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doc 3.1.1 函数的平均变化率 学习目标 1.理解平均变化率的意义.2.会求函数在某一点附近的平均变化率. 知识点 函数的平均变化率 1.函数的平均变化率的定义 已知函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义, 令Δx=x-x0; Δy=y-y0=f(x)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0). 则当Δx≠0,比值=叫做函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率. 2.平均变化率的实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比. 3.作用:刻画函数在区间[x0,x0+Δx]上变化的快慢. 4.几何意义:已知P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))是函数y=f(x)的图象上两点,则平均变化率=表示割线P1P2的斜率. 1.在平均变化率的定义中,自变量x的增量Δx>0.( × ) 2.对于函数f(x)在区间[x1,x2]内的平均变化率也可以表示为.( √ ) 3.=是f(x)在区间[x0,x0+Δx](Δx>0)上的平均变化率,也可以说是f(x)在x=x0处的变化率.( × ) 题型一 函数的平均变化率 命题角度1 求函数的平均变化率 例1 求函数f(x)=x2在x=1,2,3附近的平均变化率,取Δx的值为,哪一点附近的平均变化率最大? 考点  题点  解 在x=1附近的平均变化率为 k1===2+Δx; 在x=2附近的平均变化率为 k2===4+Δx; 在x=3附近的平均变化率为 k3===6+Δx. 若Δx=,则k1=2+=, k2=4+=, k3=6+=, 由于k1<k2<k3,故在x=3附近的平均变化率最大. 反思感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1). (2)再计算自变量的改变量Δx=x2-x1. (3)得平均变化率=. 跟踪训练1 已知函数f(x)=x2+2x-5的图象上的一点A(-1,-6)及邻近一点B(-1+Δx,-6+Δy),则=________. 考点 平均变化率的概念 题点 求平均变化率 答案 Δx 解析 = = =Δx. 命题角度2 平均变化率的几何意义 例2 过曲线y=f(x)=x2-x上的两点P(1,0)和Q(1+Δx,Δy)作曲线的割线,已知割线PQ的斜率为2,求Δx的值. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 解 割线PQ的斜率即为函数f(x)从1到1+Δx的平均变化率. ∵Δy=f(1+Δx)-f(1) =(1+Δx)2-(1+Δx)-(12-1)=Δx+(Δx)2, ∴割线PQ的斜率k==1+Δx. 又∵割线PQ的斜率为2,∴1+Δx=2,∴Δx=1. 反思感悟 函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率的实质是函数y=f(x)图象上两点P1(x1,f(x1)),P2(x2,f(x2))连线P1P2的斜率,即kP1P2==. 跟踪训练2 (1)甲、乙两人走过的路程s1(t),s2(t)与时间t的关系如图所示,则在[0,t0]这个时间段内,甲、乙两人的平均速度v甲,v乙的关系是(  ) A.v甲>v乙 B.v甲<v乙 C.v甲=v乙 D.大小关系不确定 (2)过曲线y=f(x)=图象上一点(2,-2)及邻近一点(2+Δx,-2+Δy)作割线,则当Δx=0.5时割线的斜率为________. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 答案 (1)B (2) 解析 (1)设直线AC,BC的斜率分别为kAC,kBC,由平均变化率的几何意义知,s1(t)在[0,t0]上的平均变化率v甲=kAC,s2(t)在[0,t0]上的平均变化率v乙=kBC.因为kAC<kBC,所以v甲<v乙. (2)当Δx=0.5时,2+Δx=2.5, 故-2+Δy==-, 故k==. 题型二 求物体的平均速度 例3 一质点做直线运动,其位移s与时间t的关系为s(t)=t2+1,求该质点在t=1,2,3附近,Δt=时,平均速度的值,并比较在哪一时刻附近的平均速度最大. 解 s(t)在t0到t0+Δt之间的位移增量为s(t0+Δt)-s(t0)=(t0+Δt)2+1-(t+1)=2t0Δt+(Δt)2, ==2t0+Δt, 将t0=1,2,3,Δt=分别代入上式得, 当t0=1时,平均速度=; 当t0=2时,平均速度=; 当t0=3时,平均速度=. 由上面的计算知,t=3附近的平均速度最大. 引申探究 若该质点在2到2+Δt之间的平均速度不大于5,则Δt(Δt>0)的取值范围是什么? 解 s(t)在t0到t0+Δt之间的位移增量为s(t0+Δt)-s(t0)=(t0+Δt)2+1-(t+1)=2t0Δt+(Δt)2. ==2t0+Δt. 当t0=2时,由题意,得4+Δt≤5,得Δt≤1. 又因为Δt>0,故Δt的取值范围是(0,1]. 反思感悟 已知物体的运动方程,即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系,求其在[t0,t0+Δt]内的平均速度,根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t0,t0+Δt]内的平均变化率. 跟踪训练3 动点P沿x轴运动,运动方程为x=10t+5t2,式中t表示时间(单位:s),x表示距离(单位:m),求在20≤t≤20+Δt时间段内动点的平均速度,其中 (1)Δt=1;(2)Δt=0.1;(3)Δt=0.01. 解 动点在20≤t≤20+Δt时间段内的平均速度为 = ==5Δt+210, (1)当Δt=1时,=5×1+210=215(m/s). (2)当Δt=0.1时,=5×0.1+210=210.5(m/s). (3)当Δt=0.01时,=5×0.01+210=210.05(m/s). 1.一物体的运动方程是s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是(  ) A.0.4B.2C.0.3D.0.2 答案 B 解析 ==2. 2.如图,函数y=f(x)在1到3之间的平均变化率为(  ) A.1B.-1C.2D.-2 答案 B 解析 ==-1. 3.在曲线y=f(x)=x2+2的图象上取一点(2,6)及邻近一点(2+Δx,6+Δy),则为(  ) A.