标签: 2020版高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1直线的方向向量与直线的向量方程学案(含解析)新人教B版选修2-1  
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doc 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程 学习目标 1.了解直线的方向向量,了解直线的向量方程.2.会用向量方法证明线线、线面、面面的平行.3.会用向量证明两条直线垂直.4.会利用向量求两条直线所成的角. 知识点一 用向量表示直线或点在直线上的位置 1.用向量表示直线或点在直线上的位置 (1)在直线l上给定一个定点A和它的一个方向向量a,对于直线l上的任意一点P,则有=ta或=+ta或=(1-t)+t(=a), 上面三个向量等式都叫做空间直线的向量参数方程.向量a称为该直线的方向向量. 2.线段AB的中点M的向量表达式=(+). 知识点二 用向量方法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行 1.设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则由向量共线的条件,得l1∥l2或l1与l2重合⇔v1∥v2. 2.已知两个不共线向量v1,v2与平面α共面,一条直线l的一个方向向量为v,则由共面向量定理,可得 l∥α或l在α内⇔存在两个实数x,y,使v=x v1+y v2. 3.已知两个不共线向量v1,v2与平面α共面,则由两平面平行的判定与性质,得 α∥β或α与β重合⇔v1∥β且v2∥β. 知识点三 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 1.用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角 设两条直线所成的角为θ,v1和v2分别是l1和l2的方向向量,则l1⊥l2⇔v1⊥v2,cosθ=|cos〈v1,v2〉|. 2.求两直线所成的角应注意的问题 在已知的两条直线上(或同方向上)取两条直线的方向向量v1,v2,所以cos〈v1,v2〉=.但要注意,两直线的夹角与〈v1,v2〉并不完全相同,当〈v1,v2〉为钝角时,应取其补角作为两直线的夹角. 1.直线l的方向向量是唯一的.( × ) 2.若两条直线平行,则它们的方向向量的方向相同或相反.( √ ) 3.若向量a是直线l的一个方向向量,则向量ka也是直线l的一个方向向量.( × ) 4.两直线的方向向量平行,则两直线平行;两直线的方向向量垂直,则两直线垂直.( × ) 题型一 空间中点的位置确定 例1 已知点A(2,4,0),B(1,3,3),如图,以的方向为正向,在直线AB上建立一条数轴,P,Q为轴上的两点,且分别满足条件: (1)AP∶PB=1∶2; (2)AQ∶QB=2∶1. 求点P和点Q的坐标. 解 (1)由已知,得=2, 即-=2(-), =+. 设点P坐标为(x,y,z),则上式换用坐标表示,得 (x,y,z)=(2,4,0)+(1,3,3), 即x=+=,y=+=,z=0+1=1. 因此,P点的坐标是. (2)因为AQ∶QB=2∶1, 所以=-2,-=-2(-), =-+2, 设点Q的坐标为(x′,y′,z′),则上式换用坐标表示, 得(x′,y′,z′)=-(2,4,0)+2(1,3,3)=(0,2,6), 即x′=0,y′=2,z′=6. 因此,Q点的坐标是(0,2,6). 反思感悟 确定点的坐标可利用向量运算根据两个向量相等列方程解得. 跟踪训练1 已知点A(4,1,3),B(2,-5,1),C为线段AB上一点且=,则点C的坐标为(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 设C(x,y,z), ∵C为线段AB上一点且=, ∴=, 即(x-4,y-1,z-3)=(-2,-6,-2), ∴x=,y=-1,z=. 题型二 向量方法处理平行问题 例2 如图,已知正方体ABCD—A′B′C′D′,点M,N分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点.求证:MN∥侧面AD′;MN∥AD′,并且MN=AD′. 证明 设=a,=b,=c, 则=(a+c),=c+(a+b), 所以=-=(b+c). 因为MN不在平面AD′内,所以MN∥平面AD′. 又因为b+c=, 所以=, 所以MN∥AD′,MN=AD′. 反思感悟 (1)直线与直线平行、直线与平面平行的向量证法根据是空间向量共线、共面定理. (2)利用直线的方向向量证明直线与直线平行、直线与平面平行时,要注意向量所在的直线与所证直线或平面无公共点. 跟踪训练2 在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2.点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为A1D1,BC的中点,求证:MN∥RS. 