标签: 2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程1.2椭圆的简单性质(第2课时)椭圆简单性质的应用学案(含解析)北师大版选修1-1  
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doc 第2课时 椭圆简单性质的应用 学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识. 知识点一 点与椭圆的位置关系 设P(x0,y0),椭圆+=1(a>b>0),则点P与椭圆的位置关系如下表所示: 位置关系 满足条件 P在椭圆外 +>1 P在椭圆上 +=1 P在椭圆内 +<1 知识点二 直线与椭圆的位置关系 直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法: 联立消去y,得关于x的一元二次方程. 当Δ>0时,方程有两个不同解,直线与椭圆相交; 当Δ=0时,方程有两个相同解,直线与椭圆相切; 当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离. 知识点三 弦长公式 设直线方程为y=kx+m(k≠0),椭圆方程为+=1(a>b>0)或+=1(a>b>0),直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|=, ∴|AB|= = =, 或|AB|= = =. 其中,x1+x2,x1x2或y1+y2,y1y2的值,可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y(或x)后得到关于x(或y)的一元二次方程求得. 1.若直线的斜率一定,则当直线过椭圆的中心时,弦长最大.( √ ) 2.在椭圆上的所有点中,长轴的端点到椭圆中心的距离最大,短轴的端点到椭圆中心的距离最小.( √ ) 3.在椭圆的焦点弦中,当弦与长轴垂直时弦最短,当弦与长轴重合时弦最长.( √ ) 4.设A是椭圆内一点,以A为中点的弦是唯一的.( × ) 5.直线y=k(x-a)与椭圆+=1的位置关系是相交.( √ ) 题型一 直线与椭圆的位置关系 例1 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)有两个公共点; (2)有且只有一个公共点; (3)没有公共点. 考点  题点  解 直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组消去y,得9x2+8mx+2m2-4=0.① 方程①的判别式Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144. (1)当Δ>0,即-3<m<3时,方程①有两个不同的实数解,可知原方程组有两组不同的实数解.这时直线l与椭圆C有两个公共点. (2)当Δ=0,即m=±3时,方程①有两个相同的实数解,可知原方程组有两组相同的实数解.这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点. (3)当Δ<0,即m<-3或m>3时,方程①没有实数解,可知原方程组没有实数解.这时直线l与椭圆C没有公共点. 反思感悟 判断直线与椭圆的位置关系,通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组,消去方程组中的一个变量,得到关于另一个变量的一元二次方程,则 Δ>0⇔直线与椭圆相交; Δ=0⇔直线与椭圆相切; Δ<0⇔直线与椭圆相离. 跟踪训练1 若直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆+=1总有公共点,则实数m的取值范围为________. 考点  题点  答案 [1,5) 解析 ∵直线y=kx+1过定点M(0,1), ∴要使直线与该椭圆总有公共点,则点M(0,1)必在椭圆内或椭圆上, 由此得解得1≤m<5. 题型二 直线与椭圆的相交弦问题 例2 已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点. (1)当直线l的斜率为时,求线段AB的长度; (2)当P点恰好为线段AB的中点时,求l的方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 中点弦问题 解 (1)由已知可得直线l的方程为y-2=(x-4), 即y=x.由消去y可得x2-18=0, 若设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=0,x1x2=-18. 于是|AB|= = = =×6=3.所以线段AB的长度为3. (2)方法一 当直线l的斜率不存在时,不合题意. 所以直线l的斜率存在. 设l的斜率为k,则其方程为y-2=k(x-4). 联立消去y, 得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+64k2-64k-20=0. 显然,Δ>0, 若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=, 由于AB的中点恰好为P(4,2), 所以==4,解得k=-,且满足Δ>0. 这时直线的方程为y-2=-(x-4), 即x+2y-8=0. 方法二 设A(x1,y1),B(x2,y2),则有 两式相减得+=0, 整理得kAB==-, 由于P(4,2)是AB的中点,∴x1+x2=8,y1+y2=4, 于是kAB=-=-, 于是直线AB的方程为y-2=-(x-4), 即x+2y-8=0. 