标签: 2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学案(含解析)新人教B版选修2-1  
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doc 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 学习目标 1.了解用坐标法研究几何问题的有关知识和观点.2.了解解析几何的基本思想、明确它所研究的基本问题.3.初步掌握根据已知条件求曲线方程的方法. 知识点一 坐标法的思想 1.坐标法:借助于坐标系,通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法. 2.解析几何研究的主要问题: (1)通过曲线研究方程:根据已知条件,求出表示曲线的方程. (2)通过方程研究曲线:通过曲线的方程,研究曲线的性质. 知识点二 求曲线的方程的步骤 1.建系:建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标. 2.写集合:写出适合条件p的点M的集合P={M|p(M)}. 3.列方程:用坐标表示条件p(M),列出方程F(x,y)=0. 4.化简:化方程F(x,y)=0为最简形式. 5.结论:说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上. 1.求曲线方程的关键是建立坐标系,而坐标系的建立通常是唯一的.( × ) 2.求曲线方程的步骤不可以省略.( × ) 3.按照求曲线方程的步骤求出的曲线方程不用检验.( × ) 题型一 直接法求曲线的方程 例1 一个动点P到直线x=8的距离是它到点A(2,0)的距离的2倍.求动点P的轨迹方程. 解 设P(x,y),则|8-x|=2|PA|. 则|8-x|=2, 化简,得3x2+4y2=48, 故动点P的轨迹方程为3x2+4y2=48. 引申探究 若将本例中的直线改为“y=8”,求动点P的轨迹方程. 解 设P(x,y), 则P到直线y=8的距离d=|y-8|, 又|PA|=, 故|y-8|=2, 化简,得4x2+3y2-16x+16y-48=0. 故动点P的轨迹方程为4x2+3y2-16x+16y-48=0. 反思感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键:①建立恰当的平面直角坐标系;②找出所求动点满足的几何条件. (2)方法:求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤,在实际求解时可简化为三大步骤:建系、设点;根据动点满足的几何条件列方程;对所求的方程化简、说明. 特别提醒:直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化. 跟踪训练1 已知在Rt△ABC中,角C为直角,点A(-1,0),点B(1,0),求满足条件的点C的轨迹方程. 解 如图,设C(x,y), 则=(x+1,y), =(x-1,y). ∵∠C为直角, ∴⊥,即·=0. ∴(x+1)(x-1)+y2=0. 化简得x2+y2=1. ∵A,B,C三点要构成三角形, ∴A,B,C不共线,∴y≠0, ∴点C的轨迹方程为x2+y2=1(y≠0). 题型二 相关点法求曲线的方程 例2 动点M在曲线x2+y2=1上移动,M和定点B(3,0)连线的中点为P,求P点的轨迹方程. 解 设P(x,y),M(x0,y0), 因为P为MB的中点, 所以即 又因为M在曲线x2+y2=1上, 所以(2x-3)2+4y2=1. 所以P点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=1. 反思感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P(x,y),相关动点M(x0,y0). (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系 (3)代入相关动点的轨迹方程. (4)化简、整理,得所求轨迹方程. 跟踪训练2 对任意平面向量=(x,y),把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量=(xcosθ-ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线x2-y2=2,则原来曲线C的方程是(  ) A.xy=-1 B.xy=1 C.y2-x2=2 D.y2-x2=1 考点  题点  答案 A 解析 设平面内曲线C上的点P(x,y), 则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点 P′, ∵点P′在曲线x2-y2=2上, ∴2-2=2, 整理得xy=-1. 题型三 根据曲线的方程求两曲线的交点 例3 过点M(1,2)的直线与曲线y=(a≠0)有两个不同的交点,且这两个交点的纵坐标之和为a,求a的取值范围. 解 当过M点的直线斜率为零或斜率不存在时, 不可能与曲线有两个公共点. 