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doc 单元质量测试(七)   时间:120分钟   满分:150分 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.直线3x+y-1=0的倾斜角大小为(  ) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案 C 解析 ∵k=-=-,∴α=120°.故选C. 2.“a=2”是“直线y=-ax+2与y=x-1垂直”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由a=2得两直线斜率满足(-2)×=-1,即两直线垂直;由两直线垂直得(-a)×=-1,解得a=±2.故选A. 3.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为,则双曲线的渐近线方程为(  ) A.y=±x B.y=±x C.y=±2x D.y=±x 答案 A 解析 由题意得,双曲线的离心率e==,故=,故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x. 4.(2018·邯郸摸底)已知F1,F2分别是双曲线C:-=1的左、右焦点,P为双曲线C右支上一点,且|PF1|=8,则=(  ) A.4 B.3 C.2 D.2 答案 A 解析 由-=1知c2=a2+b2=16,所以|F1F2|=2c=8,由双曲线定义知||PF1|-|PF2||=2a=6,所以|PF2|=2或|PF2|=14(P在右支上,舍去),所以=4. 5.(2018·福州模拟)已知双曲线C的两个焦点F1,F2都在x轴上,对称中心为原点,离心率为.若点M在C上,且MF1⊥MF2,M到原点的距离为,则C的方程为(  ) A.-=1 B.-=1 C.x2-=1 D.y2-=1 答案 C 解析 显然OM为Rt△MF1F2的中线,则|OM|=|F1F2|=c=.又e===,得a=1.进而b2=c2-a2=2.故C的方程为x2-=1,故选C. 6.设F1,F2是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P为直线x=上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为(  ) A. B. C. D. 答案 C 解析 令c=.如图,据题意,|F2P|=|F1F2|,∠F1PF2=30°,∴∠F1F2P=120°, ∴∠PF2x=60°,∴|F2P|=2=3a-2c. ∵|F1F2|=2c,∴3a-2c=2c, ∴3a=4c,∴=,即椭圆的离心率为.故选C. 7.(2018·大庆质检一)已知等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=-12x的准线交于A,B两点,|AB|=2,则C的实轴长为(  ) A. B.2 C.2 D.4 答案 D 解析 因为抛物线y2=-12x的准线为x=3,而等轴双曲线C的焦点在x轴上,所以A,B两点关于x轴对称,且|AB|=2,所以点(3,±)在双曲线上,代入双曲线的方程x2-y2=a2中得9-5=a2=4,所以a=2,即2a=4,故双曲线C的实轴长为4.故选D. 8.(2018·乌鲁木齐一诊)已知抛物线y2=4x与圆F:x2+y2-2x=0,过点F作直线l,自上而下顺次与上述两曲线交于点A,B,C,D,则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中,正确的是(  ) A.等于1 B.等于16 C.最小值为4 D.最大值为4 答案 A 解析 圆F的方程为(x-1)2+y2=1.设直线l的方程为x=my+1.代入y2=4x得y2-4my-4=0,y1y2=-4.设点A(x1,y1),D(x2,y2).则|AF|=x1+1,|DF|=x2+1,所以|AB|=|AF|-|BF|=x1,|CD|=|DF|-|CF|=x2,所以|AB|·|CD|=x1x2=(y1y2)2=1.故选A. 9.(2018·沈阳质检一)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),O为坐标原点,F为双曲线的右焦点,以OF为直径的圆与双曲线的渐近线交于一点A,若∠AFO=,则双曲线C的离心率为(  ) A.2 B. C. D. 答案 A 解析 如图所示,在△AOF中,∠OAF=90°,又∠AFO=30°,所以∠AOF=60°,故=tan60°=,所以e= =2,故选A. 10.(2019·唐山模拟)已知F1,F2为双曲线Γ:-=1(a>0)的左、右焦点,P为双曲线Γ左支上一点,直线PF1与双曲线Γ的一条渐近线平行,PF1⊥PF2,则a=(  ) A. B. C.4 D.5 答案 A 解析 如图,记PF2与双曲线的渐近线l的交点为M.与PF1平行的双曲线的渐近线为y=x,由PF1⊥PF2,得PF2⊥l,则F2(c,0)到直线l:x-y=0的距离为d===2.