反思感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程.利用根与系数的关系或中点坐标公式解决,涉及弦的中点,还可使用点差法:设出弦的两端点坐标,代入椭圆方程,两式相减即得弦的中点与斜率的关系. 跟踪训练2 已知椭圆ax2+by2=1(a>0,b>0且a≠b)与直线x+y-1=0相交于A,B两点,C是AB的中点,若|AB|=2,OC的斜率为,求椭圆的方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 中点弦问题 解 方法一 设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程并作差, 得a(x1+x2)(x1-x2)+b(y1+y2)(y1-y2)=0.① ∵A,B为直线x+y-1=0上的点,∴=-1. 由已知得=kOC=,代入①式可得b=a. ∵直线x+y-1=0的斜率k=-1. 又|AB|=|x2-x1|=|x2-x1|=2, ∴|x2-x1|=2. 联立ax2+by2=1与x+y-1=0,可得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 且由已知得x1,x2是方程(a+b)x2-2bx+b-1=0的两根,∴x1+x2=,x1x2=, ∴4=(x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2 =2-4·.② 将b=a代入②式,解得a=,∴b=. ∴所求椭圆的方程是+=1. 方法二 由消去y, 得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=, 且直线AB的斜率k=-1, ∴|AB|= = =·. ∵|AB|=2,∴=2, ∴=1.① 设C(x,y),则x==,y=1-x=. ∵OC的斜率为, ∴==,将其代入①式得,a=,b=. ∴所求椭圆的方程为+=1. 题型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例3 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交时的其他问题 解 (1)由得5x2+2mx+m2-1=0, 因为直线与椭圆有公共点,所以Δ=4m2-20(m2-1)≥0,解得-≤m≤. (2)设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 由(1)知5x2+2mx+m2-1=0, 所以x1+x2=-,x1x2=(m2-1), 所以|AB|= == ==. 所以当m=0时,|AB|最大,此时直线方程为y=x. 反思感悟 解析几何中的综合性问题很多,而且可与很多知识联系在一起出题,例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等.解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想.其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式,这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件. 跟踪训练3 已知椭圆C:x2+2y2=4. (1)若点P(a,b)是椭圆C上一点,求a2+b2的取值范围; (2)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求|AB|的最小值. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆相交时的其他问题 解 (1)由题意得a2+2b2=4, 则a2=4-2b2, ∴a2+b2=4-2b2+b2=4-b2, ∵b∈[-,],∴4-b2∈[2,4]. 故a2+b2∈[2,4],a2+b2的取值范围为[2,4]. (2)设A(t,2),B(x0,y0),x0≠0.∵OA⊥OB, ∴·=0, ∴tx0+2y0=0,∴t=-. 又∵x+2y=4,∴0<x≤4. ∴|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=++4≥4+4=8, 当且仅当=,即x=4时等号成立, ∴|AB|的最小值为2. 转化化归思想在椭圆中的应用 典例 已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),左、右焦点分别是F1,F2,若椭圆C上的点P到F1,F2的距离和等于4. (1)写出椭圆C的方程和焦点坐标; (2)直线l过定点M(0,2),且与椭圆C交于不同的两点A,B,若原点O在以线段AB为直径的圆外,求直线l的斜率k的取值范围. 考点  题点  解 (1)由题意得2a=4,即a=2, 又点P在椭圆C上, ∴+=1,即b2=1, ∴椭圆C的方程为+y2=1,焦点F1(-,0),F2(,0). (2)由题意得直线l的斜率存在且不为0, 设l:y=kx+2,代入+y2=1, 整理得(1+4k2)x2+16kx+12=0, Δ=(16k)2-4(1+4k2)·12=16(4k2-3)>0, 得k2>.① 设A(x1,y1),B(x2,y2), ∴x1+x2=-,x1x2=. ∵原点O在以线段AB为直径的圆外, ∴∠AOB为锐角,∴cos∠AOB>0, 则·=x1x2+y1y2>0, 又y1y2=(kx1+2)·(kx2+2) =k2x1x2+2k(x1+x2)+4, ∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4 =(1+k2)+2k+4 =>0.