标签: 2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2椭圆的几何性质(第1课时)椭圆的几何性质学案(含解析)新人教B版选修2-1  
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doc 第1课时 椭圆的几何性质 学习目标 1.掌握椭圆的几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义.2.会用椭圆的几何意义解决相关问题. 知识点一 椭圆的几何性质 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 图形 焦点坐标 (±c,0) (0,±c) 对称性 关于x轴、y轴轴对称,关于坐标原点中心对称 顶点坐标 A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0) 范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a 长轴、短轴 长轴A1A2长为2a,短轴B1B2长为2b 知识点二 椭圆的离心率 1.椭圆的焦距与长轴长的比e=称为椭圆的离心率. 2.因为a>c,故椭圆离心率e的取值范围为(0,1),当e越近于1时,椭圆越扁,当e越近于0时,椭圆越圆. 1.椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a.( × ) 2.椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( × ) 3.若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长分别为10,8,则椭圆的方程为+=1.( × ) 4.设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点,M为其上任一点,则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距).( √ ) 题型一 椭圆的几何性质 例1 求椭圆m2x2+4m2y2=1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 解 由已知得+=1(m>0), ∵0<m2<4m2, ∴>, ∴椭圆的焦点在x轴上,并且长半轴长a=, 短半轴长b=,半焦距c=, ∴椭圆的长轴长2a=,短轴长2b=, 焦点坐标为,, 顶点坐标为,,,, 离心率e===. 反思感悟 从椭圆的标准方程出发,分清其焦点位置,然后再写出相应的性质. 跟踪训练1 已知椭圆C1:+=1,设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等,且椭圆C2的焦点在y轴上. (1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率; (2)写出椭圆C2的方程,并研究其性质. 解 (1)由椭圆C1:+=1可得其长半轴长为10,短半轴长为8,焦点坐标为(6,0), (-6,0),离心率e=. (2)椭圆C2:+=1.性质如下: ①范围:-8≤x≤8,-10≤y≤10;②对称性:关于x轴、y轴、原点对称;③顶点:长轴端点(0,10),(0,-10),短轴端点(-8,0),(8,0);④焦点:(0,6),(0,-6);⑤离心率:e=. 题型二 椭圆几何性质的简单应用 命题角度1 依据椭圆的几何性质求标准方程 例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点,焦点在y轴上,若其离心率为,焦距为8; (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为. 解 (1)由题意知,2c=8,c=4, ∴e===,∴a=8, 从而b2=a2-c2=48, ∴椭圆的标准方程是+=1. (2)由已知得 ∴从而b2=9, ∴所求椭圆的标准方程为+=1或+=1. 反思感悟 在求椭圆方程时,要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确定方程的形式;若不能确定焦点所在的坐标轴,则应进行讨论,然后列方程(组)确定a,b. 跟踪训练2 根据下列条件,求中心在原点,对称轴在坐标轴上的椭圆的标准方程: (1)长轴长是短轴长的2倍,且过点(2,-6); (2)焦点在x轴上,一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直,且半焦距为6. 解 (1)当焦点在x轴上时,设椭圆方程为+=1(a>b>0). 依题意有解得 ∴椭圆的标准方程为+=1. 同样地可求出当焦点在y轴上时, 椭圆的标准方程为+=1. 故所求椭圆的标准方程为+=1或+=1. (2)依题意有∴b=c=6,∴a2=b2+c2=72, ∴所求椭圆的标准方程为+=1. 命题角度2 最值问题 例3 椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=,已知点P到椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆的方程. 解 设所求椭圆方程为+=1(a>b>0). ∵===,∴a=2b. ∴椭圆方程为+=1. 