故设直线方程为y-2=k(x-1)(k≠0), 联立方程,得 消去x,得y2-(2-k)y-ka=0.① 当此方程有两个不同的根,即方程组有两个不同的解时,直线与曲线有两个不同的交点. ∴Δ=[-(2-k)]2+4ka>0. 设方程①的两根分别为y1,y2, 由根与系数的关系,得y1+y2=2-k. 又∵y1+y2=a,∴k=2-a, 代入Δ>0中,得a2+4a(2-a)>0, 解得0<a<. 又∵k≠0, ∴2-a≠0,即a≠2. ∴a的取值范围是(0,2)∪. 反思感悟 结合曲线方程的定义,两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解,所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题,讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题.若两曲线C1和C2的方程分别为F(x,y)=0和G(x,y)=0,则它们的交点坐标由方程组的解来确定. 跟踪训练3 直线l:y=k(x-5)(k≠0)与圆O:x2+y2=16相交于A,B两点,O为圆心,当k变化时,求弦AB的中点M的轨迹方程. 解 设M(x,y),易知直线恒过定点P(5,0), 再由OM⊥MP, 得|OP|2=|OM|2+|MP|2, ∴x2+y2+(x-5)2+y2=25, 整理得2+y2=. ∵点M应在圆内, ∴所求的轨迹为圆内的部分. 解方程组 得两曲线交点的横坐标为x=, 故所求轨迹方程为2+y2=. 1.已知等腰三角形ABC底边两端点是A(-,0),B(,0),则顶点C的轨迹是(  ) A.一条直线 B.一条直线去掉一点 C.一个点 D.两个点 答案 B 解析 注意当点C与A,B共线时,不符合题意,应去掉. 2.曲线y=与xy=2的交点是(  ) A.(1,1) B.(2,2) C.直角坐标系内的任意一点 D.不存在 答案 D 3.方程x2+y2=1(xy<0)表示的曲线是(  ) 答案 D 解析 ∵xy<0,当x>0时,y<0,曲线应在第四象限;当x<0时,y>0,曲线应在第二象限,且与坐标轴均无交点. 4.已知⊙O的方程是x2+y2-2=0,⊙O′的方程是x2+y2-8x+10=0,由动点P向⊙O和⊙O′所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是________. 答案 x= 解析 设动点P(x,y),则=,化简整理得x=. 5.若动点P在y=2x2+1上移动,则点P与点Q(0,-1)连线的中点的轨迹方程是什么? 解 设PQ的中点为M(x,y),且P(x0,y0), 则∴ 又∵点P在y=2x2+1上,∴y0=2x+1, 即2y+1=8x2+1,即y=4x2为所求的轨迹方程. 求解轨迹方程常用方法 (1)直接法:直接根据题目中给定的条件求解方程. (2)定义法:依据有关曲线的性质建立等量关系,从而确定其轨迹方程. (3)代入法:有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法. (4)参数法:将x,y用一个或几个参数来表示,消去参数得轨迹方程,此法称为参数法. (5)待定系数法:根据条件能知道曲线的类型,可先根据曲线方程的一般形式设出方程,再根据条件确定待定的系数. 一、选择题 1.平面内有两定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|+|=4,则点P的轨迹是(  ) A.线段B.半圆C.圆D.直线 答案 C 解析 以AB的中点为原点,以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,则A(-2,0),B(2,0).设P(x,y), 则+=2=2(-x,-y).∴x2+y2=4. 2.下列各组方程中表示相同曲线的是(  ) A.y=x,=1 B.y=x,y= C.|y|=|x|,= D.|y|=|x|,y2=x2 答案 D 解析 A中,y=x表示一条直线,而=1表示直线y=x,除去点(0,0);B中,y=x表示一条直线,而y=表示一条折线;C中,|y|=|x|表示两条直线,而=表示一条射线;D中,|y|=|x|和y2=x2均表示两条相交直线.故选D. 3.如图所示的图象对应的方程是(  ) A.|x|-y=0 B.-1=0 C.x-|y|=0 D.-1=0 答案 C 解析 据图,当x>0,y>0时,y=x; 当x>0,y<0时,y=-x; 当x=0时,y=0. 只有选项C符合要求,故选C. 4.已知点A(-1,0),B(1,0),且·=0,则动点M的轨迹方程是(  ) A.x2+y2=1 B.x2+y2=2 C.x2+y2=1(x≠±1) D.x2+y2=2(x≠±) 答案 A 解析 设动点M(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y).由·=0,得(-1-x)(1-x)+(-y)·(-y)=0, 即x2+y2=1. 5.在△ABC中,若B,C的坐标分别是(-2,0),(2,0),中线AD的长度是3,则A点的轨迹方程是(  ) A.x2+y2=3 B.x2+y2=4 C.x2+y2=9(y≠0) D.x2+y2=9(x≠0) 答案 C 解析 易知BC中点D即为原点O,所以|OA|=3,所以点A的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,又因为△ABC中,A,B,C三点不共线,所以y≠0.