标签: 2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程学案(含解析)新人教B版选修1-1  
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doc 2.1.1 椭圆及其标准方程 学习目标 1.了解椭圆的实际背景,经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形. 知识点一 椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于定长(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两焦点的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距. 知识点二 椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c 的关系 c2=a2-b2 1.平面内与两定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( × ) 2.椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为定值.( √ ) 3.已知长、短轴长,椭圆的标准方程有两个,因为焦点在不同的坐标轴上,其标准方程不同.( √ ) 题型一 椭圆定义的应用 例1 点P(-3,0)是圆C:x2+y2-6x-55=0内一定点,动圆M与已知圆相内切且过P点,判断圆心M的轨迹. 解 方程x2+y2-6x-55=0化成标准形式为(x-3)2+y2=64,圆心为(3,0),半径r=8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点,所以|MC|+|MP|=r=8,根据椭圆的定义,动点M到两定点C,P的距离之和为定值8>6=|CP|, 所以动点M的轨迹是椭圆. 反思感悟 椭圆是在平面内定义的,所以“平面内”这一条件不能忽视. 定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. 常数(2a)必须大于两定点间的距离,否则轨迹不是椭圆,这是判断曲线是否为椭圆的限制条件. 跟踪训练1 下列命题是真命题的是________.(将所有真命题的序号都填上) ①已知定点F1(-1,0),F2(1,0),则满足|PF1|+|PF2|=的点P的轨迹为椭圆; ②已知定点F1(-2,0),F2(2,0),则满足|PF1|+|PF2|=4的点P的轨迹为线段; ③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆. 答案 ② 解析 ①<2,故点P的轨迹不存在;②因为|PF1|+|PF2|=|F1F2|=4,所以点P的轨迹是线段F1F2;③到定点F1(-3,0),F2(3,0)的距离相等的点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线(y轴). 题型二 求椭圆的标准方程 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0); (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点; (3)经过点P,Q. 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 (1)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0). 又椭圆经过点(0,2)和(1,0), 所以所以 所以所求的椭圆的标准方程为+x2=1. (2)因为椭圆的焦点在y轴上, 所以设它的标准方程为+=1(a>b>0), 由椭圆的定义知, 2a=+ =2, 即a=, 又c=2,所以b2=a2-c2=6, 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (3)方法一 ①当椭圆焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 依题意,有解得 由a>b>0,知不合题意,故舍去; ②当椭圆焦点在y轴上时,可设椭圆的标准方程为 +=1(a>b>0). 依题意,有解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二 设椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n). 则解得 所以所求椭圆的方程为5x2+4y2=1, 故椭圆的标准方程为+=1. 反思感悟 求椭圆标准方程的方法 (1)定义法:根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程. (2)待定系数法:先判断焦点位置,设出标准方程形式,最后由条件确定待定系数即可.即“先定位,后定量”. 当所求椭圆的焦点位置不能确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论,但要注意a>b>0这一条件. (3)当已知椭圆经过两点,求椭圆的标准方程时,把椭圆的方程设成mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有两个优点:①列出的方程组中分母不含字母;②不用讨论焦点所在的位置,从而简化求解过程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(-4,0),F2(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10; (2)椭圆过点(3,2),(5,1); (3)椭圆的焦点在x轴上,且经过点(2,0)和点(0,1). 解 (1)设其标准方程为+=1(a>b>0). 则2a=10,c=4,故b2=a2-c2=9, ∴所求椭圆的标准方程为+=1. (2)设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B), 则解得 故所求椭圆的标准方程为+=1. (3)设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 则解得 ∴所求椭圆的标准方程为+y2=1. 题型三 椭圆中焦点三角形问题 例3 (1)已知P是椭圆+=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积; (2)已知椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,求∠F1PF2的大小. 解 (1)由椭圆的标准方程,知a=,b=2, ∴c==1,∴|F1F2|=2. 又由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=2. 在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2, 即4=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1|·|PF2|-2|PF1|·|PF2|cos30°, 即4=20-(2+)|PF1|·|PF2|, ∴|PF1|·|PF2|=16(2-). ∴=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2 =×16(2-)×=8-4. (2)由+=1,知a=3,b=,∴c=, ∴|PF2|=2a-|PF1|=2, ∴cos∠F1PF2==-, 又∵0°<∠F1PF2<180°, ∴∠F1PF2=120°. 反思感悟 在椭圆中,当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时,这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形,这个三角形就是焦点三角形.这个三角形中一条边长等于焦距,另两条边长之和等于椭圆定义中的常数. 在处理椭圆中的焦点三角形问题时,可结合椭圆的定义|MF1|+|MF2|=2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解. 跟踪训练3 已知两定点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2|F1F2|. (1)求点P的轨迹方程; (2)若∠F1PF2=60°,求△PF1F2的面积. 