设椭圆上点M(x,y)到点P的距离为d, 则d2=x2+2=4b2+y2-3y+ =-32+4b2+3, 令f(y)=-32+4b2+3. (1)当-b≤-,即b≥时, d=f=4b2+3=7, 解得b=1,∴椭圆方程为+y2=1. (2)当-<-b,即0<b<时,d=f(-b)=7, 解得b=->,与b<矛盾. 综上所述,所求椭圆方程为+y2=1. 反思感悟 求解椭圆的最值问题的基本方法有两种 (1)几何法:若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义及对称知识求解; (2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则可首先建立起目标函数,再根据函数式的特征选用适当的方法求解目标函数的最值.常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等. 跟踪训练3 已知点F1,F2是椭圆x2+2y2=2的左、右焦点,点P是该椭圆上的一个动点,那么|+|的最小值是(  ) A.0B.1C.2D.2 答案 C 解析 设P(x0,y0),则=(-1-x0,-y0), =(1-x0,-y0),∴+=(-2x0,-2y0), ∴|+|= =2 =2. ∵点P在椭圆上,∴0≤y≤1, ∴当y=1时,|+|取最小值2.故选C. 题型三 求椭圆的离心率 例4 设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率. 解 设椭圆方程为+=1(a>b>0). ∵F1(-c,0),∴P(-c,yp),代入椭圆方程得 +=1,∴y=, ∴|PF1|==|F1F2|,即=2c, 又∵b2=a2-c2,∴=2c, ∴e2+2e-1=0,又0<e<1,∴e=-1. 反思感悟 求解椭圆的离心率,其实质就是构建a,b,c之间的关系式,再结合b2=a2-c2,从而得到a,c之间的关系式,进而确定其离心率. 跟踪训练4 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(  ) A.B.C.D. 答案 D 解析 由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====. 椭圆几何性质的应用 典例 神舟五号飞船成功完成了第一次载人航天飞行,实现了中国人民的航天梦想.某段时间飞船在太空中运行的轨道是一个椭圆,地心为椭圆的一个焦点,如图所示.假设航天员到地球的最近距离为d1,最远距离为d2,地球的半径为R,我们想象存在一个镜像地球,其中心在神舟飞船运行轨道的另外一个焦点上,上面住着一个神仙发射某种神秘信号,需要飞行中的航天员中转后地球人才能接收到,则传送神秘信号的最短距离为(  ) A.d1+d2+R B.d2-d1+2R C.d2+d1-2R D.d1+d2 考点 椭圆的简单几何性质 题点 椭圆的顶点、焦点、长短轴、对称性 答案 D 解析 设椭圆的方程为+=1(a>b>0),半焦距为c,两焦点分别为F1,F2,飞行中的航天员为点P,由已知可得则2a=d1+d2+2R,故传送神秘信号的最短距离为|PF1|+|PF2|-2R=2a-2R=d1+d2. [素养评析] 将太空中的轨迹与学过的椭圆建立起对应关系.利用椭圆的几何性质来解决航空航天问题,考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力. 1.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点,且短轴长为2的椭圆的标准方程是(  ) A.+=1 B.x2+=1 C.+y2=1 D.+=1 答案 B 解析 由已知得c=,b=1,所以a2=b2+c2=6, 故椭圆的标准方程为+x2=1. 2.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心率为(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由2x2+3y2=m(m>0),得+=1, ∴c2=-=,∴e2=,∴e=. 3.若一个椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由题意有2a+2c=2(2b),即a+c=2b,又c2=a2-b2,消去b整理得5c2=3a2-2ac,即5e2+2e-3=0, ∴e=或e=-1(舍去). 4.已知点(m,n)在椭圆8x2+3y2=24上,则2m+4的取值范围是________________. 答案 [4-2,4+2] 解析 因为点(m,n)在椭圆8x2+3y2=24上,即在椭圆+=1上,所以点(m,n)满足椭圆的范围|x|≤,|y|≤2,因此|m|≤,即-≤m≤, 所以2m+4∈[4-2,4+2]. 5.已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为________. 答案 (0,±) 解析 由题意知椭圆焦点在y轴上,且a=13,b=10,则c==,故焦点坐标为(0,±). 1.可以应用椭圆的定义和方程,把几何问题转化为代数问题,再结合代数知识解题.而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密,因此,涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理. 2.椭圆的定义式:|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|),在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体灵活应用. 