证明 方法一 设=a,=b,=c,则 =++=c-a+b, =++=b-a+c, ∴=,∴∥,又∵R∉MN,∴MN∥RS. 方法二 如图所示,建立空间直角坐标系Axyz,则根据题意得 M,N(0,2,2), R(3,2,0),S. ∴=,=,=, ∴∥,∵M∉RS,∴MN∥RS. 题型三 两直线所成的角的求解 例3 已知三棱锥O—ABC(如图),OA=4,OB=5,OC=3,∠AOB=∠BOC=60°,∠COA=90°,M,N分别是棱OA,BC的中点.求直线MN与AC所成角的余弦值. 解 设=a,=b,=c,直线MN与AC所成的角为θ,则 =-=(b+c)-a =(b+c-a),=c-a, 所以||2=(b+c-a)2 =(|a|2+|b|2+|c|2+2b·c-2a·b-2a·c) =(42+52+32+15-20-0)=, ||2=(c-a)2=|a|2+|c|2-2a·c =42+32-02=25, ·=(b+c-a)·(c-a) =(b·c+|c|2-a·b-2a·c+|a|2) ==. cosθ=|cos〈,〉|== =.所以直线MN与AC所成角的余弦值为. 反思感悟 向量所成角与异面直线所成角的差异:向量所成角的范围是[0,π],而异面直线所成角的范围是,故异面直线所成角的余弦值一定大于或等于0. 跟踪训练3 长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB=4,BC=BB1=2,E,F分别是平面A1B1C1D1与平面B1BCC1的中心,求异面直线AF与BE所成角的余弦值. 解 如图,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz, 则A(2,0,0),B(2,4,0), C1(0,4,2),A1(2,0,2), ∴E(1,2,2),F(1,4,1), =(-1,4,1), =(-1,-2,2), ∴||==3,||==3, ·=1-8+2=-5, ∴cos〈,〉==-. ∵异面直线所成角的范围是, 设AF与BE所成角为θ,则cosθ=|cos〈,〉|=. 即异面直线AF与BE所成角的余弦值为. 1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则(  ) A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1,l2相交但不垂直 D.不能确定 答案 B 解析 ∵a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0, ∴a⊥b,∴l1⊥l2. 2.设l1的方向向量a=(1,3,-2),l2的方向向量b=(-4,3,m),若l1⊥l2,则m等于(  ) A.1B.C.D.3 答案 B 解析 因为l1⊥l2,所以a·b=0,即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0,所以2m=9-4=5,即m=. 3.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(  ) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 答案 A 解析 ∵=(2,4,6),而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量,故选A. 4.已知向量a=(4-2m,m-1,m-1),b=(4,2-2m,2-2m),若a∥b,则实数m的值为(  ) A.1 B.3 C.1或3 D.以上答案都不正确 答案 C 解析 因为b=(4,2-2m,2-2m)≠0, 所以“a∥b的充要条件是a=λb”, 得显然m=1符合题意, 当m≠1时,由m-1=λ(2-2m),得λ=-, 代入4-2m=4λ,得m=3. 5.已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=______,y=______. 答案 -14 6 解析 ∵l1∥l2,∴==(x≠0,y≠0), ∴x=-14,y=6. 1.利用向量可以表示直线或点在直线上的位置. 2.线线平行、线面平行、面面平行问题都可以转化为两个向量的平行问题,证明依据是空间向量共线、共面定理. 3.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断;另一种是用向量的坐标表示几何量.共分三步:(1)建立立体几何与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题. 一、选择题 1.已知a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量.若l1∥l2,则(  ) A.x=6,y=15 B.x=3,y= C.x=3,y=15 D.x=6,y= 答案 D 解析 由l1∥l2得,==(xD=/0,yD=/0),解得x=6,y=. 2.若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于(  ) A.-B.C.-D. 