标签: 2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案(含解析)新人教B版选修2-1  
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doc 2.3.2 双曲线的几何性质 学习目标 1.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.能用双曲线的几何性质解决一些简单问题.4.了解直线与双曲线相交的相关问题. 知识点 双曲线的几何性质 1.渐近线:直线y=±x叫做双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线. 2.离心率:双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率,用e表示(e>1). 3.双曲线的几何性质见下表: 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤-a y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 顶点 顶点坐标:A1(-a,0),A2(a,0) 顶点坐标:A1(0,-a),A2(0,a) 轴长 实轴长:2a;虚轴长:2b 渐近线 y=±x y=±x 离心率 e=,e∈(1,+∞),其中c= a,b,c间的关系 c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 1.等轴双曲线的离心率是.( √ ) 2.椭圆的离心率与双曲线的离心率取值范围相同.( × ) 3.双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的形状相同.( √ ) 4.双曲线-=1与-=1(a>0,b>0)的渐近线相同.( × ) 题型一 由双曲线方程研究其几何性质 例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程. 考点 双曲线的简单几何性质 题点 由双曲线方程求a,b,c,渐近线 解 将9y2-4x2=-36化为标准方程为-=1, 即-=1, 所以a=3,b=2,c=. 因此顶点坐标为A1(-3,0),A2(3,0), 焦点坐标为F1(-,0),F2(,0), 实轴长2a=6,虚轴长2b=4, 离心率e==, 渐近线方程为y=±x=±x. 引申探究 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程. 解 把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程为-=1(m>0,n>0), 由此可知,实半轴长a=, 虚半轴长b=,c=, 焦点坐标为(,0),(-,0), 离心率e===, 顶点坐标为(-,0),(,0), 所以渐近线方程为y=±x,即y=±x. 反思感悟 由双曲线的方程研究几何性质的解题步骤 (1)把双曲线方程化为标准方程是解决本题的关键. (2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值. (3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质. 跟踪训练1 求双曲线9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. 解 把方程9y2-16x2=144化为标准方程-=1. 由此可知,实半轴长a=4,虚半轴长b=3, c===5,焦点坐标是(0,-5),(0,5), 离心率e==,渐近线方程为y=±x. 题型二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)一个焦点为(0,13),且离心率为; (2)渐近线方程为y=±x,且经过点A(2,-3). 解 (1)依题意可知,双曲线的焦点在y轴上,且c=13,又=, ∴a=5,b2=c2-a2=144,故其标准方程为-=1. (2)方法一 ∵双曲线的渐近线方程为y=±x, 若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=.① ∵A(2,-3)在双曲线上,∴-=1.② 由①②联立,无解. 若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则=.③ ∵A(2,-3)在双曲线上,∴-=1.④ 由③④联立,解得a2=8,b2=32. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 方法二 由双曲线的渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为-y2=λ(λ≠0), ∵A(2,-3)在双曲线上, ∴-(-3)2=λ,即λ=-8. ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 反思感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程常用待定系数法,当焦点位置明确时直接设出双曲线的标准方程即可,当焦点位置不明确时,应注意分类讨论,也可以不分类讨论直接把双曲线方程设成mx2-ny2=1(mn>0),从而直接求出来.当双曲线的渐近线方程为y=±x时,可以将方程设为-=λ(λ≠0). 