而△OMF2为直角三角形,所以|OM|===a.又OM∥F1P,O是F1F2的中点,所以|F1P|=2|OM|=2a,|PF2|=2|MF2|=4.而由双曲线的定义,有|PF2|-|PF1|=2a,即4-2a=2a,所以a=.故选A. 11.(2019·衡阳模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点为F1,y轴上的点P在椭圆以外,且线段PF1与椭圆E交于点M.若|OM|=|MF1|=|OP|,则椭圆E的离心率为(  ) A. B. C.-1 D. 答案 C 解析 过M作MH⊥x轴于点H,由|OM|=|MF1|,知H为OF1的中点,进而MH为△PF1O的中位线,则M为F1P的中点.从而依题意,有|F1P|=|OP|,即==sin∠OF1P,则∠OF1P=.则△MF1O是边长为c的等边三角形.连接MF2(F2为椭圆E的右焦点),则由OM=OF1=OF2可知∠F1MF2=.故e=====-1.故选C. 12.(2018·合肥质检一)如图,已知椭圆+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于M,N两点,交y轴于点H.若F1,H是线段MN的三等分点,则△F2MN的周长为(  ) A.20 B.10 C.2 D.4 答案 D 解析 解法一:设点H(0,t),0<t<2,则由F1,H是线段MN的三等分点,可知点N(c,2t),M(-2c,-t).则有消去t2得15e2=3,则e2=.又b=2,则1-e2=,即1-=,解得a2=5,从而由椭圆的定义可知△F2MN的周长为4a=4,故选D. 解法二:由F1,H是线段MN的三等分点,知H是线段F1N的中点,又O是F1F2的中点,则OH∥F2N,从而F2N⊥F1F2,故Nc,,H0,.又F1是线段MH的中点,则M-2c,-.由点M在椭圆上,可得+=1.又b2=4=a2-c2,从而有+=1,解得a2=5,从而由椭圆的定义可知△F2MN的周长为4a=4,故选D. 第Ⅱ卷 (非选择题,共90分) 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.若k∈R,直线y=kx+1与圆x2+y2-2ax+a2-2a-4=0恒有交点,则实数a的取值范围是________. 答案 [-1,3] 解析 因为直线y=kx+1恒过定点(0,1),题设条件等价于点(0,1)在圆内或圆上,则02+12-2a·0+a2-2a-4≤0且2a+4>0,解得-1≤a≤3. 14.(2018·浙江宁波质检)与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是________. 答案 y2=8x 解析 设动圆圆心为P(x,y),则=|x+1|+1,依据抛物线的定义结合题意可知动圆圆心P(x,y)的轨迹是以(2,0)为焦点,x=-2为准线的抛物线,故方程为y2=8x. 15.(2018·贵阳模拟)已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A,B两点,若|AF|>|BF|,且|AF|=2,则p=________. 答案 1 解析 过点A作AM⊥x轴交x轴于点M,由∠AFM=60°,|AF|=2得|FM|=1,且点A到抛物线的准线l:x=-的距离为2,而|FM|=1,所以抛物线的焦点F到准线的距离为1,即p=1. 16.已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=________. 答案 12 解析 解法一:由椭圆方程知椭圆C的左焦点为 F1(-,0),右焦点为F2(,0).则M(m,n)关于F1的对称点为A(-2-m,-n),关于F2的对称点为B(2-m,-n),设MN中点为(x,y),所以N(2x-m,2y-n). 所以|AN|+|BN|=+ =2, 故由椭圆定义可知|AN|+|BN|=2×6=12. 解法二:根据已知条件画出图形,如图.设MN的中点为P,F1,F2为椭圆C的焦点,连接PF1,PF2.显然PF1是△MAN的中位线,PF2是△MBN的中位线,∴|AN|+|BN|=2|PF1|+2|PF2|=2(|PF1|+|PF2|)=2×6=12. 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(2018·河南郑州检测)(本小题满分10分)已知坐标平面上动点M(x,y)与两个定点P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|. (1)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (2)记(1)中轨迹为C,过点N(-2,3)的直线l被C所截得的线段长度为8,求直线l的方程. 解 (1)由题意,得=5, 即=5, 化简,得x2+y2-2x-2y-23=0, 所以点M的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25. 