∴k2<4,∴<k2<4, ∴直线l的斜率k的取值范围是∪. [素养评析]  (1)本例中⇒⇒⇒ 利用根与系数的关系与判别式可得到直线斜率的范围. (2)逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式,本例从条件出发与已有知识结合,逐步推出相应的结论.对逻辑推理素养的培养有很好的帮助. 1.点A(a,1)在椭圆+=1的内部,则a的取值范围是(  ) A.-<a< B.a<-或a> C.-2<a<2 D.-1<a<1 考点 椭圆的简单性质 题点 点与椭圆的位置关系 答案 A 解析 由题意知+<1,解得-<a<. 2.直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是(  ) A.m>1 B.m>1且m≠3 C.m>3 D.m>0且m≠3 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 B 解析 由得(3+m)x2+4mx+m=0, ∵Δ=(4m)2-4m(3+m)>0,∴16m2-4m(3+m)>0, ∴m>1或m<0. 又∵m>0且m≠3,∴m>1且m≠3. 3.已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为_______________________________________. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 直线与椭圆的公共点个数问题 答案 2 解析 由题意可设椭圆的方程为+=1(a>2), 与直线方程x+y+4=0联立, 得4(a2-3)y2+8(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0, 由Δ=0,得a=, 所以椭圆的长轴长为2. 4.已知椭圆C的两个焦点是F1(-2,0),F2(2,0),且椭圆C经过点A(0,). (1)求椭圆C的标准方程; (2)若过左焦点F1且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于P,Q两点,求线段PQ的长. 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 弦长与三角形面积 解 (1)由已知得,椭圆C的焦点在x轴上,可设椭圆的方程为+=1(a>b>0),(0,)是椭圆短轴上的一个顶点,可得b=,由题意可得c=2,故a==3,则椭圆C的标准方程为+=1. (2)由已知得,直线l的斜率k=tan45°=1,而F1(-2,0),所以直线l的方程为y=x+2,代入方程+=1,得5x2+9(x+2)2=45,即14x2+36x-9=0,设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,则|PQ|=|x1-x2|=×=×=. 1.直线与椭圆的位置关系,可考虑由直线方程和椭圆方程得到的一元二次方程,利用“Δ”进行判定,求弦长时可利用根与系数的关系,中点弦问题考虑使用点差法. 2.最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想. 一、选择题 1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(  ) A.相切B.相交C.相离D.不确定 考点  题点  答案 B 解析 直线y=kx-k+1可变形为y-1=k(x-1), 故直线恒过定点(1,1),而该点在椭圆+=1内部, 所以直线y=kx-k+1与椭圆+=1相交,故选B. 2.椭圆+=1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是(  ) A.8,2B.5,4C.5,1D.9,1 考点 椭圆的简单性质 题点 通过所给条件研究椭圆的简单性质 答案 D 解析 因为a=5,c=4,所以最大距离为a+c=9,最小距离为a-c=1. 3.已知AB为过椭圆+=1中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB面积的最大值为(  ) A.b2B.abC.acD.bc 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 弦长与三角形面积 答案 D 解析 当直线AB为y轴时,面积最大, 此时|AB|=2b,△AFB的高为c, ∴S△AFB=·2b·c=bc. 4.椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,若直线y=kx与椭圆的一个交点的横坐标x0=b,则k的值为(  ) A.B.±C.D.± 考点 直线与椭圆的位置关系 题点 求椭圆中的直线方程 答案 B 解析 根据椭圆的离心率为,得=. 由x0=b,得y=b2=, ∴y0=±,∴k==±=±. 5.若直线ax+by+4=0和圆x2+y2=4没有公共点,则过点(a,b)的直线与椭圆+=1的公共点个数为(  ) A.0 B.1 C.2 D.需根据a,b的取值来确定 考点 直线与椭圆的位置关系

2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 1.2 椭圆的简单性质(第2课时)椭圆简单性质的应用学案(含解析)北师大版选修1 -1.docx

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