跟踪训练2 (1)求与双曲线-=1有共同的渐近线,且经过点M(3,-2)的双曲线的标准方程; (2)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与原点的距离为,求此双曲线的标准方程. 解 (1)设所求双曲线的方程为-=λ(λ≠0). ∵点M(3,-2)在双曲线上, ∴-=λ,即λ=-2. ∴双曲线的标准方程为-=1. (2)∵e=,∴=,∴=, ∴a2=3b2.① 又∵直线AB的方程为bx-ay-ab=0, ∴d==,即4a2b2=3(a2+b2).② 解①②组成的方程组,得a2=3,b2=1. ∴双曲线的标准方程为-y2=1. 题型三 直线与双曲线的位置关系 例3 (1)求直线y=x+1被双曲线x2-=1截得的弦长; (2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2-=1截得的弦中点的轨迹方程. 解 (1)由得4x2-(x+1)2-4=0. 化简得3x2-2x-5=0. 设此方程的解为x1,x2,则有x1+x2=,x1x2=-. 故所截得的弦长d=·|x1-x2| =·=·=. (2)方法一 ∵当该直线的斜率不存在时,直线与双曲线无交点,故可设直线的方程为y=kx+1,它被双曲线截得的弦AB对应的中点为P(x,y). 由得(4-k2)x2-2kx-5=0. 设此方程的解为x1,x2,则4-k2≠0, Δ=4k2+20(4-k2)>0,∴16k2<80,即|k|<,k≠±2, 且x1+x2=,x1x2=-, ∴x=(x1+x2)=, y=(y1+y2)=(x1+x2)+1=. 由消去k, 得4x2-y2+y=0(y<-4或y≥1). 方法二 设弦的两个端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),弦的中点为P(x,y), 则 ①-②,得4(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2), 当直线AB的斜率k≠0时, 得=, 即==, 整理得4x2-y2+y=0(y<-4或y>1). 当k=0时,y1=y2=1,x1+x2=0, ∴x=0,y=1,也满足4x2-y2+y=0. 综上所述,弦中点的轨迹方程为4x2-y2+y=0(y<-4或y≥1). 反思感悟 (1)利用弦长公式|AB|=|xA-xB|=·,求解的关键是正确应用根与系数的关系,整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式. (2)涉及弦长的中点问题,常用“点差法”,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系. 跟踪训练3 已知双曲线焦距为4,焦点在x轴上,且过点P(2,3). (1)求该双曲线的标准方程; (2)若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1,求直线m被双曲线截得的弦长. 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线相交弦长与三角形的面积 解 (1)设双曲线方程为-=1(a>0,b>0), 由已知可得左、右焦点F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0), 则|PF1|-|PF2|=2=2a,所以a=1, 又c=2,所以b=, 所以双曲线方程为x2-=1. (2)由题意可知直线m的方程为y=x-2, 联立双曲线及直线方程消去y得2x2+4x-7=0, 设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2), 所以x1+x2=-2,x1x2=-, 由弦长公式得|AB|=|x1-x2| ==6. 存在性问题需验证 典例 已知双曲线2x2-y2=2,过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于点Q1,Q2,且点B是弦Q1Q2的中点,若存在这样的直线l,求出它的方程;若不存在,请说明理由. 考点 直线与双曲线的位置关系 题点 直线与双曲线的其他问题 解 设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2)是双曲线上的两点, 则x1≠x2,且x1+x2=2,y1+y2=2, 由 两式相减并变形得=2, 若存在,则直线l为y-1=2(x-1),即y=2x-1, 联立得2x2-4x+3=0, 而Δ=-8<0,方程无实根, 即直线与双曲线无交点, 故不存在满足条件的直线. [素养评析] (1)利用“点差法”解题,其过程是无法保证直线与双曲线相交的,因此必须对所求得直线方程的存在性进行验证. (2)确定好运算方法,形成运算程序的完备性,有利于培养学生一丝不苟、严谨求实的科学素养. 1.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m的值为(  ) A.4B.-4C.-D. 考点 双曲线的简单几何性质 题点 由双曲线方程研究其它问题 答案 C 解析 由双曲线方程mx2+y2=1,知m<0, 则双曲线方程可化为y2-=1, 则a2=1,a=1, 又虚轴长是实轴长的2倍, ∴b=2,∴-=b2=4, ∴m=-,故选C. 2.设双曲线+=1的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为(  ) A.-4B.-3C.2D.1 答案 A 解析 ∵方程表示双曲线,∴a<0,标准方程为-=1, ∴渐近线方程为y=±x, ∴=,解得a=-4. 3.