轨迹是以(1,1)为圆心,5为半径的圆. (2)当直线l的斜率不存在时,l:x=-2, 此时所截得的线段长度为2=8, 所以l:x=-2符合题意. 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y-3=k(x+2), 即kx-y+2k+3=0, 圆心(1,1)到直线l的距离d=. 由题意,得2+42=52,解得k=. 所以直线l的方程为x-y+=0, 即5x-12y+46=0. 综上,直线l的方程为x=-2或5x-12y+46=0. 18.(2018·佛山质检一)(本小题满分12分)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右顶点与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,椭圆C1的离心率为,过椭圆C1的右焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线C2截得的弦长为4. (1)求椭圆C1和抛物线C2的方程; (2)过点A(-2,0)的直线l与C2交于M,N两点,点M关于x轴的对称点为M′,证明:直线M′N恒过一定点. 解 (1)设椭圆C1的半焦距为c,依题意,可得a=, 则C2:y2=4ax. 代入x=c,得y2=4ac,即y=±2, 则有解得a=2,b=,c=1. 所以椭圆C1的方程为+=1, 抛物线C2的方程为y2=8x. (2)证明:依题意,可知直线l的斜率不为0, 可设l:x=my-2. 联立消去x,整理得y2-8my+16=0. 设点M(x1,y1),N(x2,y2),则点M′(x1,-y1), 由Δ=(-8m)2-4×16>0,解得m<-1或m>1. 且有y1+y2=8m,y1y2=16,m=, 所以直线M′N的斜率kM′N== =. 可得直线M′N的方程为y-y2=(x-x2), 即y=x+y2- =x+ =x- =(x-2). 所以当m<-1或m>1时,直线M′N恒过定点(2,0). 19.(2019·深圳调研)(本小题满分12分)已知直线l经过抛物线C:x2=4y的焦点F,且与抛物线C交于A,B两点,抛物线C在A,B两点处的切线分别与x轴交于点M,N. (1)求证:AM⊥MF; (2)记△AFM和△BFN的面积分别为S1和S2,求S1·S2的最小值. 解 (1)证明:不妨设A(x1,y1),B(x2,y2), 其中y1=,y2=. 由导数知识可知,抛物线C在点A处的切线l1的斜率k1=, 则切线l1的方程y-y1=(x-x1), 令y=0,可得M,0. 因为F(0,1), 所以直线MF的斜率kMF==-. 所以k1·kMF=-1,所以AM⊥MF. (2)由(1)可知S1=|AM|·|MF|, 其中|AM|====·,|MF|==, 所以S1=|AM|·|MF|=(y1+1)·. 同理可得S2=(y2+1). 所以S1·S2=(y1+1)(y2+1) =(y1y2+y1+y2+1). 设直线l的方程为y=kx+1,联立方程组 可得x2-4kx-4=0, 所以x1x2=-4,所以y1y2==1. 所以S1·S2=(y1+y2+2)≥(2+2)=1, 当且仅当y1=y2时,等号成立. 所以S1·S2的最小值为1. 20.(2018·太原三模)(本小题满分12分)已知抛物线C1:y2=8x的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的右焦点,点P(0,2)在椭圆短轴CD上,且P·P=-1. (1)求椭圆C2的方程; (2)设Q为椭圆C2上的一个不在x轴上的动点,O为坐标原点,过椭圆C2的右焦点F作OQ的平行线,交椭圆C2于M,N两点,求△QMN面积的最大值. 解 (1)由C1:y2=8x,知焦点F坐标为(2,0), 所以a2-b2=4. 由已知得点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b), 又P·P=-1, 于是4-b2=-1,解得b2=5,a2=9, 所以椭圆C2的方程为+=1. (2)设点M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x3,y3), 直线MN的方程为x=my+2. 由可得(5m2+9)y2+20my-25=0. 则y1+y2=,y1y2=-, 所以|MN|= = =. 因为MN∥OQ,所以△QMN的面积等于△OMN的面积. 又点O到直线x=my+2的距离d=, 所以△QMN的面积S=|MN|·d =××=. 令 =t,则m2=t2-1(t≥1), S===. 因为f(t)=5t+在[1,+∞)上单调递增, 所以当t=1时,f(t)取得最小值9. 所以△QMN的面积的最大值为. 21.(2018·重庆一模)(本小题满分12分)已知F1,F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点,点P(x0,y0)在椭圆C上