解 (1)依题意知|F1F2|=2, |PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>2=|F1F2|, ∴点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆, 且2a=4,2c=2,∴a=2,c=1,b=, 故所求点P的轨迹方程为+=1. (2)设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=2a=4. 在△PF1F2中,由余弦定理,得 |F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2, ∴4=(m+n)2-2mn(1+cos60°),解得mn=4. ∴=mnsin∠F1PF2=×4sin60°=. 待定系数法求椭圆的标准方程 典例 求焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-)和的椭圆的标准方程. 考点 椭圆标准方程的求法 题点 待定系数法求椭圆的标准方程 解 方法一 若焦点在x轴上,设椭圆的标准方程为 +=1(a>b>0). 由已知条件得 解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. 若焦点在y轴上,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0). 由已知条件得 解得 则a2<b2,与a>b>0矛盾,舍去. 综上可知,所求椭圆的标准方程为+=1. 方法二 设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B). 分别将两点的坐标(2,-),代入椭圆的一般方程, 得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. [素养评析] 通过两种解法的对比,采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程,减少数学运算,提高解题效率.这也正是数学运算策略升级的有力佐证. 1.已知F1,F2是定点,|F1F2|=8,动点M满足|MF1|+|MF2|=8,则动点M的轨迹是(  ) A.椭圆B.直线C.圆D.线段 答案 D 解析 ∵|MF1|+|MF2|=8=|F1F2|, ∴点M的轨迹是线段F1F2. 2.椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是(  ) A.(±,0) B.(0,±) C. D. 答案 C 解析 椭圆的方程为+=1, 则c2=-=,c=. ∴其焦点坐标为. 3.设α∈,方程+=1是表示焦点在y轴上的椭圆,则α的取值范围为(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 ∵焦点在y轴上,∴cosα>sinα, 即sin>sinα, 又α∈,∴-α>α,即α∈. 4.已知椭圆+=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,到另一个焦点的距离为7,则m=________. 答案 25 解析 由椭圆的定义知,3+7=2a,得a=5,则m=a2=25. 5.焦点在坐标轴上,且经过A(-,2)和B(,1)两点,求椭圆的标准方程. 解 设椭圆的标准方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n), ∵A(-,2)和B(,1)两点在椭圆上, ∴解得 ∴椭圆的标准方程为+=1. 1.平面内到两定点F1,F2的距离之和为常数,即|MF1|+|MF2|=2a,当2a>|F1F2|时,轨迹是椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹是线段F1F2;当2a<|F1F2|时,轨迹不存在. 2.对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法:可以通过待定系数法求解,也可以通过椭圆的定义进行求解. 3.用待定系数法求椭圆的标准方程时,若已知焦点的位置,可直接设出标准方程;若焦点位置不确定,可分两种情况求解,也可设Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)求解,避免了分类讨论,达到了简化运算的目的. 一、选择题 1.a=6,c=1的椭圆的标准方程是(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.以上都不对 答案 D 解析 因为椭圆的焦点位置不确定, 故椭圆的标准方程为+=1或+=1. 2.已知椭圆5x2+ky2=5的一个焦点坐标是(0,2),那么k的值为(  ) A.-1B.1C.D.- 答案 B 解析 原方程可化简为x2+=1, 由c2=-1=4,得k=1. 3.椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,则|ON|等于(  ) A.2B.4C.8D. 答案 B 解析 如图,F2为椭圆的右焦点,连接MF2,则ON是△F1MF2的中位线, ∴|ON|=|MF2|,又|MF1|=2,|MF1|+|MF2|=2a=10, ∴|MF2|=8, ∴|ON|=4. 4.设P是椭圆+=1上一点,P到两焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2是(  ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案 B 解析 由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=8, 不妨设|PF1|>|PF2|, ∵|PF1|-|PF2|=2,∴|PF1|=5,|PF2|=3, 又∵|F1F2|=2c=4,∴△PF1F2为直角三角形. 5.曲线+=1与+=1(0<k<9)的关系是(  ) A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有相等的焦距,不同的焦点 C.有不等的焦距,不同的焦点 D.以上都不对 答案 B 解析 曲线+=1焦点在x轴上. 对于曲线+=1, ∵0<k<9,∴25-k>9-k>0, ∴焦点在y轴上,故两者的焦点不同. ∵25-9=(25-k)-(9-k)=16=c2, ∴2c=8,则两者焦距相等. 故选B. 6.方程+=1表示椭圆的必要不充分条件是(  ) A.m∈(-1,2) B.m∈(-4,2) C.m∈(-4,-1)∪(-1,2) D.m∈(-1,+∞) 答案 B 解析 方程+=1表示椭圆的充要条件是 即m∈(-4,-1)∪(-1,2). 由题意可得, 所求m的取值范围包含集合(-4,-1)∪(-1,2). 观察选项,故选B. 7.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且·=0,则点M到x轴的距离为(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 ∵·=0,∴⊥, 由|MF1|+|MF2|=4,① 又|MF1|2+|MF2|2=(2)2=12,② 由①与②可得|MF1|·|MF2|=2, 设M到x轴的距离为h, 则|MF1|·|MF2|=|F1F2|h, h==. 二、填空题 8.若椭圆的两个焦点为F1(-3,0),F2(3,0),椭圆的弦AB过点F1,且△ABF2的周长等于20,该椭圆的标准方程为________________. 答案 +=1 解析 如图,∵△ABF2的周长等于20, ∴4a=20,即a=5,又c=3, ∴b2=a2-c2=52-32=16. ∴椭圆的标准方程为+=1. 9.已知椭圆+=1的焦距为4,则m=_____________ 答案 4或8 解析 (1)当焦点在x轴上时,10-m-(m-2)=4, 解得m=4. (2)当焦点在y轴上时,m-2-(10-m)=4, 解得m=8,∴m=4或8. 10.若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围是____________. 答案 (8,25) 解析 由题意得解得8<m<25. 11.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的顶点A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则=________. 答案  解析 由题意知,|AC|=8,|AB|+|BC|=10. 故===. 三、解答题 12.已知椭圆的中心在

2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程学案(含解析)新人教B版选修1 -1.docx

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