标签: 2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程3.1双曲线及其标准方程学案(含解析)北师大版选修1-1  
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doc 3.1 双曲线及其标准方程 学习目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程及其求法.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 知识点一 双曲线的定义 1.平面内到两个定点F1,F2的距离之差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的焦距. 2.关于“小于|F1F2|”:①若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是以F1,F2为端点的两条射线(包括端点);②若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在. 3.若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的一支. 4.若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线. 知识点二 双曲线的标准方程 1.双曲线两种形式的标准方程 焦点所在的坐标轴 x轴 y轴 标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0) 图形 焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c的关系式 a2+b2=c2 2.焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”,若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上. 3.双曲线的焦点位置不确定时可设其标准方程为Ax2+By2=1(AB<0). 4.标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定形条件,注意这里的b2=c2-a2与椭圆中的b2=a2-c2相区别. 1.平面内到两定点距离的差的绝对值等于常数的点的集合是双曲线.( × ) 2.平面内到两定点的距离之差等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的轨迹是双曲线.( × ) 3.在双曲线方程-=1(a>0,b>0)中,a2=b2+c2.( × ) 题型一 求双曲线的标准方程 例1 求适合下列条件的双曲线的标准方程. (1)a=4,经过点A; (2)经过点(3,0),(-6,-3). 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)当焦点在x轴上时, 设所求标准方程为-=1(b>0), 把A点的坐标代入,得b2=-×<0,不符合题意; 当焦点在y轴上时, 设所求标准方程为-=1(b>0), 把A点的坐标代入,得b2=9, ∴所求双曲线的标准方程为-=1. (2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0), ∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3), ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 反思感悟 求双曲线方程的方法 (1)求双曲线的标准方程与求椭圆标准方程类似,也是“先定型,后定量”,利用待定系数法求解. (2)当焦点位置不确定时,应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论. (3)当已知双曲线经过两点,求双曲线的标准方程时,把双曲线方程设成mx2+ny2=1(mn<0)的形式求解. 跟踪训练1 根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)c=,经过点(-5,2),焦点在x轴上; (2)与椭圆+=1有共同的焦点,它们的一个交点的纵坐标为4. 考点 双曲线的标准方程的求法 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 解 (1)∵焦点在x轴上,c=, ∴设所求双曲线方程为-=1(其中0<λ<6). ∵双曲线经过点(-5,2), ∴-=1,∴λ=5或λ=30(舍去). ∴所求双曲线的标准方程是-y2=1. (2)椭圆+=1的两个焦点为F1(0,-3),F2(0,3),双曲线与椭圆的一个交点坐标为(,4)或(-,4). 设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0), 则解得 故所求双曲线的标准方程为-=1. 题型二 由双曲线的标准方程求参数 例2 方程+=1表示双曲线,则m的取值范围是(  ) A.(-2,-1) B.(-2,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-2)∪(-1,+∞) 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A 解析 由题意可知,(2+m)(m+1)<0,∴-2<m<-1. 反思感悟 将双曲线的方程化为标准方程的形式,假如双曲线的方程为+=1,则当mn<0时,方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线;若则方程表示焦点在y轴上的双曲线. 跟踪训练2 若k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是(  ) A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的椭圆 C.焦点在y轴上的双曲线 D.焦点在x轴上的双曲线 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 C 解析 原方程化为-=1, ∵k>1,∴k2-1>0,k+1>0. ∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线. 题型三 双曲线的定义及应用 例3 (1)如图,已知双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),点A,B均在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右焦点F2,|AB|=m,F1为双曲线的左焦点,则△ABF1的周长为________. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 4a+2m 解析 由双曲线的定义,知|AF1|-|AF2|=2a, |BF1|-|BF2|=2a. 又|AF2|+|BF2|=|AB|, 所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB| =4a+2|AB|=4a+2m. (2)设P为双曲线x2-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点,若|PF1|∶|PF2|=3∶2,则△PF1F2的面积为________. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 12 解析 由已知得2a=2, 又由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2, 因为|PF1|∶|PF2|=3∶2, 所以|PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=2, 由余弦定理,得cos∠F1PF2==0, 所以△F1PF2为直角三角形. =×|PF1|·|PF2|=×6×4=12. 引申探究  本例(2)中,若将“|PF1|∶|PF2|=3∶2”改为“|PF1|·|PF2|=24”,求△PF1F2的面积. 解 由双曲线方程为x2-=1, 可知a=1,b=2,c==. 因为|PF1|·|PF2|=24, 所以cos∠F1PF2= = ==0, 所以△PF1F2为直角三角形. 所以=|PF1|·|PF2|=12. 