程: 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 特别提醒:曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可能有多个,甚至可以无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线. 1.函数在某一点的导数与Δx值的正、负无关.( √ ) 2.函数f(x)在x=x0处的导数值是Δx=0时的平均变化率.( × ) 3.若函数y=f(x)在x=x0处有导数,则函数y=f(x)在x=x0处有唯一的一条切线.( √ ) 4.函数y=f(x)在x=x0处的切线与函数y=f(x)的公共点不一定是一个.( √ ) 题型一 利用定义求导数 例1 建造一栋面积为x平方米的房屋需要成本y万元,y是x的函数,y=f(x)=++0.3,求f′(100),并解释它的实际意义. 解 ∵当x从100变为100+Δx时,函数值y关于x的平均变化率为 =, =+, ∴f′(100)=, ==0.105, f′(100)=0.105表示当建筑面积为100平方米时,成本增加的速度为1050元/平方米,也就是说当建筑面积为100平方米时,每增加1平方米的建筑面积,成本就要增加1050元. 反思感悟 求一个函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤 (1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (2)求平均变化率=. (3)取极限,得导数f′(x0)=. 跟踪训练1 利用导数的定义求函数f(x)=-x2+3x在x=2处的导数. 考点 函数在一点处的导数 题点 根据定义求函数在某点处的导数 解 由导数的定义知,函数在x=2处的导数 f′(2)=, 而f(2+Δx)-f(2)=-(2+Δx)2+3(2+Δx)-(-22+3×2)=-(Δx)2-Δx, 于是f′(2)== (-Δx-1)=-1. 题型二 求切线方程 例2 已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求: (1)点A处的切线的斜率; (2)点A处的切线方程. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求在某点的切线方程 解 (1)= == (4+2Δx)=4, ∴点A处的切线的斜率为4. (2)点A处的切线方程是y-2=4(x-1), 即4x-y-2=0. 反思感悟 求曲线在某点处的切线方程的步骤 跟踪训练2 曲线y=x2+1在点P(2,5)处的切线与y轴交点的纵坐标是________. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求在某点处的切线方程 答案 -3 解析 = = (4+Δx)=4, 曲线y=x2+1在点(2,5)处的切线方程为 y-5=4(x-2), 即y=4x-3. ∴切线与y轴交点的纵坐标是-3. 题型三 求切点坐标 例3 已知抛物线y=2x2+1分别满足下列条件,请求出切点的坐标. (1)切线的倾斜角为45°; (2)切线平行于直线4x-y-2=0; (3)切线垂直于直线x+8y-3=0. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 解 设切点坐标为(x0,y0),则Δy=2(x0+Δx)2+1-2x-1=4x0·Δx+2(Δx)2,∴=4x0+2Δx, 当Δx趋于0时,趋于4x0,即f′(x0)=4x0. (1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°, ∴斜率为tan45°=1. 即f′(x0)=4x0=1,得x0=, ∴切点坐标为. (2)∵抛物线的切线平行于直线4x-y-2=0, ∴k=4,即f′(x0)=4x0=4,得x0=1, ∴切点坐标为(1,3). (3)∵抛物线的切线与直线x+8y-3=0垂直, 则k·=-1,即k=8, 故f′(x0)=4x0=8,得x0=2, ∴切点坐标为(2,9). 反思感悟 根据切线斜率求切点坐标的步骤 (1)设切点坐标(x0,y0). (2)求导函数f′(x). (3)求切线的斜率f′(x0). (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0. (5)点(x0,y0)在曲线f(x)上,将x0代入求y0,得切点坐标. 跟踪训练3 已知直线l:y=4x+a与曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切,求a的值及切点坐标. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 解 设直线l与曲线C相切于点P(x0,y0). ∵f′(x)= = =3x2-4x, 由题意可知k=4,即3x-4x0=4, 解得x0=-或x0=2, ∴切点坐标为或(2,3). 当切点为时,有=4×+a,a=. 当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,a=-5. ∴当a=时,切点为; 当a=-5时,切点为(2,3). 题型四 导数几何意义的应用 例4 (1)函数g(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是(  ) A.0<g′(2)<g′(3)<g(3)-g(2) B.0<g′(3)<g(3)-g(2)<g′(2) C.0<g′(2)<g(3)-g(2)<g′(3) D.0<g(3)-g(2)<g′(2)<g′(3) 考点  题点  答案 C 解析 由函数g(x)的图像知, 当x≥0时,g′(x)>0且曲线的切线的斜率逐渐增大, ∴g′(x)是增加的,∴g′(2)<g′(3), ∵g(x)上升的越来越快,∴g′(2)<g(3)-g(2)<g′(3), ∴0<g′(2)<g(3)-g(2)<g′(3),故选C. (2)已知曲线f(x)=2x2+a在点P处的切线方程为8x-y-15=0,则实数a的值为________. 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 -7 解析 设点P(x0,2x+a). 由导数的几何意义可得 f′(x0)== =4x0=8, ∴x0=2,∴P(2,8+a). 将x=2,y=8+a代入到8x-y-15=0中, 得a=-7. 反思感悟 利用导数的几何意义将数与形联系起来,根据图像中切线与割线的倾斜角的大小确定数据的大小. 跟踪训练4 (1)已知函数f(x)在R上可导,其部分图像如图所示,设=a,则下列不等式正确的是(  ) A.f′(1)<f′(2)<a B.f′(1)<a<f′(2) C.f′(2)<f′(1)<a D.a<f′(1)<f′(2) 考点  题点  答案 B 解析 由图像可知,在(0,+∞)上,函数f(x)为增函数,且曲线切线的斜率越来越大,∵=a,∴易知f′(1)<a<f′(2). (2)曲线y=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴及直线x=a围成的三角形的面积为,则a=________. 