标签: 2020版高中数学第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用学案(含解析)新人教B版选修1-1  
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doc 3.3.3 导数的实际应用 学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题. 知识点 生活中的优化问题 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题. 2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值. 3.解决优化问题的基本思路: 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程. 1.生活中常见到的收益最高、用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题.( √ ) 2.解决应用问题的关键是建立数学模型.( √ ) 题型一 几何中的最值问题 例1 请你设计一个包装盒如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=xcm. (1)若广告商要求包装盒侧面积S最大,则x应取何值? (2)若广告商要求包装盒容积V最大,则x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值. 考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 解 (1)由题意知包装盒的底面边长为xcm, 高为(30-x)cm,0<x<30, 所以包装盒侧面积为S=4x×(30-x) =8x(30-x)≤8×2=8×225, 当且仅当x=30-x,即x=15时,等号成立, 所以若广告商要求包装盒侧面积S最大,则x=15. (2)包装盒容积V=2x2·(30-x) =-2x3+60x2(0<x<30), 所以V′=-6x2+120x=-6x(x-20). 令V′>0,得0<x<20;令V′<0,得20<x<30. 所以当x=20时,包装盒容积V取得最大值,此时包装盒的底面边长为20 cm,高为10cm,包装盒的高与底面边长的比值为1∶2. 反思感悟 面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.特别注意:在列函数关系式时,要注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域. 跟踪训练1 现需设计某次期中考试的数学试卷,该试卷含有大小相等的两个矩形栏目(即图中阴影部分),这两栏的面积之和为720cm2,四周空白的宽度为4cm,两栏之间的中缝空白的宽度为2cm,设试卷的长和宽分别为xcm,ycm. (1)写出y关于x的函数解析式,并求该函数的定义域; (2)如何确定该试卷长与宽的尺寸(单位:cm),才能使试卷的面积最小? 考点  题点  解 由题意知试卷的长和宽分别为xcm,ycm,则每栏的长和宽分别为,y-8,其中x>10,y>8. (1)两栏面积之和为2··(y-8)=720, 由此得y=+8(x>10). (2)试卷的面积S=xy=x, ∴S′=+8, 令S′=0,得x=40(负数舍去), ∴函数在(10,40)上单调递减,在(40,+∞)上单调递增, ∴当x=40时,S取得最小值, 故当试卷的长为40cm,宽为32cm时,可使试卷的面积最小. 题型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题 例2 某工厂共有10台机器,生产一种仪器元件,由于受生产能力和技术水平等因素的限制,会产生一定数量的次品.根据经验知道,每台机器产生的次品数P(万件)与每台机器的日产量x(万件)(4≤x≤12)之间满足关系:P=0.1x2-3.2lnx+3.已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元.(利润=盈利-亏损) (1)试将该工厂每天生产这种元件所获得的利润y(万元)表示为x的函数; (2)当每台机器的日产量x(万件)为多少时所获得的利润最大,最大利润为多少? 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 解 (1)由题意得,所获得的利润为y=10[2(x-P)-P]=20x-3x2+96lnx-90(4≤x≤12). (2)由(1)知,y′==, 当4≤x≤6时,y′≥0,函数在[4,6]上为增函数; 当6≤x≤12时,y′≤0,函数在[6,12]上为减函数, 所以当x=6时,函数取得极大值,且为最大值, 最大利润为y=20×6-3×62+96ln6-90=96ln6-78(万元). 反思感悟 解决此类有关利润的实际应用题,应灵活运用题设条件,建立利润的函数关系,常见的基本等量关系有: (1)利润=收入-成本. (2)利润=每件产品的利润×销售件数. 跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克. (1)求a的值; (2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 解 (1)因为当x=5时,y=11,所以+10=11, 所以a=2. (2)由(1)可知,该商品每日的销售量 y=+10(x-6)2, 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6. 从而f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6). 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (3,4) 4 (4,6) f′(x) + 0 - f(x) ↘ 极大值42 ↗ 由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点. 所以当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值为42. 答 当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大. 命题角度2 用料(费用)最省问题 例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中心每块球场的建设面积为1000平方米,球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=800来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场? 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题 解 设建成x个球场,则1≤x≤10,且x∈Z,每平方米的购地费用为=(元),因为每平方米的平均建设费用(单位:元)可近似地用f(x)=800来表示, 所以每平方米的综合费用为g(x)=f(x)+ =800+160lnx+(1≤x≤10且x∈Z), 所以g′(x)=(1≤x≤10且x∈Z), 令g′(x)=0,得x=8,当1≤x<8时, g′(x)<0,g(x)为减函数; 当8<x≤10时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 所以当x=8时,函数取得极小值,且为最小值. 