反思感悟 求双曲线-=1中焦点三角形面积的方法 (1)方法一: ①根据双曲线的定义求出||PF1|-|PF2||=2a; ②利用余弦定理表示出|PF1|,|PF2|,|F1F2|之间满足的关系式; ③通过配方,利用整体的思想求出|PF1|·|PF2|的值; ④利用公式=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2求得面积. (2)方法二:利用公式=|F1F2|×|yP|(yP为P点的纵坐标)求得面积. 同理可求得双曲线-=1中焦点三角形的面积. 特别提醒:利用双曲线的定义解决与焦点有关的问题,一是要注意定义条件||PF1|-|PF2||=2a的变形使用,特别是与|PF1|2+|PF2|2,|PF1|·|PF2|之间的关系. 跟踪训练3 已知F1,F2分别为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于(  ) A.1B.4C.6D.8 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 B 解析 设|PF1|=m,|PF2|=n, 由余弦定理得|F1F2|2=m2+n2-2mncos∠F1PF2, 即m2+n2-mn=8,∴(m-n)2+mn=8,∴mn=4, 即|PF1|·|PF2|=4. 由双曲线的定义求轨迹方程 典例 已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________. 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 x2-=1(x≤-1) 解析 如图,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B,根据两圆外切的条件|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=2,这表明动点M与两定点C2,C1的距离的差是常数2且2<6=|C1C2|. 根据双曲线的定义,动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),这里a=1,c=3,则b2=8,设点M的坐标为(x,y),其轨迹方程为x2-=1 (x≤-1). [素养评析] (1)定义法求双曲线方程的注意点 ①注意条件中是到定点距离之差,还是差的绝对值. ②当差的绝对值为常数时要注意常数与两定点间距离的大小问题. ③求出方程后要注意表示满足方程的解的坐标是否都在所给的曲线上. (2)建立数与形的联系,探索解决数学问题的思路,提升数形结合能力,形成数学直观直觉,有利于培养学生的数学思维品质和关键能力. 1.已知F1(3,3),F2(-3,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=4,则P点的轨迹是(  ) A.双曲线 B.双曲线的一支 C.不存在 D.一条射线 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 B 解析 因为|PF1|-|PF2|=4,且4<|F1F2|, 由双曲线定义知,P点的轨迹是双曲线的一支. 2.若k∈R,方程+=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围是(  ) A.-3<k<-2 B.k<-3 C.k<-3或k>-2 D.k>-2 考点 双曲线的标准方程 题点 已知方程判断曲线的类型 答案 A 解析 由题意知,k+3>0且k+2<0, ∴-3<k<-2. 3.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,P是双曲线上的一点,且3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(  ) A.4B.8C.24D.48 考点 双曲线的定义 题点 双曲线的焦点三角形 答案 C 解析 由题意得解得 又由|F1F2|=10,可得△PF1F2是直角三角形,且PF1⊥PF2, 则=|PF1|·|PF2|=24. 4.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值是________. 考点 双曲线性质的应用 题点 双曲线与椭圆结合的有关问题 答案 1 解析 由a>0,0<a2<4,且4-a2=a+2,可解得a=1. 5.根据下列条件,求双曲线的标准方程. (1)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2); (2)经过点(3,0),(-6,-3). 考点  题点  解 (1)设双曲线的标准方程为-=1(-4<k<16). 将点(3,2)代入, 解得k=4或k=-14(舍去), ∴双曲线的标准方程为-=1. (2)设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0), ∵双曲线经过点(3,0),(-6,-3), ∴解得 ∴所求双曲线的标准方程为-=1. 1.双曲线定义中||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|)不要漏了绝对值符号,当2a=|F1F2|时表示两条射线. 2.在双曲线的标准方程中,a>b不一定成立,要注意与椭圆中a,b,c的区别.在椭圆中a2=b2+c2,在双曲线中c2=a2+b2. 3.用待定系数法求双曲线的标准方程时,要先判断焦点所在的位置,设出标准方程后,由条件列出a,b,c的方程组. 如果焦点不确定要分类讨论,采用待定系数法求方程或用形如mx2+ny2=1(mn<0)的形式求解. 一、选择题 1.已知双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为(  ) A. B. C. D.(,0) 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 C 解析 将双曲线方程化成标准方程为-=1, 所以a2=1,b2=,所以c==, 故右焦点坐标为. 2.双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,若双曲线上一点P到F1的距离为12,则P到F2的距离为(  ) A.17 B.22 C.2或22 D.7或17 考点 双曲线的定义 题点 双曲线定义的应用 答案 C 解析 由双曲线的定义,得||PF1|-|PF2||=10, 又|PF1|=12,则P到F2的距离为2或22,经检验,均符合题意.故选C. 3.过点(1,1)且=的双曲线的标准方程是(  ) A.-y2=1 B.-x2=1 C.x2-=1 D.-y2=1或-x2=1 考点 求双曲线的标准方程 题点 待定系数法求双曲线的标准方程 答案 D 解析 由于=,∴b2=2a2.当焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1,代入(1,1)点,得a2=.此时双曲线方程为-y2=1.同理求得焦点在y轴上时,双曲线方程为-x2=1. 4.若方程-=1表示双曲线,则实数m的取值范围是(  ) A.-1<m<3 B.m>-1 C.m>3 D.m<-1 答案 B 解析 依题意应有m+1>0,即m>-1. 5.双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标为(0,3),则k的值是(  ) A.1 B.-1 C. D.- 考点 双曲线的标准方程 题点 由双曲线方程求参数 答案 B 解析 原方程可化为-=1,由焦点坐标是(0,3)可知c=3,且焦点在y轴上,∴k<0.c2=--=-=9,∴k=-1,故选B. 6.若双曲线C:2x2-y2=m(m>0)与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,且|AB|=4,则m的值是(  ) A.116B.80C.52D.20 考点 双曲线与其他曲线的综合应用 题点 双曲线与其他曲线的综合应用 答案 D 解析 由抛物线y2=16x可知其准线方程为x=-4. 因为双曲线是轴对称图形,所以点A,B到x轴的距离均为2.不妨设点A(-4,2). 又点A在双曲线上,将其坐标代入双曲线方程2x2-y2=m,得m

2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 3.1 双曲线及其标准方程学案(含解析)北师大版选修1 -1.docx

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