3.利用正弦、余弦定理处理△PF1F2的有关问题. 4.椭圆上的点到一焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c. 一、选择题 1.椭圆4x2+49y2=196的长轴长、短轴长、离心率依次是(  ) A.7,2, B.14,4, C.7,2, D.14,4, 答案 B 解析 先将椭圆方程化为标准形式+=1, 其中b=2,a=7,c=3. 2.如图,直线l:x-2y+2=0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B,则椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 答案 D 解析 ∵x-2y+2=0,∴y=x+1,∴=, ∴=,∴=,=. 3.焦点在x轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为4,则椭圆的方程为(  ) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 答案 A 解析 依题意得c=2,a+b=10,又a2=b2+c2,从而解得a=6,b=4. 4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的2倍,则m的值为(  ) A.B.C.2D.4 考点 由椭圆的简单几何性质求方程 题点 由椭圆的几何性质求参数 答案 B 解析 椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,短半轴长为1,长轴长是短轴长的2倍,故=2,解得m=. 5.若椭圆+=1的离心率为,则k的值为(  ) A. B.-3 C.或-3 D.-3或 答案 C 解析 若焦点在x轴上,则=1-2=, ∴k=; 若焦点在y轴上,则=,∴k=-3,故选C. 6.已知椭圆+=1(a>b>0)的焦点分别为F1,F2,|F1F2|=2,离心率e=,则椭圆方程为(  ) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 答案 C 解析 因为|F1F2|=2,离心率e=,所以c=1,a=2,所以b2=3,即椭圆方程为+=1. 7.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P,F2为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为(  ) A.B.C.D. 答案 B 解析 由题意得,点P的坐标为或, 因为∠F1PF2=60°,所以=, 即2ac=b2=(a2-c2), 所以e2+2e-=0,解得e=或e=-(舍去). 8.如图,已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1的直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率为(  ) A.-1 B.2- C. D. 考点 椭圆的离心率问题 题点 由a与c的关系式得离心率 答案 A 解析 ∵过F1的直线MF1是圆F2的切线, ∴∠F1MF2=90°,|MF2|=c,∵|F1F2|=2c, ∴|MF1|=c,由椭圆定义可得|MF1|+|MF2|=c+c=2a,∴椭圆离心率e==-1. 二、填空题 9.若椭圆x2+my2=1的离心率为,则m=________. 答案 或4 解析 方程化为x2+=1,则有m>0且m≠1. 当<1时,依题意有=,解得m=4; 当>1时,依题意有=,解得m=. 综上,m=或4. 10.已知椭圆C的上,下顶点分别为B1,B2,左,右焦点分别为F1,F2,若四边形B1F1B2F2是正方形,则此椭圆的离心率e=________. 答案  解析 因为四边形B1F1B2F2是正方形,所以b=c, 所以a2=b2+c2=2c2,所以e==. 11.若椭圆+=1的焦点在x轴上,过点作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆的方程是____________. 答案 +=1 解析 ∵x=1是圆x2+y2=1的一条切线. ∴椭圆的右焦点为A(1,0),即c=1. 设P,则kOP=,∵OP⊥AB,∴kAB=-2,则直线AB的方程为y=-2(x-1),它与y轴的交点为(0,2).∴b=2,a2=b2+c2=5,故椭圆的方程为+=1. 三、解答题 12.已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=,求m的值及椭圆的长轴和短轴长、焦点坐标、顶点坐标. 解 椭圆方程可化为+=1,m>0. ∵m-=>0,∴m>, ∴a2=m,b2=,c==. 由e=,得=,∴m=1. ∴椭圆的标准方程为x2+=1, ∴a=1,b=,c=. ∴椭圆的长轴长和短轴长分别为2a=2和2b=1,焦点坐标为F1,F2,四个顶点的坐标分别为A1(-1,0),A2(1,0),B1,B2. 13.如图,焦点在x轴上的椭

2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的几何性质(第1课时)椭圆的几何性质学案(含解析)新人教B版选修2-1.docx

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