故选C. 6.与点A(-1,0)和点B(1,0)的连线的斜率之积为-1的动点P的轨迹方程是(  ) A.x2+y2=1 B.x2+y2=1(x≠±1) C.y= D.x2+y2=9(x≠0) 答案 B 解析 设P(x,y),则kPA=,kPB=, 所以kPA·kPB=·=-1. 整理得x2+y2=1,又kPA,kPB存在,所以x≠±1. 所以所求轨迹方程为x2+y2=1(x≠±1). 7.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|等于(  ) A.2B.8C.4D.10 答案 C 解析 由已知,得=(3,-1),=(-3,-9),则·=3×(-3)+(-1)×(-9)=0,所以⊥,即AB⊥BC,故过三点A,B,C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0得(y+2)2=24,解得y1=-2-2,y2=-2+2,所以|MN|=|y1-y2|=4,故选C. 8.已知两点A(,0),B(-,0),点P为平面内一动点,过点P作y轴的垂线,垂足为Q,且·=22,则动点P的轨迹方程为(  ) A.x2+y2=2 B.y2-x2=2 C.x2-2y2=1 D.2x2-y2=1 答案 B 解析 设动点P的坐标为(x,y), 则点Q的坐标为(0,y), =(-x,0),=(-x,-y), =(--x,-y), ·=x2-2+y2. 由·=22, 得x2-2+y2=2x2, 所以所求动点P的轨迹方程为y2-x2=2. 二、填空题 9.点A(1,-2)在曲线x2-2xy+ay+5=0上,则a=________. 答案 5 解析 由题意可知点(1,-2)是方程x2-2xy+ay+5=0的一组解,即1+4-2a+5=0, 解得a=5. 10.已知定点A(0,1),直线l1:y=-1,记过点A且与直线l1相切的圆的圆心为点C.则动点C的轨迹E的方程为__________. 答案 x2=4y 解析 设动点C(x,y),根据题意可知,点C到点A的距离与到直线l1:y=-1的距离相等, 所以=|y+1|, 两边平方整理得x2=4y. 11.已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的一动点,过点P作l的垂线,垂足为Q,且·=·,则动点P的轨迹方程是________. 答案 y2=4x(x≥0) 解析 设点P(x,y),则Q(-1,y). 由·=·, 得(x+1,0)·(2,-y)=(x-1,y)·(-2,y), 所以2(x+1)=-2(x-1)+y2, 化简得y2=4x(x≥0). 三、解答题 12.在平面直角坐标系中,已知点F(0,2),一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到F的距离减去到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程. 解 设点M(x,y)是所求曲线上任意一点, 因为曲线在x轴的上方,所以y>0. 过点M作MB⊥x轴,垂足是点B, 则|MF|-|MB|=2, 即-y=2, 整理得x2+(y-2)2=(y+2)2, 化简得y=x2, 所以所求曲线的方程是y=x2(x≠0). 13.如图,过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1,l2,若l1交x轴于A点,l2交y轴于B点,求线段AB的中点M的轨迹方程. 解 设点M的坐标为(x,y). ∵M为线段AB的中点, ∴点A的坐标为(2x,0),点B的坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且l1,l2过点P(2,4), ∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1. 而kPA=(x≠1),kPB=,∴·=-1(x≠1),整理,得x+2y-5=0(x≠1). ∵当x=1时,A,B的坐标分别为(2,0),(0,4), ∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0. 综上所述,点M的轨迹方程是x+2y-5=0. 14.过点P(0,1)的直线与曲线|x|-1=相交于A,B两点,则线段AB长度的取值范围是____________. 答案 [2,4] 解析 曲线|x|-1=可化为 图象如图所示,则线段AB长度的取值范围是[2,4]. 15.如图所示,圆O1和圆O2的半径都等于1,|O1O2|=4,过动点P分别作圆O1、圆O2的切线PM,PN(M,N为切点),使得|PM|=|PN|.求动点P的轨迹方程. 解 以O

2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质学案(含解析)新人教B版选修2-1.docx

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