答案 ±1 解析 由题意知切线的斜率为3a2, 由点斜式得切线方程为y-a3=3a2(x-a). 令y=0,得x=a, 则·|a3|=, 解得a=±1. 1.设函数f(x)在点x0附近有定义,且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a,b为常数),则(  ) A.f′(x)=a B.f′(x)=b C.f′(x0)=a D.f′(x0)=b 考点 函数在一点处的导数 题点 根据定义求函数在某点处的导数 答案 C 解析 f′(x0)= = (a+b·Δx)=a. 2.曲线f(x)=在点(3,3)处的切线的倾斜角等于(  ) A.45°B.60°C.135°D.120° 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 C 解析 ∵f′(x)= =9 =-9=-, ∴f′(3)=-=-1, 又∵直线的倾斜角范围为[0°,180°), ∴倾斜角为135°. 3.如图,函数y=f(x)的图像在点P(2,y)处的切线是l,则f(2)+f′(2)等于(  ) A.-4 B.3 C.-2 D.1 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 D 解析 由题干中的图像可得函数y=f(x)的图像在点P处的切线是l,与x轴交于点(4,0),与y轴交于点(0,4),则可知l:x+y=4,∴f(2)=2,f′(2)=-1,∴代入可得f(2)+f′(2)=1,故选D. 4.已知函数f(x)=,则f′(1)=________. 答案 - 解析 f′(1)== ==-. 5.已知点P在曲线y=x3-x+上,直线l为曲线在P点处的切线,求直线l的倾斜角的取值范围. 考点  题点  解 设P(x0,y0), 函数在点P处的导数为y′ = =3x-1≥-1, 设直线l的倾斜角为α(0≤α<π), ∴tanα≥-1, 画出y=tanx在∪的图像如图. 通过观察图像,α的取值范围为∪. 1.导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,即k==f′(x0). 2.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0);若已知点不在切线上,则设出切点(x0,f(x0)),表示出切线方程,然后求出切点. 一、选择题 1.曲线y=在点(1,1)处的切线的倾斜角为(  ) A. B. C. D. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 D 解析 函数y=在x=1处的导数为=-1, 由tanα=-1及0≤α<π,得α=,故选D. 2.下列点中,在曲线y=x2上,且在该点处的切线倾斜角为的是(  ) A.(0,0) B.(2,4) C. D. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 答案 D 解析 ∵=2x, 又切线的倾斜角为, ∴直线斜率为tan=1,则2x=1, ∴x=,y=,则切点为. 3.设f(x)=ax+4,若f′(1)=2,则a等于(  ) A.2B.-2C.3D.-3 答案 A 解析 因为f′(1)= ==a, 所以f′(1)=a=2. 4.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则(  ) A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值 答案 A 解析 由题意,知k==1, ∴a=1. 又(0,b)在切线上,∴b=1,故选A. 5.设f(x)为可导函数,且满足=-1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率是(  ) A.1 B.-1 C. D.-2 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切线的倾斜角或斜率 答案 B 解析 ∵=-1, ∴=-1, ∴f′(1)=-1. 6.设P0为曲线f(x)=x3+x-2上的点,且曲线在P0处的切线平行于直线y=4x-1,则点P0的坐标为(  ) A.(1,0) B.(2,8) C.(1,0)或(-1,-4) D.(2,8)或(-1,-4) 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 答案 C 解析 根据导数的定义可求得f′(x)=3x2+1,由于曲线f(x)=x3+x-2在P0处的切线平行于直线y=4x-1,所以f(x)在P0处的导数值等于4,设P0(x0,y0),故f′(x0)=3x+1=4,解得x0=±1,这时P0点的坐标为(1,0)或(-1,-4),故选C. 7.函数y=f(x)的图像如图所示,下列数值排序正确的是(  ) A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) C.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 考点  题点  答案 B 解析 设x=2,x=3时曲线上的点分别为A,B,点A处的切线为AT,点B处的切线为BQ,则f(3)-f(2)==kAB,f′(3)=kBQ,f′(2)=kAT,因为切线BQ的倾斜角小于直线AB的倾斜角,直线AB的倾斜角小于切线AT的倾斜角,故kBQ<kAB<kAT.故选B. 8.设P为曲线C:f(x)=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为,则点P的横坐标的取值范围为(  ) A. B.[-1,0] C.[0,1] D. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求切点坐标 答案 D 解析 设点P的横坐标为x0,则点P处的切线倾斜角α与x0的关系为 tanα=f′(x0)==2x0+2. ∵α∈,∴tanα∈[1,+∞), ∴2x0+2≥1,即x0≥-. ∴x0的取值范围为. 二、填空题 9.已知函数f(x)=2x-3,则f′(5)=________. 考点 函数在一点处的导数 题点 根据定义求函数在某点处的导数 答案 2 解析 f′(5)==2. 10.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴,直线x=2所围成的三角形的面积为________. 考点 切线方程的求解及应用 题点 求在某点处的切线方程 答案  解析 ∵k==3, ∴曲线y=x3在点(1,1)处的切线方程为 y-1=3(x-1),即3x-y-2=0, 令x=2,得y=4,令y=0,得x=, 则切线与x轴,直线x=2所围成的三角形面积为××4=. 11.若抛物线y=x2-x+c上一点P的横坐标是-2,抛物线过点P的切线恰好过坐标原点,则c的值为________. 考点 切线方程的求解及应用 题点 根据切点或切线斜率求值

2020版高中数学 第三章 变化率与导数 2 导数的概念及其几何意义学案(含解析)北师大版选修1 -1.docx

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