Δx++4 B.Δx--4 C.Δx+4 D.4+Δx- 答案 C 解析 ===Δx+4. 4.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m时球的体积膨胀率为,则m的值为________. 答案 2 解析 ΔV=m3-×13=(m3-1), ∴==. ∴m2+m+1=7, ∴m=2或m=-3(舍). 理解平均变化率要注意以下几点: (1)平均变化率表示点(x1,f(x1))与点(x2,f(x2))连线的斜率,是曲线陡峭程度的“数量化”. (2)为求点x0附近的平均变化率,上述表达式常写为的形式. (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势.自变量的改变量Δx取值越小,越能准确体现函数的变化情况. 一、选择题 1.如果质点M按规律s=3+t2运动,则在时间[2,2.1]内的平均速度是(  ) A.4B.4.1C.0.41D.3 答案 B 解析 ==4.1. 2.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示,则治污效果较好的是(  ) A.甲 B.乙 C.相同 D.不确定 答案 B 解析 在t0处,虽然W1(t0)=W2(t0), 但是在t0-Δt处,W1(t0-Δt)<W2(t0-Δt), 即<, 所以在相同时间Δt内,甲厂比乙厂的平均治污率小. 所以乙厂的治污效果较好. 3.已知函数f(x)=2x2-1的图象上一点(1,1)及附近一点(1+Δx,f(1+Δx)),则等于(  ) A.4 B.4+2Δx C.4+2(Δx)2 D.4x 答案 B 解析 Δy=f(1+Δx)-f(1)=[2(1+Δx)2-1]-1=4Δx+2(Δx)2, ∴==4+2Δx. 4.函数y=f(x)在x0到x0+Δx之间的平均变化率中,Δx不可能(  ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.大于0或小于0 答案 C 5.函数y=f(x)=x2+x在x=1到x=1+Δx之间的平均变化率为(  ) A.Δx+2 B.2Δx+(Δx)2 C.Δx+3 D.3Δx+(Δx)2 答案 C 解析 = ==Δx+3. 6.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是(  ) A.k1<k2 B.k1>k2 C.k1=k2 D.无法确定 答案 D 解析 k1==2x0+Δx, k2==2x0-Δx. 又因为Δx可正可负且不为0, 所以k1,k2的大小关系不确定. 二、填空题 7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示,在时间段[t0,t1],[t1,t2],[t2,t3]上的平均速度分别为1,2,3,则三者的大小关系为________________.(用“<”连接) 答案 1<2<3 解析 1=kOA,2=kAB,3=kBC, 由图象知,kOA<kAB<kBC. 8.函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率为2,则t=________. 答案 5 解析 函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是===2, 即t2-t-6=2t+4,所以t2-3t-10=0, 解得t=5或t=-2(舍去). 所以当函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是2时,t的值是5. 9.在曲线y=2x2+1的图象上取一点(1,3)及邻近一点(1+Δx,3+Δy),则=________. 答案 2Δx+4 解析 ==2Δx+4. 10.已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S=πr2,其中r∈(0,+∞),则当半径r∈[1,1+Δr]时,圆的面积S的平均变化率为________. 答案 2π+πΔr 解析 当r∈[1,1+Δr]时,圆的面积S的平均变化率为== =2π+πΔr. 三、解答题 11.过曲线y=f(x)=x3+2x上两点P(1,3)和Q(1+Δx,3+Δy)作曲线的割线,求出当Δx=0.2时割线的斜率. 解 由条件可知,当Δx=0.2时, kPQ== = =(Δx)2+3Δx+5=0.22+3×0.2+5=5.64. 故当Δx=0.2时,割线的斜率为5.64. 12.若函数f(x)=-2x2+x在[1,1+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于-1,求Δx的取值范围. 考点 平均变化率的概念 题点 平均变化率的应用 解 ∵函数f(x)在[1,1+Δx]上的平均变化率为 = = =-3-2Δx ∴由-3-2Δx≤-1,得Δx≥-1. 又∵Δx>0,∴Δx的取值范围是(0,+∞). 13.以初速度v0竖直向上抛一物体的位移s与时间t的关系为s(t)=v0t-gt2(g为物体的重力加速度). (1)求物体从时刻t0到时刻t0+Δt这段时间内的平均速度; (2)求物体在t=10s到10.4s这段时间内的平均速度. 解 (1)由t0到t0+Δt,则改变量为Δt. 因为Δs=s(t0+Δt)-s(t0) =v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-v0t0+gt =v0Δt-gt0·Δt-g(Δt)2, 所以== =v0-gt0-gΔt. (2)当t0=10s,Δt=0.4s时, 则物体在t=10s到10.4s这段时间内的平均速度 =v0-10g-×g×0.4=v0-10.2g. 14.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则第二年婴儿体重的平均变化率为________千克/月. 答案 0.25 解析 第二年婴儿体重的平均变化率为 =0.25(千克/月). 15.若函数y=f(x)=-x2+x在[2,2+Δx](Δx>0)上的平均变化率不大于-1,求Δx的取值范围. 解 ∵函数f(x)在[2,2+Δx]上的平均变化率为 = ==-3-Δx, ∴由-3-Δx≤-1,得Δx≥-2. 又∵Δx>0,∴Δx的取值范围是(0,+∞).

2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.1.1 函数的平均变化率学案(含解析)新人教B版选修1 -1.docx

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