故当建成8个球场时,每平方米的综合费用最省. 反思感悟 费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答. 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (1)求k的值及f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值. 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题 解 (1)由题意知,每年的能源消耗费用为C(x)=(0≤x≤10),且C(0)=8,故k=40,所以C(x)=(0≤x≤10). 设建造费用为C1(x),则C1(x)=6x. 所以f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10). (2)因为f(x)=+6x(0≤x≤10), 所以f′(x)=6-. 令f′(x)=0,即=6,解得x=5(负值舍去). 当0≤x<5时,f′(x)<0,f(x)为减函数; 当5<x≤10时,f′(x)>0,f(x)为增函数. 故x=5是函数f(x)的极小值点,也是最小值点,对应的最小值为f(5)=+6×5=70. 故当隔热层修建厚度为5cm时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万元. 损耗最少问题 典例 已知A,B两地相距200千米,一艘船从A地逆水而行到B地,水速为8千米/时,船在静水中的速度为v千米/时(8<v≤v0,v0为常数).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比,当v=12时,每小时的燃料费为720元,为了使全程燃料费最省,船在静水的速度为多少? 考点  题点  解 设船每小时航行所需的燃料费为y1元,比例系数为k(k>0),则y1=kv2. ∵当v=12时,y1=720,∴720=k·122,得k=5. 设全程燃料费为y元,由题意, 得y=y1·=(8<v≤v0), ∴y′==. 令y′=0,解得v=16. 若v0≥16,当v∈(8,16)时,y′<0,y为减函数; 当v∈(16,v0]时,y′>0,y为增函数. 故当v=16时,y取得极小值,也是最小值,此时全程燃料费最省. 若v0<16,当v∈(8,v0]时,y′<0,y在(8,v0]上为减函数. 故当v=v0时,y取得最小值,此时全程燃料费最省. 综上可得,若v0≥16,则当v=16千米/时时,全程燃料费最省; 若v0<16,则当v=v0时,全程燃料费最省. [素养评析] (1)解决实际应用问题的关键在于建立数学模型和目标函数,把“问题情景”译为数学语言,要先找出问题的主要关系,并把问题的主要关系近似化、形式化、抽象成数学问题,再化归为常规问题,最后选择合适的数学方法求解. (2)确定函数模型,将实际问题转化成数学问题的要求较高,有利于数学建模素养的提升. 1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x小时,原油温度(单位:℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5),那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(  ) A.8B.C.-1D.-8 考点 函数类型的优化问题 题点 函数类型的其他问题 答案 C 解析 原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1(0≤x≤5),所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1. 2.用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2∶1,则该长方体的最大体积为(  ) A.2m3B.3m3C.4m3D.5m3 考点 几何类型的优化问题 题点 几何体体积的最值问题 答案 B 解析 设长方体的宽为xm,则长为2xm,高为h==-3x(m), 故长方体的体积为V(x)=2x2 =9x2-6x3, 从而V′(x)=18x-18x2=18x(1-x), 令V′(x)=0,解得x=1或x=0(舍去). 当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x<时,V′(x)<0, 故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值, 从而最大体积V=V(1)=9×12-6×13=3(m3). 3.某产品的销售收入y1(万元)是产品x(千台)的函数,y1=17x2(x>0);生产总成本y2(万元)也是x(千台)的函数,y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,则应生产(  ) A.9千台B.8千台C.6千台D.3千台 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 答案 C 解析 利润y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=18x2-2x3(x>0), 求导得y′=36x-6x2,令y′=0,得x=6或x=0(舍去). 所以当生产6千台时,利润最大. 4.容积为256的方底无盖水箱,它的高为时最省材料. 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数解决费用最省问题 答案 4 解析 设水箱高为h,底面边长为a,则a2h=256, 其表面积为S=a2+4ah=a2+4a·=a2+. 令S′=2a-=0,得a=8. 当0<a<8时,S′<0;当a>8时,S′>0, 故当a=8时,S最小,此时h==4. 5.某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知当商品单价降低2元时,每星期多卖出24件. (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? 考点 函数类型的优化问题 题点 利用导数求解最大利润问题 解 (1)设商品降价x元,则每星期多卖的商品数为kx2. 若记商品在一个星期的获利为f(x),则有 f(x)=(30-x-9)(432+kx2)=(21-x)(432+kx2). 由已知条件,得24=k×22,于是k=6. 所以f(x)=-6x3+126x2-432x+9072,x∈[0,21]. (2)由(1)得f′(x)=-18x2+252x-432 =-18(x-2)(x-12). 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x [0,2) 2 (2,12) 12 (12,21] f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故当x=12时,f(x)取得极大值. 因为f(0)=9072,f(12)=11664. 所以当定价为30-12=18(元)时,才能使一个星期的商品销售利润最大. 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式

2020版高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用学案(含解析)新人教B版选修1 -1.docx

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