答案 B 解析 设l1与l2的夹角为θ,则cosθ=|cos〈a,b〉|===. 3.在正三棱柱ABC—A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与C1B所成角的大小为(  ) A.60°B.90°C.105°D.75° 答案 B 解析 建立如图所示的空间直角坐标系A1xyz,设BB1=1, 则A(0,0,1),B1, C1(0,,0),B. ∴=, =, ∴·=--1=0, 即AB1与C1B所成角的大小为90°. 4.已知A(3,0,-1),B(0,-2,-6),C(2,4,-2),则△ABC是(  ) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.以上都不对 答案 C 解析 ∵=(-3,-2,-5),=(2,6,4), =(-1,4,-1). ∴·=-3×(-1)+(-2)×4+(-5)×(-1)=0, ∴AB⊥AC.∴△ABC是直角三角形. 又||≠||, 故选C. 5.已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C为线段AB上一点,且=,则点C的坐标为(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 设C点坐标为(x,y,z),则=(x-3,y-3,z+5),=(-1,-6,6). 由=,得 解得x=,y=-1,z=-1. 即C点坐标为. 6.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长AB=34,则B点的坐标为(  ) A.(-9,-7,7) B.(18,17,-17) C.(9,7,-7) D.(-14,-19,31) 答案 B 解析 设B(x,y,z),则=(x-2,y+1,z-7) =λ(8,9,-12),λ>0. 故x-2=8λ,y+1=9λ,z-7=-12λ, 又(x-2)2+(y+1)2+(z-7)2=342, 得(17λ)2=342,∵λ>0,∴λ=2. ∴x=18,y=17,z=-17,即B(18,17,-17). 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于(  ) A.ACB.BDC.A1DD.A1A 答案 B 解析 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体的棱长为1. 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1),E, ∴=, =(-1,1,0),=(-1,-1,0), =(-1,0,-1),=(0,0,-1). ∵·=(-1)×+(-1)×+0×1=0, ∴CE⊥BD. 8.如图,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则 ①A1M∥D1P; ②A1M∥B1Q; ③A1M∥平面DCC1D1; ④A1M∥平面D1PQB1. 以上结论中正确的是(  ) A.①③④ B.①②③④ C.①③ D.③④ 答案 A 解析 ∵=-=-=, ∴A1M∥D1P. ∵D1P⊂平面D1PQB1,A1M⊄平面D1PQB1, ∴A1M∥平面D1PQB1. 又D1P⊂平面DCC1D1,A1M⊄平面DCC1D1,∴A1M∥平面DCC1D1. ∵B1Q为平面DCC1D1的斜线, ∴B1Q与D1P不平行,∴A1M与B1Q不平行. 二、填空题 9.设点C(2a+1,a+1,2)在点P(2,0,0),A(1,-3,2),B(8,-1,4)确定的平面上,则a=________. 答案 16 解析 =(-1,-3,2),=(6,-1,4). 根据共面向量定理,设=x+y (x,y∈R), 则(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4) =(-x+6y,-3x-y,2x+4y), ∴  解得x=-7,y=4,a=16. 10.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为____________. 答案  解析 设M(x,y,z),则由已知,得 =λ=λ(-1,1,0)=(-λ,λ,0). 又=(x,y,z-1),∴x=-λ,y=λ,z=1. 又·=0,=(-λ-1,λ-2,4), ∴(-λ-1,λ-2,4)·(-1,1,0)=0, ∴(λ+1)+(λ-2)=0,λ=. ∴M点坐标为. 11.已知两点A(1,-2,3),B(2,1,-1),则AB连线与xOz平面的交点坐标是____________. 答案  解析 设交点坐标为P(x,0,z),则由A,P,B三点共线可设=λ,得(x-1,2,z-3)=λ(1,3,-4), 即 解得 故AB连线与

2020版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程学案(含解析)新人教B版选修2-1.docx

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