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于(  ) A.B.C.D. 答案 C 解析 由题意知a2+5=9, 解得a=2,e==. 4.若双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,则双曲线的焦点坐标是________. 答案 (±,0) 解析 由渐近线方程为y=±x=±x, 得m=3,c=,且焦点在x轴上. 5.设双曲线-=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2,则双曲线的渐近线方程为________. 答案 y=±x 解析 由条件知2b=2,2c=2, ∴b=1,c=,a2=c2-b2=2,即a=, ∴双曲线方程为-y2=1, 因此其渐近线方程为y=±x. 双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等,与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力. (1)当与向量知识结合时,注意运用向量的坐标运算,将向量间的关系,转化为点的坐标问题,再根据根与系数的关系,将所求问题与条件建立关系求解. (2)当与直线有关时,常常联立直线与双曲线的方程,消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解. 一、选择题 1.下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是(  ) A.x2-=1 B.-y2=1 C.x2-=1 D.-y2=1 答案 A 解析 由双曲线的几何性质知,双曲线x2-=1的渐近线方程为y=±2x,故选A. 2.直线y=x-1被双曲线2x2-y2=3所截得的弦的中点坐标是(  ) A.(1,2) B.(-2,-1) C.(-1,-2) D.(2,1) 答案 C 解析 将y=x-1代入2x2-y2=3,得x2+2x-4=0, 由此可得弦的中点的横坐标为=-1.故选C. 3.过双曲线x2―y2=4的右焦点且平行于虚轴的弦长是(  ) A.1B.2C.3D.4 答案 D 解析 设弦与双曲线的交点为A,B(A点在B点上方),由AB⊥x轴且过右焦点,可得A,B两点的横坐标为2,代入双曲线方程得A(2,2),B(2,-2),故|AB|=4. 4.已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则双曲线C的方程为(  ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 答案 A 解析 双曲线C的渐近线方程为-=0,点P(2,1)在渐近线上,∴-=0,即a2=4b2, 又a2+b2=c2=25,解得b2=5,a2=20,故选A. 5.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,与直线y=x交于A,B两点,若|AB|=2,则该双曲线的方程为(  ) A.x2-y2=6 B.x2-y2=9 C.x2-y2=16 D.x2-y2=25 答案 B 解析 设等轴双曲线的方程为x2-y2=a2(a>0), 与y=x联立,得x2=a2, ∴|AB|=×a=2,∴a=3,故选B. 6.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为(  ) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 答案 C 解析 由e==知,a=2k,c=k,k∈(0,+∞), 由b2=c2-a2=k2知b=k. 所以=. 即渐近线方程为y=±x. 7.若在双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是(  ) A.(+∞) B.(1,) C.(2,+∞) D.(1,2) 答案 C 解析 由于到原点O和右焦点F距离相等的点在线段OF的垂直平分线上,其方程为x=.依题意知,在双曲线-=1(a>0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个,所以直线x=与右支有两个交点,故应满足>a,即>2,得e>2. 8.设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F且斜率为-1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点,若=-3,则双曲线C的离心率e等于(  ) A.B.C.D. 答案 D 解析 设F(c,0),则过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F且斜率为-1的直线l的方程为y=-(x-c), 而渐近线方程是y=±x, 由得B, 由得A, =,=, 由=-3, 得=-3, 则=-3·, 即b=a, 则c==a,则e==,故选D. 二、填空题 9.过点A(3,-1)且被A点平分的双曲线-y2=1的弦所在的直线方程是________. 答案 3x+4y-5=0 解析 易知所求直线的斜率存在,设为k,则该直线的方程为y+1=k(x-3),代入-y2=1,消去y得关于

2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的几何性质学案(含解析)新人教B版选修2-1.docx

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